重庆市九龙坡区2025届高三下学期5月学业质量调研抽测(第三次)数学试题

高 2025 届学业质量调研抽测(第三次) 数学试题 (数学试题卷共 6 页, 共 19 个小题, 考试时间 120 分钟, 满分 150 分) 注意事项: 1. 答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数 ,则 A. B. C. D. 2. 若直线 与圆 相切,则实数 的值为 A. B. C. D. 3. 已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 4. 已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, ,且 ,则 A. B. C. D. 5. 如图,矩形 中, ,将 沿 翻折,得到三棱锥 ( 是 在翻折后的对应点),则三棱锥 体积的最大值为 5 题图 A. B. C. 8 D. 16 6. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 为 上位于第一象限的点, 垂直 于点 为等边三角形,过 的中点 作直线 ,交 轴于 点,则直线 的方程为 A. B. C. D. 7. “ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数,是世界上著名的几个数之一,当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时,乘积仍然由1,4,2,8,5,7这 6 个数字组成. 若从 1,4,2,8,5,7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数,则在这些组成的四位数中, 大于 5700 的偶数个数是 A. 66 B. 75 C. 78 D. 90 8. 在 中,角 所对的边分别为 ,已知 ,若 ,则 的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题:本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 某班在一次模拟测试后, 随机抽取 9 名学生的成绩作为样本, 这 9 名学生的成绩分别为 ,则下列说法正确的是 A. 估计这次该班的测试成绩的平均分为 80 B. 样本的平均数和中位数相同 C. 从样本中任取两人的成绩,这两人的成绩均大于平均分的概率为 D. 当样本中加入 80 形成新样本时, 新样本的方差比原样本的方差小 10. 已知函数 ,则 A. 为 的一个周期 B. 的图象关于点 对称 C. 在 上单调递增 D. 的值域为 11. 在平面直角坐标系 中,点 是椭圆 的左焦点, 分别是 的左、 右顶点,直线 与椭圆 相交于 两点,则 A. 若直线 经过点 ,则 的最小值为 1 B. 若线段 的中点坐标为 ,则直线 的斜率为 C. 若直线 经过坐标原点,则 D. 若点 在椭圆 上(点 与 不重合),且 ,则 三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知 ,则 _____. 13. 设 ,已知 ,则 _____. 14. 甲同学有 3 本故事书和 1 本科普书,乙同学有 1 本故事书和 3 本科普书,若甲、乙两位同学各取出 本书进行交换,记交换后甲同学有故事书的本数为 的均值为 ,则 _____. 四、解答题:本大题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 . (I) 当 时,求函数 的极值; (II)设 有两个不同的零点 ,求 的取值范围. 16.(本小题满分 15 分) 在科技飞速发展的今天, 人工智能领域迎来革命性的突破, 各种 AI 的人工智能大模型拥有强大的解决问题的能力. 某机构分别用 两种人工智能大模型进行对比研究,检验这两种大模型在答题时哪种更可靠, 从某知识领域随机选取 180 个问题进行分组回答, 其中 人工智能大模型回答 100 个问题,有 91 个正确; 人工智能大模型回答剩下的 80 个问题, 有 65 个正确. (I)完成下列 列联表,并根据小概率值 的独立性检验,能否认为人工智能大模型的选择与回答正确有关? 回答正确 回答错误 合计 人工智能大模型 人工智能大模型 合计 (II)将频率视为概率,用 人工智能大模型随机回答该知识领域的 道题目, 且各题回答正确与否, 相互之间没有影响. 记其中恰有 2 个问题回答错误的概率为 ,求 取得最大值时 的值. 参考公式及参考数据: . 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 17. (本小题满分 15 分) 如图,已知四棱台 的上、下底面分别是边长为 2 和 4 的正方形, ,且 底面 ,点 分别在棱 上. (I)若 是 的中点,证明: ； ( II )若 平面 ,求二面角 的余弦值. 17 题图 18.(本小题满分 17 分) 已知 分别为双曲线 的左、右焦点, 关于双曲线 的一条渐近线 的对称点 在 上. (I)求双曲线 的离心率； (II)若 ,双曲线 的左、右顶点分别为 ,过左顶点 作实轴的垂线交渐近线 于点 ,过 作直线分别交双曲线 的左、右两支于 两点,直线 分别交 于 两点. 证明: 四边形 为平行四边形. 19.(本小题满分 17 分) 已知数列 的前 项和为 . (I) 求数列 的通项公式; (II)若无穷的非常数数列 同时满足两个性质: ①对于 中任意两项 ,在 中都存在一项 ,使得 ; ②对于 中任意一项 ,在 中都存在两项 ,使得 . 则称数列 为 数列. (1)判断数列 是否为 数列,并说明理由； (2)若数列 是 数列且为单调递增数列,证明:数列 是等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2025届学业质量调研抽测（第三次） 数学参考答案及评意见 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1-4：C B A D 5-8：C C B D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. ABD 10. ABC 11. ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14. 四、解答题（简答） 15.解 （Ⅰ） 的极小值为，的极大值为．………………7分 （Ⅱ） ．……………………………………………13分 16. （Ⅰ）根据题意可得列联表如下表所示：………………………………………2分 回答正确 回答错误 合计 人工智能大模型 91 9 100 人工智能大模型 65 15 80 合计 156 24 180 零假设：人工智能大模型的选择和回答正确无关． ………………………………3分 根据列联表中的数据得： ， ……………………6分 ∴根据小概率值的独立性检验，推断不成立， ∴可以判断人工智能大模型的选择和回答正确有关． ………………………………7分 （Ⅱ） ∴当时，最大．………………………………………………………………15分 17.解：（Ⅰ）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，………………2分 设，其中，， 若是的中点，则，， ，∴，……………5分 ∴，即．……………………………6分 （另证明平面,从而得到） （Ⅱ） ∴二面角的余弦值为． ………………………………………………………15分 18.（Ⅰ）解： ∴双曲线的离心率为．………………………………………………5分 （Ⅱ）四边形为平行四边形. ………………17分 19.解（Ⅰ）所以．………………………………………………6分 （Ⅱ）数列是数列. …………………………………………………………………………10分 （2）∴为等差数列． ……………………17分 数学参考答案 第 1 页 （共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$