精品解析：上海市华东师范大学附属周浦中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

周浦中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（每题3分，共计36分） 1. 直线的倾斜角为________ 2. 抛物线的焦点坐标是__________. 3. 若直线与直线垂直，则________． 4. 已知双曲线过点，则双曲线的渐近线方程为________． 5. 已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 6. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______. 7. 如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________． 8. 已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为______. 9. 已知直线经过点，且与直线的夹角为，则直线的一般式方程为________． 10. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是________． 11. 已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为________. 12. 定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为______. 二、选择题（每题3分，共计12分） 13. 如图，直线、、的斜率分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 14. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 若函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 16. 已知双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、．现有如下命题：①右支上存在点满足为等腰三角形，，且；②右支上不存在点满足为等腰三角形，，且．那么下列判断正确的是（ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17. 已知函数． （1）求在区间上的平均变化率； （2）求曲线在处的切线． 18. 已知直线与直线． （1）当为何值时，与相交； （2）当为何值时，与平行，并求与的距离；. 19. 已知圆，点，且直线l经过点P. （1）若l与C相切，求l的方程； （2）若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 20. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. （1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； （2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； （3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 21. 已知椭圆的离心率为，点在上. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的上、下顶点分别为，，点在上（异于椭圆的顶点），直线与轴相交于点，点，若的面积是面积的两倍，求点的坐标； （3）过点的直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周浦中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（每题3分，共计36分） 1. 直线的倾斜角为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程转化为斜截式方程，得到斜率，即可求倾斜角. 【详解】由题可得，直线的斜截式方程为， 所以直线的斜率为，则倾斜角为， 故答案为：. 2. 抛物线的焦点坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】在抛物线中，焦点在轴的负半轴上，且，则，， 因此，抛物线的焦点坐标是. 故答案为：. 3. 若直线与直线垂直，则________． 【答案】 【解析】 【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解. 【详解】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 故答案为： 4. 已知双曲线过点，则双曲线的渐近线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】代入点的坐标求出，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程 【详解】因为双曲线过点， 所以，解得，所以双曲线， 则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 5. 已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对称求出圆心坐标和半径即得所求圆的方程. 【详解】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 6. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】首先确定，即可得到焦点在轴，然后可得椭圆的焦点，列方程求解． 【详解】双曲线，则，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又，故解得． 故答案为：1． 7. 如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率即得导数值． 【详解】由已知，所以． 故答案为：． 8. 已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据瞬时变化率定义求导代入计算可得，即可求出结果. 【详解】易知，依题意可得， 所以或（舍）， 因此时，液体上升高度的瞬时变化率为. 故答案为：8 9. 已知直线经过点，且与直线的夹角为，则直线的一般式方程为________． 【答案】或 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，可得，分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式分析求解. 【详解】由题意可知：直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 则，解得， 设两直线夹角为，则， 可得，所以. 设直线的倾斜角为，则，， ①当时，， 此时，则轴，直线的方程为； ②当时，显然直线的斜率存在， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即； 综上所述：的方程为或． 故答案为：或． 10. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】画出图象，数形结合，求出直线与半圆恰好相切时的值，再求出临界值，即可得解. 【详解】由，则，且， 所以表示以为圆心，为半径的圆在及直线右侧部分， 直线是与平行的直线， 如图所示： 当直线与曲线相切时，则（正值舍去）， 当直线过点时，，结合图形分析得的取值范围是. 故答案为：. 11. 已知椭圆的左焦点为，右焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段与以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】设线段的中点为，连接，求出、，利用勾股定理可得出关于、、的齐次等式，即可解得该椭圆的离心率的值. 【详解】设线段的中点为，连接， 由题意知，， 因为为的中点，所以，是的中位线，则， 由椭圆的定义知， 又，， 在直角三角形中，由勾股定理得：，即， 又，可得，故有， 由此可求得离心率， 故答案为：. 12. 定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为，计算得到答案. 【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点， 集合表示直线上的点， ，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为. 双曲线的渐近线为，不妨取，则，即， 平行线的距离，故或（舍去）. 故答案为：. 【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为是解题的关键. 二、选择题（每题3分，共计12分） 13. 如图，直线、、的斜率分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 14. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 15. 若函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的相关运算性质计算可得. 【详解】因为，所以， 又函数在处可导， 所以. 故选：D 16. 已知双曲线的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、．现有如下命题：①右支上存在点满足为等腰三角形，，且；②右支上不存在点满足为等腰三角形，，且．那么下列判断正确的是（ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】由①中，求得，即重合，即可判断真假；由②，且求得，即重合，即可判断真假. 【详解】若，且，设，则， 由，则， 此时为双曲线的右顶点，即重合，与为等腰三角形矛盾，①为假命题； 若，则，又，即，则， 此时，结合双曲线的性质知重合，与为等腰三角形矛盾，②为假命题； 故选：D 三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17. 已知函数． （1）求在区间上的平均变化率； （2）求曲线在处的切线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均变化率的定义计算可得； （2）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； 【小问1详解】 因为，所以，， 所以在区间上的平均变化率为； 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以切点为，切线的斜率， 所以曲线在处的切线为，即. 18. 已知直线与直线． （1）当为何值时，与相交； （2）当为何值时，与平行，并求与的距离；. 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）当时与相交，即可求出的值； （2）根据一般式下两直线平行的条件得到方程（不等式）组，求出的值，再由距离公式计算可得. 【小问1详解】 因为直线与直线， 当直线与相交，则，解得且. 【小问2详解】 由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离. 19. 已知圆，点，且直线l经过点P. （1）若l与C相切，求l的方程； （2）若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程； （2）写出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，即可求出弦长. 【小问1详解】 的圆心为，半径为5， 过的直线斜率不存在时，直线为， 此时到直线的距离为，故与圆相交，不合题意， 过的直线斜率存在时，设为，即， 由题意得，解得， 此时直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为； 【小问2详解】 l的倾斜角为，故斜率为， 故直线l的方程为，即， 圆心到直线的距离， 故l被圆C截得的弦长为. 20. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. （1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； （2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； （3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 【答案】（1） （2） （3）4.0米 【解析】 【分析】（1）设该抛物线的方程为，代入点可得答案； （2）直线与抛物线联立求出、可得答案； （3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案. 【小问1详解】 如图所示. 依题意，设该抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以，， 所以该抛物线的方程为； 【小问2详解】 ，焦点，，设，，则， 由解得，，， 所以， 则； 【小问3详解】 设车辆高为h，则，故， 代入抛物线方程，得，解得， 所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米. 21. 已知椭圆的离心率为，点在上. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的上、下顶点分别为，，点在上（异于椭圆的顶点），直线与轴相交于点，点，若的面积是面积的两倍，求点的坐标； （3）过点的直线交于，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点. 【答案】（1） （2）或或或 （3）证明：由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）由（1）知，，设（，且），易得，进而表示出，根据题意列出方程求解即可； （3）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，设（，且）， 则，， 又，所以直线的方程为， 令，得，即， 又，所以， 由题知，， 则，即， 解得或（舍去）或或（舍去）， 又点在椭圆上，则， 所以当时，； 当时，， 所以点的坐标为或或或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $