精品解析：2025年山东省济宁市金乡县中考二模数学试题　

2024-2025学年度九年级四月份模拟质量监测 数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分、每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下表是几种液体在标准大气压下的沸点： 液体名称 液态氩 液态氧 液态氢 液态氮 沸点 则沸点最低的液体是（ ） A. 液态氩 B. 液态氧 C. 液态氢 D. 液态氮 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比较负数的大小，比较负数的大小先求这几个负数的绝对值，比较它们的绝对值的大小，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：，，，， ， ， 沸点最低的液体是液态氢． 故选：C． 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选D． 3. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从上往下看到的图形是俯视图，且看不到的轮廓线画为虚线可得答案． 【详解】解：由图知，几何体俯视图为 ， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂相乘除，幂的乘方，分别根据合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除的计算法则判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项的运算错误； B、，故本选项的运算正确； C、，故本选项的运算错误； D、，故本选项的运算错误． 故选：B 5. 正六边形中，直线分别经过边上一点，且．则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，平行线的性质，合理作出辅助线是关键． 根据正多边形的内角和定理得到，由平行线的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：在正六边形中，每个内角的度数为， ∴， 如图所示，过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 6. 某市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. 这周最高气温的平均数是 B. 这组数据的中位数是 C. 这组数据的众数是 D. 周三与周五的最高气温相差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图、平均数、中位数、众数，解决本题的关键是根据平均数、中位数、众数的定义，求出这些数据，再根据求出的结果判断正误． 【详解】解：A选项：由折线统计图可知，本周最高气温的平均数是，故A选项错误； B选项：把这周的最高气温按照从小到大排列，依次是、、、、、、，中间的数是，这组数据的中位数是，故B选项错误； C选项：这组数据中出现次数最多的数据是，这组数据的众数是，故C选项正确； D选项：由折线统计图可知，周三的最高气温是，周五的最高气温是，，周三与周五的最高气温相差，故D选项错误． 故选：C． 7. 一首轮船在静水中的最大速度为，它以最大航速沿江顺流航行，所用时间与以最大航速逆流航行所用时间相等，若设江水流速为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程解应用题，表示出船顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程是解题的关键．在水中，根据题意，准确表示出船顺水速度、逆水速度，结合时间相等建立等量关系列方程式解决问题的关键． 【详解】解：设江水流速为， 则所列方程正确的是， 故选：A． 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在同一条直线上，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由旋转性质得到相关角度及边，进而得到是等腰直角三角形，是直角三角形，在和中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ， 是等腰直角三角形，则， ，即， 连接，如图所示： 由选转性质可知，，，且， 是等腰直角三角形，是直角三角形， 在中，，，则由勾股定理可得， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理求线段长等知识．熟练掌握旋转性质及勾股定理是解决问题的关键． 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值．利用分式的加法和整体代入得到即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B 10. 如图，在中，，，E为边上一点，，F是上的动点，将沿直线折叠得到，点B的对应点为点G，连接．现有两个结论：①；②当时，．下面说法正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作于点H，过点D作于点K，利用三线合一以及勾股定理求出，判断①；过点F作于点M，证明为等腰直角三角形，设，三角函数求出的长，利用，求出x的值，进而求出的长，判断②． 本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键． 【详解】解：①过点A作于点H，过点D作于点K，则：四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； ②过点F作于点M， ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；故②错误； 综上：正确的是①②； 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 据报道，2025年全国硕士研究生招生考试报名人数达到万人，其中数据“万”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少． 【详解】解：万． 故答案是：． 12. 将因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，涉及平方差公式因式分解，熟记平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，为中边上一点，，，请你补充一个条件______，使． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和平行线的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据已知条件，，可得，再添加，可以判定两三角形全等． 【详解】解：欲证，已有条件：， ， ， ， ， 所以补充便可以根据证明． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为C，交于点D．若的面积为6，D为的中点，则k的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征．先设出点B的坐标，进而表示出点D，A的坐标，利用的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， D为的中点， ， 轴， ， ， 的面积为6， ， ， ， 故答案为：16． 15. 已知直线（，为正整数），我们把每次增加同时减少叫做完成一次直线变换，得到一条新的直线．例如：第一次变换，增加同时减少得到直线；第二次变换，增加1同时减少得到直线；第三次变换，增加同时减少得到直线按照此规律变换下去，第次变换，增加同时减少得到直线．若，，则直线必经过的一个点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数图象上的点的坐标，首先根据题目中直线解析式的变换方式，求出经过次直线变换后，得到的直线的解析式是，当，，则直线的解析式为，由解析式可知，当时，解析式中的、的值与无关，从而求出直线必经过的一个点的坐标是． 【详解】解：由题意可知：直线（，为正整数）做完成一次直线变换， 得到的直线的解析式为， 直线（，为正整数）做完成二次直线变换， 得到的直线的解析式为， ， 经过次直线变换后，得到的直线的解析式是， 当，，则直线的解析式为， 整理得：， 当时，， 若，，则直线必经过的一个点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）； （2）， 数轴如图： 【解析】 【分析】本题考查实数的运算和解一元一次不等式组．解题关键是熟知实数运算里的相关概念定义，并能准确解每个不等式． （1）根据立方根，零指数幂定义和特殊角三角函数值来进行化简计算即可． （2）分别解两个不等式，取解集公共部分即可． 【详解】解：（1）， ． ； （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以，原不等式组的解集是 17. 如图，已知． （1）在的内部求作一点D，使点D到A，B两点的距离相等，且到，两边的距离也相等：（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹．） （2）在（1）作图中，连接，，延长交于点E．若，求的度数． 【答案】（1） 如图所示 （2） 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线，角平分线的作法及性质，掌握尺规作图的方法，线段垂直平分线性质，角平分线性质是解题关键． （1）根据点到、两点距离相等，则点在的垂直平分线上；点到、两边距离相等，则点在的平分线上．所以通过尺规作的垂直平分线和的平分线，其交点即为点 ． （2）利用点在垂直平分线及平分线上的性质，先由等边对等角和角平分线定义得到角的关系，再结合外角性质推出，最后根据三角形内角和求出答案 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点D在的垂直平分线上， ． ． ∵平分， ． ， ． ． 18. 已知：4月22日是世界地球日，某校在“世界地球日”当天举行了丰富多彩的环保活动，其中活动类型有：A．环保主题绘画比赛：B．环保知识竞赛；C．植树活动；D．废旧物品创意改造；E．垃圾分类比赛；F．其他．该校为了解学生对以上环保活动的参与兴趣，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）参与本次调查的学生共有______人，喜欢废旧物品创意改造活动的人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为______． （2）请补全条形统计图； （3）全校学生共有2000人，请估计全校喜欢垃圾分类比赛的学生共有多少人？ （4）该校从B类中挑选出3名男生和2名女生，计划从这5名学生中随机抽取2名学生代表学校参加县环保知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）300， （2） 补全条形统计图：如图所示． （3）100人 （4） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，树状图求概率等知识点，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）用喜欢“C．植树活动”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生人数；用喜欢“废旧物品创意改造”的学生人数除以本次被调查的学生人数再乘以可得“废旧物品创意改造”类所对应的圆心角的度数； （2）求出喜欢“A．环保主题绘画比赛”和“E．垃圾分类比赛”的学生人数，补全条形统计图即可； （3）用喜欢“垃圾分类比赛”的学生人数除以本次被调查的学生人数再乘以2000即可． （4）列表得出所有等可能的结果数和所选的两人恰好都是男生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次被调查的学生人数人， 喜欢“废旧物品创意改造”的人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为， 故答案为：300，； 【小问2详解】 解：喜欢“A．环保主题绘画比赛”的学生人数人， 喜欢“E．垃圾分类比赛”的学生人数人， 补全条形统计图略 【小问3详解】 解：（人） 【小问4详解】 解：三名男生分别记为A，B，C，两名女生分别记为a，b，列表统计如下： 由表格可以看出，所有结果共有20种，这些结果出现的可能性相等． 其中两名男生的情况有共6种可能． ． 19. 如图，是的直径，是位于两侧圆上的点，连接，作，交延长线于点． （1）求证：是的切线： （2）若，求的直径． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， ． 是的直径， ．即． ． ， ．即． ． 是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理，直角所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，得到，得出，得到，继而得到，即可得到结论； （2）根据题意得到，得出，求出，继而得到，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ．即． ． ．即的直径为． 20. 某公司今年如果用原线下销售方式销售某一产品，每月的销售额可达万元．为增加该产品销量，公司计划于月份开始实行线上线下同时销售，这样，预计今年每月的销售额（万元）与月份（月）之间的函数关系的图象如图中的点状图所示（月及以后每月的销售额都相同），而产品销售成本（万元）与销售额（万元）之间函数关系的图象如图中线段所示． （1）求产品销售成本（万元）与销售额（万元）之间的函数关系式； （2）分别求该公司月、月的利润； （3）把月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上线下同时销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出万元？ 【答案】（1）； （2）万元，万元； （3）最早到第个月止，该公司改用线上销售后，所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出万元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，从函数图象获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）通过求函数的值即可求解； （）最早到第个月止，该公司改用线上线下销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出万元，然后列出不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：设，由图，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵时，， ∴五月份利润为（万元）， ∵时，， ∴六月份的利润为（万元）； 【小问3详解】 解：设最早到第个月止，该公司改用线上线下销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出万元， 由题意可知，月份以后的每月利润为万元， ∴ ∴， ∴最早到第个月止，该公司改用线上销售后，所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出万元． 21. 综合与实践 一天，某校九年级数学兴趣小组开展了项目式主题学习，具体如下： 项目名称 测量底部无法到达的物体高度 问题情境 某校园内有一座孔子雕像（如图1所示），雕像底座的底面是一个正方形． 九年级数学兴趣小组利用所学知识，测量这座雕像的高度（含底座的高度）． 数学建模 如图2，设雕像底座的底面是正方形，它的中心为，雕像的顶端为点，过点作底座底面（正方形）的垂线恰好经过它的中心，则线段的长即为这座雕像的高度． 测量工具 足够长的卷尺 测角仪 测量步骤 该校九年级数学兴趣小组提供了下面的测量方法，并绘制了如图3所示的测量示意图． 第一步，数学兴趣小组用卷尺测得雕像底座底面（正方形）的边长为米； 第二步，数学兴趣小组用卷尺在雕像底座底面所在平面上取一适当的点，使，此时用卷尺得点到雕像底座底面（正方形）边的距离（的长）为米； 第三步，某同学继续站在E处（表示测角仪到底座底面所在平面的距离）用测角仪测得此时雕像顶端的仰角为； 第四步，用卷尺测得米． 计算结果 根据上面的测量方法，若，，，，求的长（精确到）． 参考数据：，，． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形中边和角的关系求出雕像的高度．过点作于点，可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得:米，米，在中利用的正切求出的长度，即可得到雕像的高度． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上． 点是正方形的中心， 点在的垂直平分线上， 点，，在同一条直线上， 米， （米）， 过点作于点， ，， ， 四边形是矩形， 米，米， 在中，， （米）， （米）． 22. 【数学经验】 我们在人教版（2013年版）第56页探究出菱形的一个性质：菱形的两条对角线互相垂直． 运用这个性质，在解答例3过程中得到菱形面积的另一种求法． 如图1，菱形中，对角线相交于点O，则． 【初步探索】 善于思考的甲同学想：对于两条对角线互相垂直的任意四边形，已知它的两条对角线长，是否也可以求出它的面积呢？并进行了探究．（完成填空，不需要说理） （1）如图2，是四边形的对角线，且于点O． ①特例验证：若，求； （若能求，则直接写出结果，若不能，请说明理由） ②类似的，若，则______． ③拓展应用：如图3，中，，点D，E分别在上，且，连接．求的值． 【深入探究】 爱动手操作的乙同学把图2按照下面步骤进行操作（如图4）： 第一步，将四边形沿所在直线剪开，得，； 第二步，将沿所在直线向右平移，使点A与点C重合； 第三步，将绕点A顺时针旋转，当点，所在直线与以点A为圆心，为半径的圆相切时停止旋转． （2）根据乙同学的操作，解答下列问题． 第三步中，若，，求的长． 【答案】（1）①64；②；③528；（2） 【解析】 【分析】（1）①根据解答，即可；②根据解答，即可；③延长至点F，使．延长至点G，使．根据题意可得，即可； （2）根据切线的性质可得，根据勾股定理可得．，．由第一步、第二步操作可知：，从而得到，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，， ∴； ②∵，， ∴； 故答案为：． ③解：延长至点F，使．延长至点G，使． ， ． ，，． ． ，， ． （2）解：∵点，所在直线与以点A为圆心，为半径的圆相切， ． 在中，由勾股定理，得． 同理：，． 由第一步、第二步操作可知：． ． ． ． 【点睛】本题主要查切线的性质，菱形的性质，勾股定理，求三角形的面积，熟练掌握切线的性质，勾股定理是解题的关键． 23. 已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点． （1）若，求当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围； （2）已知直线与抛物线有且只有一个交点． ①求a的值； ②若点在直线上，点在抛物线上．求证：当时，n的最小值是． 【答案】（1） （2）①3； ②证明：， ，． ∵点在直线上，点在抛物线上． ，． ． ， ． ． ， ∴当时，n的最小值是． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）把代入解析式得，再把代入解析式求出，从而，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）①由直线与抛物线有且只有一个交点得出方程有两个相等的实数根，可求出； ②先把代入解析式，再把点代入上，点代入，得出，，整理得，把代入得出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 把代入解析式，得 ∴， 把代入解析式，得 ∴ ∴ ∴对称轴是直线 ∵ ∴ ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小 【小问2详解】 ①∵直线与抛物线有且只有一个交点， ∴当时，方程有两个相等的实数根． 整理，得． ． 解得． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级四月份模拟质量监测 数学试题 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分、每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下表是几种液体在标准大气压下的沸点： 液体名称 液态氩 液态氧 液态氢 液态氮 沸点 则沸点最低的液体是（ ） A. 液态氩 B. 液态氧 C. 液态氢 D. 液态氮 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下图是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 正六边形中，直线分别经过边上一点，且．则的值是（　　） A. B. C. D. 6. 某市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. 这周最高气温的平均数是 B. 这组数据的中位数是 C. 这组数据的众数是 D. 周三与周五的最高气温相差 7. 一首轮船在静水中的最大速度为，它以最大航速沿江顺流航行，所用时间与以最大航速逆流航行所用时间相等，若设江水流速为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在同一条直线上，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在中，，，E为边上一点，，F是上的动点，将沿直线折叠得到，点B的对应点为点G，连接．现有两个结论：①；②当时，．下面说法正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 据报道，2025年全国硕士研究生招生考试报名人数达到万人，其中数据“万”用科学记数法表示为______． 12. 将因式分解的结果是______． 13. 如图，为中边上一点，，，请你补充一个条件______，使． 14. 如图，A，B是函数图象上两点，过点A作轴，垂足为C，交于点D．若的面积为6，D为的中点，则k的值为______． 15. 已知直线（，为正整数），我们把每次增加同时减少叫做完成一次直线变换，得到一条新的直线．例如：第一次变换，增加同时减少得到直线；第二次变换，增加1同时减少得到直线；第三次变换，增加同时减少得到直线按照此规律变换下去，第次变换，增加同时减少得到直线．若，，则直线必经过的一个点的坐标是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 17. 如图，已知． （1）在的内部求作一点D，使点D到A，B两点的距离相等，且到，两边的距离也相等：（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹．） （2）在（1）作图中，连接，，延长交于点E．若，求的度数． 18. 已知：4月22日是世界地球日，某校在“世界地球日”当天举行了丰富多彩的环保活动，其中活动类型有：A．环保主题绘画比赛：B．环保知识竞赛；C．植树活动；D．废旧物品创意改造；E．垃圾分类比赛；F．其他．该校为了解学生对以上环保活动的参与兴趣，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）参与本次调查的学生共有______人，喜欢废旧物品创意改造活动的人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为______． （2）请补全条形统计图； （3）全校学生共有2000人，请估计全校喜欢垃圾分类比赛的学生共有多少人？ （4）该校从B类中挑选出3名男生和2名女生，计划从这5名学生中随机抽取2名学生代表学校参加县环保知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 19. 如图，是的直径，是位于两侧圆上的点，连接，作，交延长线于点． （1）求证：是的切线： （2）若，求的直径． 20. 某公司今年如果用原线下销售方式销售某一产品，每月的销售额可达万元．为增加该产品销量，公司计划于月份开始实行线上线下同时销售，这样，预计今年每月的销售额（万元）与月份（月）之间的函数关系的图象如图中的点状图所示（月及以后每月的销售额都相同），而产品销售成本（万元）与销售额（万元）之间函数关系的图象如图中线段所示． （1）求产品销售成本（万元）与销售额（万元）之间的函数关系式； （2）分别求该公司月、月的利润； （3）把月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该公司改用线上线下同时销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出万元？ 21. 综合与实践 一天，某校九年级数学兴趣小组开展了项目式主题学习，具体如下： 项目名称 测量底部无法到达的物体高度 问题情境 某校园内有一座孔子雕像（如图1所示），雕像底座的底面是一个正方形． 九年级数学兴趣小组利用所学知识，测量这座雕像的高度（含底座的高度）． 数学建模 如图2，设雕像底座的底面是正方形，它的中心为，雕像的顶端为点，过点作底座底面（正方形）的垂线恰好经过它的中心，则线段的长即为这座雕像的高度． 测量工具 足够长的卷尺 测角仪 测量步骤 该校九年级数学兴趣小组提供了下面的测量方法，并绘制了如图3所示的测量示意图． 第一步，数学兴趣小组用卷尺测得雕像底座底面（正方形）的边长为米； 第二步，数学兴趣小组用卷尺在雕像底座底面所在平面上取一适当的点，使，此时用卷尺得点到雕像底座底面（正方形）边的距离（的长）为米； 第三步，某同学继续站在E处（表示测角仪到底座底面所在平面的距离）用测角仪测得此时雕像顶端的仰角为； 第四步，用卷尺测得米． 计算结果 根据上面的测量方法，若，，，，求的长（精确到）． 参考数据：，，． 22. 【数学经验】 我们在人教版（2013年版）第56页探究出菱形的一个性质：菱形的两条对角线互相垂直． 运用这个性质，在解答例3过程中得到菱形面积的另一种求法． 如图1，菱形中，对角线相交于点O，则． 【初步探索】 善于思考的甲同学想：对于两条对角线互相垂直的任意四边形，已知它的两条对角线长，是否也可以求出它的面积呢？并进行了探究．（完成填空，不需要说理） （1）如图2，是四边形的对角线，且于点O． ①特例验证：若，求； （若能求，则直接写出结果，若不能，请说明理由） ②类似的，若，则______． ③拓展应用：如图3，中，，点D，E分别在上，且，连接．求的值． 【深入探究】 爱动手操作的乙同学把图2按照下面步骤进行操作（如图4）： 第一步，将四边形沿所在直线剪开，得，； 第二步，将沿所在直线向右平移，使点A与点C重合； 第三步，将绕点A顺时针旋转，当点，所在直线与以点A为圆心，为半径的圆相切时停止旋转． （2）根据乙同学的操作，解答下列问题． 第三步中，若，，求的长． 23. 已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点． （1）若，求当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围； （2）已知直线与抛物线有且只有一个交点． ①求a的值； ②若点在直线上，点在抛物线上．求证：当时，n的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $