1.1三角形中的线段和角讲义2025-2026学年苏科版数学（2024版）八年级上册

1.1 三角形中的线段和角 📚基础知识 1. 三角形的边和角 · 三角形的任意两边之和大于第三边 · 三角形的任意两边之差小于第三边 · 在同一个三角形中，较大的边所对的角也较大，较大的角所对的边也比较大 2. 三角形的中线、角平分线、高 · 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 · 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 · 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。 ✨基础题型 1 学科网（北京）股份有限公司 【题型1】构成三角形的条件 【题型2】确定第三边的取值范围 【题型3】三角形三边关系的应用 【题型4】大角对大边的应用 【题型5】画三角形的高 【题型6】与三角形的高有关的计算 【题型7】利用网格求三角形的面积 【题型8】根据三角形中线求长度 【题型9】根据三角形中线求面积 【题型10】三角形角平分线的定义 🔍例题精讲 例1：（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例2： （24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 例3：（2025·四川广安·模拟预测）如果一个三角形的三边长a，b，c均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（n为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 例4：（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 例5：（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 例6：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为分别是的平分线，与相交于点O． (1)若，求的度数． (2)设，用x，y的代数式表示． 例7：（江苏省无锡市锡东片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）如图，将放在每个小正方形的边长为1的的正方形网格中． (1)的面积是______； (2)画出以点B为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的． (3)画出关于点C成中心对称的； 例8：（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 例9：（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（   ）． A．1 B． C．2 D．3 例10：（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，已知，平分，试说明：． 课堂巩固 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）设是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知三角形的两边长满足，那么第三边的长不可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·河北唐山·二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3 C．4或5 D．6 4．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，于点于点，则的边上的高是（　　）    A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为的平分线，为边上的高．若，，则 度． 【答案】20或60 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 6．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 7．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，是的中线，，，若的周长比的周长小4，则的周长为 ． 8．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，则 ． 9．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线，若，求的度数． 10．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，垂足为D，点E在上，交于点F，． (1)点B到直线的距离是线段______的长度；若，，那么与的面积的比值是______． (2)求证平分． 课后作业 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（　　） A．3，3，6 B．3，3，7 C．3，4，6 D．3，4，8 2．（2025·湖南长沙·一模）从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知一个三角形的两边，满足，则此三角形的第三边可能为（    ） A．2 B．6 C．9 D．10 4．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知三角形的两边长分别是和，如果第三边长为（x是整数），则三角形周长最大为 ． 5．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为边上的高，，，则 ． 8．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 9．（2025·吉林长春·二模）如图，根据图形折叠后的情况，可以判定是的中线的是（   ） A． B． C． D． $$ 1.1 三角形中的线段和角 📚基础知识 1. 三角形的边和角 · 三角形的任意两边之和大于第三边 · 三角形的任意两边之差小于第三边 · 在同一个三角形中，较大的边所对的角也较大，较大的角所对的边也比较大 2. 三角形的中线、角平分线、高 · 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线 · 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 · 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。 ✨基础题型 【题型1】构成三角形的条件 【题型2】确定第三边的取值范围 【题型3】三角形三边关系的应用 【题型4】大角对大边的应用 【题型5】画三角形的高 【题型6】与三角形的高有关的计算 【题型7】利用网格求三角形的面积 【题型8】根据三角形中线求长度 【题型9】根据三角形中线求面积 【题型10】三角形角平分线的定义 🔍例题精讲 例1：（24-25八年级上·云南临沧·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、， 长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、， 长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 例2： （24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵米，米， ∴， 即， ∴， ∴、间的距离可能是米， 故选：． 例3：（2025·四川广安·模拟预测）如果一个三角形的三边长a，b，c均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有 个；当（n为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有 个．（用含n的代数式表示） 【答案】 3 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了列代数式，三角形三边关系的应用．熟练掌握这一关系是解题的关键． 根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，来确定满足条件的 “幸运三角形” 的个数． 【详解】解：当时，或4， 当时，，即， c为偶数，则； 当时，，即， c为偶数，则或8，满足条件； 三角形三边长分别为：2，6，6或4，6，6或4，6，8； 综上，当时，“幸运三角形” 有3个； 故答案为：3； 当时，“幸运三角形”是2，4，4，共1个； 当时，“幸运三角形”是2，6，6或4，6，6或4，6，8，共3个，； 当时， “幸运三角形”是2，8，8或4，8，8或4，8，10或6，8，8或6，8，10或6，8，12，共6个，； 当时， “幸运三角形”是2，10，10或4，10，10或4，10，12或6，10，10或6，10，12或6，10，14或8，10，10或8，10，12或8，10，14或8，10，16，共10个；， “幸运三角形”的个数为：， 故答案为：． 例4：（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案． 【详解】解：在中，边上的高是线段， 故选：． 例5：（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，分别是中，边上的高，，，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了与三角形高的有关计算，根据等面积法可得出，进而可求出． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为： 例6：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为分别是的平分线，与相交于点O． (1)若，求的度数． (2)设，用x，y的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线定义，解题的关键是数形结合熟练掌握相关的定义． （1）根据角平分线的定义，可得，再由三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，再由三角形内角和定理可得，然后根据角平分线的定义，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 例7：（江苏省无锡市锡东片区2024—2025学年下学期七年级数学期中考试）如图，将放在每个小正方形的边长为1的的正方形网格中． (1)的面积是______； (2)画出以点B为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的． (3)画出关于点C成中心对称的； 【答案】(1)3.5 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图-旋转、中心对称变换，熟练掌握旋转、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）利用三角形的面积等于边长为3的正方形的面积减去三个角上的三角形的面积计算即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）根据中心对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：三角形的面积是：， 故答案为：3.5． （2）解：先找到以点B为旋转中心，将按顺时针方向旋转后点、的对应点，再顺次连接得到即为所求． （3）解：画出的顶点、关于点C中心对称的点、，顺次连接点，得即为所求． 例8：（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的周长，根据中线的定义可得，再根据三角形的周长即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长， 故答案为：． 例9：（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（   ）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积． 【详解】解：，为的中点， ， 为的中点， ， 为的中点， ， 故选：C． 例10：（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图，已知，平分，试说明：． 【答案】见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，先证明，结合已知可得，再结合对顶角的性质可得结论． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 课堂巩固 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）设是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【答案】12 【知识点】绝对值非负性、构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系以及周长的求法． 先根据绝对值非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 分两种情况： （1）当2为底边长时，腰长为5， ，能组成三角形， 此时三角形的周长为； （2）当5为底边长时，腰长为2， ，不能组成三角形． 综上可知，此三角形的周长为12． 故答案为：12． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）已知三角形的两边长满足，那么第三边的长不可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，解题的关键是掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．本题根据三角形的三边关系可得不等式，计算后即可判断． 【详解】解：， ，， 第三边长满足：， 得， 第三边不可能为， 故选：A． 3．（2025·河北唐山·二模）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3 C．4或5 D．6 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 4．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，于点于点，则的边上的高是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义解答即可得． 【详解】解：∵在中，于点， ∴的边上的高是， 故选：C． 5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为的平分线，为边上的高．若，，则 度． 【答案】20或60 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，分两种情况：当点E在点D左边时；当点E在点D右边时；分别画出图形求解即可． 【详解】解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， 分以下两种情况： 如图，当点E在点D左边时， ∵， ∴， ∵是平分线， ∴， ∴； 如图，当点E在点D右边时， ∵， ∴， ∵是平分线， ∴， ∴． 故答案为：20或60． 6．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，为边上的中线，且，求的长． 【答案】． 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了中线的性质，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段．由中线的性质得，则，根据列式，即可求解． 【详解】解：∵，D为中点， ∴，则， ∵， ∴， 即． 7．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，是的中线，，，若的周长比的周长小4，则的周长为 ． 【答案】22 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形中线的特点进行解答即可． 【详解】解：∵为的边上的中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长小4， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：22． 8．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，则 ． 【答案】4 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的是三角形的面积，熟知三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分是解答此题的关键． 根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论． 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴， 故答案为：4． 9．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）如图，在中，是的高线，是的角平分线，若，求的度数． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了有关三角形的高线、角平分线的角度计算；设，，，由三角形内角和定理得，求出三个内角的度数，结合三角形平分线及高线，即可求解；能熟练利用三角形的高线、角平分线进行角度计算是解题的关键． 【详解】解：， 设， ，， ， 解得：， ， ，， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ， 故的度数为． 10．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，垂足为D，点E在上，交于点F，． (1)点B到直线的距离是线段______的长度；若，，那么与的面积的比值是______． (2)求证平分． 【答案】(1)； (2)见解析 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形内角和定理的应用、点到直线的距离、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，三角形内角和定理，点到直线的距离等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过直线外一点作直线的垂线，该点与垂足的连线段的长度叫做该点到该直线，据此可得答案；根据三角形中线平分三角形面积可得，再证明得到，据此可得答案； （2）根据三角形内角和定理可得，，再导角证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴点B到直线的距离是线段的长度； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积的比值是； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分． 课后作业 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是（　　） A．3，3，6 B．3，3，7 C．3，4，6 D．3，4，8 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解： A、，不能组成三角形，故A符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，能组成三角形，故C不符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 2．（2025·湖南长沙·一模）从长度分别为2，3，4，5，6的五条线段中随机抽取三条，能围成三角形的组合共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴能围成三角形的三条线段长度分别为、、、、、、，组合共有7种， 故选：D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知一个三角形的两边，满足，则此三角形的第三边可能为（    ） A．2 B．6 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围、绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了非负性的性质，三角形三边关系的应用，先由非负性的性质求出，再由三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴第三边的长， ∴四个选项中，只有B选项中的数符合题意， 故选：B． 4．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知三角形的两边长分别是和，如果第三边长为（x是整数），则三角形周长最大为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解、确定第三边的取值范围、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，求不等式组的整数解，根据题意得出的范围，进而根据是整数，求得最大整数解，即可求解． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是和，如果第三边长为 ∴ ∴ ∵是整数，则最大整数为， ∴三角形周长最大为为 故答案为：． 5．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：边上的高就是过顶点B作垂线段，垂直，交的延长线于D点，因此只有B符合条件， 故选：B． 6．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 本题考查了三角形的高，正确理解定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是符合题意的，A，B，D都不符合题意， 故选C． 7．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为边上的高，，，则 ． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的高，解决问题的关键是进行分类讨论． 根据的不同位置，分两种情况进行讨论：在的内部，在的外部，分别求得的度数． 【详解】解：①如图，在的内部， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，在的外部， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为或． 8．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（2025·吉林长春·二模）如图，根据图形折叠后的情况，可以判定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度、折叠问题 【分析】本题考查了三角形的中线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形. 根据是的中线，可推出点是中点，再根据翻折可知道与是对称点，即可求出答案. 【详解】解：是的中线， 是中点， ， 由图可知，根据翻折性质，满足的只有选项D. 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $$