精品解析：2025年广东省清远市连州市第二中学中考数学模拟（一）　

2025年中考模拟卷（一） 数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（　　） A. B. C. -20 D. 20 2. 2024年4月24日，“中国航天日”主场活动启动仪式上，武汉、襄阳、宜昌、孝感、咸宁、黄冈、十堰、荆门8个城市签约空天信息产业项目，项目投资总额达631.25亿元．631.25亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，的取值应满足（　　） A. B. C. D. 且 4. 已知正边形的一个外角为，则边形的内角和是（　　） A. B. C. D. 5. 2024年巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日开幕，8月11日闭幕，美国、中国、日本、澳大利亚、法国分别以金牌40枚、40枚、20枚、18枚、16枚位列金牌榜前5位，则这组数据的众数是（　　） A. 40 B. 20 C. 18 D. 16 6. 抛物线与轴相交的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　） A. 1．5 B. 3 C. 3．5 D. 6 9. 一元二次方程的两根为，则（　　） A. B. C. D. 10. 抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：_________ 12. 如图，，是的切线，，为切点，若，则___________． 13. 不等式组的正整数解为___________． 14. 广东惠东海龟国家级自然保护区是目前中国大陆唯一的海龟产卵繁殖地．世界上现存海龟共7种，我国则有绿海龟、玳瑁、蠵龟、太平洋丽龟和棱皮龟5种．若5种海龟的数量大致相等，则惠东海龟国家级自然保护区研究人员在保护区遇到棱皮龟的概率是___________． 15. 在欧几里得的《几何原本》中提到，形如的方程的图解法是：如图，以和为直角边作，再在斜边上截取，则的长为所求方程的正根．若关于的一元二次方程，当图中，那么的值为___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 一次函数与反比例函数的图象都经过点，求一次函数和反比例函数的解析式． 18. 如图，菱形的对角线相交于点． （1）实践与操作：作边上的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）应用与证明：若，求的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 在2024年贵州文旅“四免一多一减”优惠活动中，广东省居民享受贵州全省国有A级旅游景区门票免费优惠．小明一家打算在贵阳、铜仁、黔东南、黔西南四个城市中挑选一个地方进行旅游，他们给不同的城市进行评分如下表所示： 城市 自然景观 人文历史 酒店住宿 交通 贵阳 6 7 10 8 铜仁 5 10 6 7 黔东南 15.0 8 5.8 6 黔西南 10 7 7 6 （1）如果四项同等重要，小明家将选择哪个城市去游玩？ （2）如果自然景观、人文历史、酒店住宿和交通按照的权重，那么小明家将选择哪个城市进行游玩？ （3）小明的邻居小红家也有同样的出游打算，目的地也在贵阳、铜仁、黔东南、黔西南四个城市中挑选，那么小明家和小红家选择去同一个城市的概率是多少？请用树状图或列表表示出来并求解． 20. 足球被称为“世界第一运动”，精彩赛事让许多球迷回味不已． （1）若球赛以小组为单位进行单循环制，组共比赛了场，则组有多少支球队？ （2）在（1）的条件下，若球赛以积分形式决定球队是否晋级，胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某球队在组目标是积分，则该球队胜、平、负的场数分别可以是多少？请列举说明． 21. 如图，内接于是的直径，是的切线交的延长线于点于点是上的动点（不与点，重合），连接并延长到点，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，求四边形面积的最大值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】 （1）如图1，把纸对折，使与重合，得到折痕，再沿着折叠得到，找出一个与相等的角为___________； 【数学理解】 （2）如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，求证：； 【拓展探索】 （3）①试判断四边形的形状为___________； ②若纸的长、宽比为，求的值． 23. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知． （1）求的长． （2）求的面积． （3）抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考模拟卷（一） 数学 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（　　） A. B. C. -20 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数乘法、倒数的定义等知识点，掌握有理数乘法法则是解题的关键． 先根据有理数乘法法则计算，然后再求倒数即可． 【详解】解：，的倒数是． 故选A． 2. 2024年4月24日，“中国航天日”主场活动启动仪式上，武汉、襄阳、宜昌、孝感、咸宁、黄冈、十堰、荆门8个城市签约空天信息产业项目，项目投资总额达631.25亿元．631.25亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿． 故选C． 3. 要使分式有意义，的取值应满足（　　） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，根据分母不为0，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 得． 故选C． 4. 已知正边形的一个外角为，则边形的内角和是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和和外角和综合，正多边形的外角和为360度，据此可求出正多边形的边数，再根据正边形的内角和为计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴该正多边形是正十二边形， ∴其内角和为． 故选 D． 5. 2024年巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日开幕，8月11日闭幕，美国、中国、日本、澳大利亚、法国分别以金牌40枚、40枚、20枚、18枚、16枚位列金牌榜前5位，则这组数据的众数是（　　） A. 40 B. 20 C. 18 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数，根据众数的定义求解即可，熟练掌握众数的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，出现的次数最多，故众数为， 故选：A． 6. 抛物线与轴相交的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，令，求出此时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，令，则， ∴抛物线与轴相交的坐标为， 故选B． 7. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意． 故选D． 8. 如图，在中，延长至点，使，连接，取的中点，连接．当的面积为12时，的面积为（　　） A. 1．5 B. 3 C. 3．5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分成为解题的关键． 根据三角形中位线的性质可得，同理可得即可解答． 【详解】解：， ∴是的中线， ∴， 又是的中点， ． 故选D． 9. 一元二次方程的两根为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴ ∴ ． 故选：B． 10. 抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与不等式的关系等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 根据图象开口向下可知，与轴的交点在原点上方可知，据此可判断①；因为抛物线与轴交于，对称轴为直线，所以另一交点为，则、两式相减可得，可判断②；抛物线顶点坐标为，开口向下，则为最大值，对于任意实数，都有，据此可判断③；由图象可得当时，，据此可判定④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵与轴的交点在原点上方可， ∴， ∴，即①正确； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴当时，；当时，， ∴两式相减可得，即②正确； ∵抛物线顶点坐标为，开口向下， ∴为最大值， ∴对于任意实数，都有，即③错误； ④由图象可得，当时，，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：_________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据同分母的分式相加减的法则计算即可. 【详解】原式=. 故答案为1. 【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减.分式运算的结果要化为最简分式或者整式. 12. 如图，，是的切线，，为切点，若，则___________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】该题考查切线的性质，解直角三角形，角平分线的判定，根据切线的性质得出，从而得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴． 又， 平分， 在中，， ∴， 则， 则． 故答案为：． 13. 不等式组的正整数解为___________． 【答案】1，2，3 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的正整数解、解不等式组等知识点，根据不等式组的解集确定正整数解成为解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后确定正整数解即可． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为， ∴正整数解为1，2，3． 故答案为：1，2，3． 14. 广东惠东海龟国家级自然保护区是目前中国大陆唯一的海龟产卵繁殖地．世界上现存海龟共7种，我国则有绿海龟、玳瑁、蠵龟、太平洋丽龟和棱皮龟5种．若5种海龟的数量大致相等，则惠东海龟国家级自然保护区研究人员在保护区遇到棱皮龟的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了概率计算，根据题意结合概率公式解答即可． 【详解】解：根据题意可得，惠东海龟国家级自然保护区研究人员在保护区遇到棱皮龟的概率是， 故答案为：． 15. 在欧几里得的《几何原本》中提到，形如的方程的图解法是：如图，以和为直角边作，再在斜边上截取，则的长为所求方程的正根．若关于的一元二次方程，当图中，那么的值为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，根据题意可得，设，，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ， ∴可设，， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得或（舍去）， ， ∴， ∴， 故答案为：12． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，理解特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负指数幂的运算法则、平方根的相关知识是解答关键. 根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负指数幂的运算法则、平方根，实数的运算法则来求解． 【详解】解： 17. 一次函数与反比例函数的图象都经过点，求一次函数和反比例函数的解析式． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式，利用待定系数法求解即可，熟练掌握待定系数法是解此题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 一次函数的图象经过点， ， 解得． 一次函数的解析式为． 18. 如图，菱形的对角线相交于点． （1）实践与操作：作边上的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）应用与证明：若，求的长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的方法画图即可． （2）由（1）得垂直平分，在中，根据勾股定理求出．求出．根据四边形是菱形，得出，证明是等边三角形，即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得垂直平分， ∴ 在中，． ∵， ∴ ∴． 四边形是菱形， ． 是等边三角形． ． 【点睛】该题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作线段垂直平分线等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 在2024年贵州文旅“四免一多一减”优惠活动中，广东省居民享受贵州全省国有A级旅游景区门票免费优惠．小明一家打算在贵阳、铜仁、黔东南、黔西南四个城市中挑选一个地方进行旅游，他们给不同的城市进行评分如下表所示： 城市 自然景观 人文历史 酒店住宿 交通 贵阳 6 7 10 8 铜仁 5 10 6 7 黔东南 15.0 8 5.8 6 黔西南 10 7 7 6 （1）如果四项同等重要，小明家将选择哪个城市去游玩？ （2）如果自然景观、人文历史、酒店住宿和交通按照的权重，那么小明家将选择哪个城市进行游玩？ （3）小明的邻居小红家也有同样的出游打算，目的地也在贵阳、铜仁、黔东南、黔西南四个城市中挑选，那么小明家和小红家选择去同一个城市的概率是多少？请用树状图或列表表示出来并求解． 【答案】（1）城市D （2）贵阳 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平均数、加权平均数、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别计算出平均分，比较即可得解； （2）分别计算出加权平均数，比较即可得解； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：设贵阳为城市，铜仁为城市，黔东南为城市，黔西南为城市D． 四个城市的平均分为 A：， B：， C：， D：， ∵， ∴小明家将选择贵阳游玩． 【小问2详解】 解：根据题意得： A：， B．， C：， D．， ∵， ∴小明家将选择黔西南游玩． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能结果，其中选择去同一个城市的结果有4种，所以选择去同一个城市的概率是． 20. 足球被称为“世界第一运动”，精彩赛事让许多球迷回味不已． （1）若球赛以小组为单位进行单循环制，组共比赛了场，则组有多少支球队？ （2）在（1）的条件下，若球赛以积分形式决定球队是否晋级，胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某球队在组目标是积分，则该球队胜、平、负的场数分别可以是多少？请列举说明． 【答案】（1）支 （2）该球队胜、平、负的场数可以有种情况：胜场、平场、负场；胜场、平场、负场 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，并正确找出等量关系． （1）设组有支球队，根据题意列方程即可求解； （2）由（1）知组共有支球队，则每支队伍比赛场．设该球队胜了场，平了场，则负了场，根据题意列方程即可求解． 【小问1详解】 解：设组有支球队， 依题意得：， 解得：，（舍去）． 答：组有支球队； 【小问2详解】 由（1）知组共有支球队，则每支队伍比赛场． 设该球队胜了场，平了场，则负了场． 依题意得：， 化简得：， 当时，，此时； 当时，，此时． 答：该球队胜、平、负的场数可以有种情况：胜场、平场、负场；胜场、平场、负场． 21. 如图，内接于是的直径，是的切线交的延长线于点于点是上的动点（不与点，重合），连接并延长到点，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接． 是的切线， ∴， ． 又在中，， 是等边三角形， ∴． ， ， ， ∴， 是等腰三角形． ， 平分． （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，即可； （2）连接，根据切线的性质可得，再由是等边三角形，可得，可证得是等腰三角形，即可； （3）根据直角三角形的性质可得，，从而得到．过点作于点．在中，为动点，为底边，当垂直平分时，的值最大，此时，，从而得到，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是内接四边形， ∴， ∵， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得在中，，， ． 是直径， 是直角三角形，且． ∴， ∴， ． 如图，过点作于点． 在中，为动点，为底边，当垂直平分时，的值最大， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】 （1）如图1，把纸对折，使与重合，得到折痕，再沿着折叠得到，找出一个与相等的角为___________； 【数学理解】 （2）如图2，延长交于点，过点作的垂线交于点，求证：； 【拓展探索】 （3）①试判断四边形的形状为___________； ②若纸的长、宽比为，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：由题意得，四边形是矩形， ∴， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，， ， ∵，， ∴，即， 又由折叠可得， ， ； （3）①矩形，② 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由折叠的性质即可求解； （2）可先证明四边形是平行四边形，则，由折叠可得，则，即可通过证明全等； （3）①由上可得四边形是平行四边形，而，即可证明为矩形；②不妨设，由翻折得，，设，则，则，由，得，求出，即可求解正切． 【详解】（1）解：由折叠得， 故答案为：； （2）略 （3）解：①矩形， ∵由上可得四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； ②纸的长、宽比为， 不妨设， 由翻折得，， 同理可得四边形是矩形， ∴． 由（2）得，故，， 设，则，则 由， 得， 解得． ， ． 23. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知． （1）求的长． （2）求的面积． （3）抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2）7 （3）或或或或 【解析】 【分析】（1）先求出点A和点E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标即可得到答案； （2）先求出点C坐标，再求出直线解析式，进而求出点D的坐标，最后根据三角形面积计算公式求解即可； （3）分三种情况，根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解；， ∴， 点坐标为点坐标为． 将点分别代入中得 解得 抛物线解析式为． 在中，当时，则， 解得， 点坐标为， ∴． 【小问2详解】 解；设直线的解析式为， ∴，， ． 把点代入，得解得 直线的解析式为． 联立 解得 ； 【小问3详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴． 设， ①当时，， 解得， ； ②当时，， 解得 或； ③当时，， 解得 或． 综上，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $