精品解析：浙江省宁波中学2025届高三下学期4月月考数学试题

宁波中学2025届高三4月月考试卷 数学 姓名______________准考证号________________ 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.选择题部分1至2页；非选择题部分2至4页. 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义运算. 【详解】由题意，所求集合中的元素满足：且，有三个元素满足条件， 所以. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，结合模长公式，可得答案. 【详解】由，则，，， 所以. 故选：B. 3. 在正六边形中，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用正六边形的特点建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，解方程组即可求解. 【详解】 以为原点建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为2， 所以，，，， 所以，，， 因为， 所以，所以， 解得，，所以. 故选：A. 4. 二项式展开式中，系数最大值为（ ） A. 280 B. 448 C. 560 D. 672 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理写出通项，再计算其奇数项的系数. 【详解】展开式通项公式为，且为整数， 要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项， 则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为， 故二项式展开式中，系数最大值为. 故选：C 5. 已知是曲线上一点，，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两点间距离公式表示出距离，再构造函数求导，然后再次构造求导分析单调性得到的最小值可得. 【详解】设由两点间距离公式可得， 设，则， 令， 再令，则，即在上单调递增，且， 则为方程的唯一根， 且当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 即，所以的最小值为. 故选：D. 6. 在中，，记为边上的高，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作交于，设，表示出，利用等面积得到，，进而得到答案. 【详解】 作交于，设， 因为，，所以，，所以，， ， 由等面积法得，即， 解得，其中（舍），，， ， 因为，所以， 所以， 故选：C 7. 记抛物线的准线为，焦点为为上两点，直线过，点在上，若，设为坐标原点，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理得到与系数的关系，再结合向量的坐标表示得到关于的方程，求解方程即可求得的面积. 【详解】 如图，由题意可知，直线的斜率存在且不等于0， 因为抛物线的焦点为，设直线的方程为， 联立方程可得， 设，则， 因为，且点在上，所以点为直线与准线的交点， 所以点坐标为，则， 因为，所以，整理可得. 由，消元，可得， 即，解得或（舍去）. 所以，. 所以. 故选：B. 8. 如图，一个体积为1的四面体靠在一个足够大的正方体容器中（厚度不计），点在底面上，现向该正方体缓慢注水，已知液面经过时的高度分别为，每次经过四面体顶点时的液面将该四面体分割成的三部分几何体中，表面积最大的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取棱中点，棱的两个三等分点，转化顶点与底面求解体积比，利用间接法可求中间几何体体积. 【详解】由题意液面经过时的高度分别为， 如图，分别取棱中点，棱的两个三等分点， 连接， 则，平面，平面， 平面，平面，且， 则平面平面， 由为棱的两个三等分点，可知点到平面的距离等于点到平面的距离， 也与到平面的距离相等， 即满足条件液面经过时的高度分别为， 即可得到我们需要的液面即平面与平面， 显然，三个几何体中表面积最大的为中间部分的几何体， 由， 又， 故中间几何体体积. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（ ） A. 平均数为4，中位数为5 B. 平均数为4，众数为3 C. 平均数为4，方差为1.6 D. 平均数为5，标准差为2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据统计数据特征的定义，举例说明AD正确，推导出数据的矛盾说明BC错误. 【详解】对于A，有可能出现点数1，例如：1，4，5，5，5.故A正确； 对于B，因为众数为3，则点数3至少出现2次，如果点数1出现1次，那么剩下的2次都取最大点数6，平均数还是小于4 ，所以不可能出现过点数1，故B错误； 对于C，平均数为4，如果出现点数1，则，即方差不可能为1.6，所以不可能出现过点数1，故C错误； 对于D，有可能出现点数1，例如：1，6，6，6，6. 故D正确. 故选：AD. 10. 设，则函数的极小值点可能是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由二次函数的性质可得极小值点的表达式，再结合，构造函数，求出其值域即可. 【详解】因为， 所以的极小值点为，又， 令且，， 当，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递增， 所以是一个极值点，， 由三角函数的对称性得， 令且，则， 令，则， 令，则，即在上单调递增， 在上，即在上单调递增， 在上，即在上单调递增， 所以恒成立，故在上恒成立， 所以，故. 故选：ABC 11. 已知函数，则（ ） A. 对于任意的均为偶函数 B. 当时，的最小正周期为 C. 当时， D. 当时，在上有12个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用偶函数定义判断A，根据正弦函数及余弦函数的周期判断B，取特殊值计算判断C，根据周期内零点个数结合周期判断D. 【详解】A项：的定义域为，， 即证明，A选项正确； B项：，因为函数的最小正周期均为， 所以的最小正周期为，B选项正确； C项：取，，C选项错误； D项：由图象的翻折变换和余弦函数的性质可知的最小正为周期， 在每个周期内存在2个零点， 因为区间的长度为，又 所以6个周期内为12个零点，D选项正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为正项等比数列的公比，若，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式的基本量计算，得到关于公比的一元二次方程，解方程求解即可. 【详解】由题意，，则，因为，所以 ， 由可知，则有，即，解得或. 因为数列是正项等比数列，则，所以. 故答案为：5. 13. 从1至8的8个整数中随机取2个不同的数组成一个两位数，则该数能被3整除的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将1至8分组为，再利用古典概率结合排列和组合计算. 【详解】由题意可得即数码和为3的倍数的概率， 将1至8分组为，. 故答案为：. 14. 已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为__________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据双曲线上的点的对称性可得，结合双曲线的定义得，设，则，利用对称产生的直角三角形结合勾股定理列式求解的值，从而得四边形的面积. 【详解】如图，因为关于直线对称，设交与， 则，且， 由双曲线定义可得，所以， 在中，， 设，则， 在中，由得①， 在中，由得②， 解①②可得：， 所以， 于是可得四边形的面积为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某企业前8个月月底的盈利金额（万元）与月份之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 （1）用模拟与的关系，求出回归方程； （2）根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？ 附：①； ②； ③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为：. 【答案】（1） （2）10月 【解析】 【分析】（1）对两边同时取自然对数得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得经验回归方程； （2）根据回归方程代入计算求解. 【小问1详解】 令，则， ， ， 故. 【小问2详解】 令， 故， 故10月开始超过. 16. 已知分别是轴，轴上的动点，，若点满足，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）是上一点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）先设设，再结合向量的线性关系计算可得方程； （2）联立方程得出，应用平面向量的数量积坐标运算计算即可求参. 【小问1详解】 设， 由得， 由得， 故. 【小问2详解】 设 则，即， 联立，消去得， 整理得， 解得， 所以或或或. 17. 已知函数. （1）若，求的最小值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：利用基本不等式，可得答案；法二：利用导数研究函数的单调性，可得答案； （2）由函数解析式求导，令导数的在处的导数值大于等于零，并检验，可得答案. 【小问1详解】 方法一：基本不等式 ， 当，即时，取“”. 方法二：导函数 ， 易知函数在上单调递增，， 当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递增， 故. 【小问2详解】 ，令，解得， 当时：设，则， 故函数在上单调递增，即， 故函数在上单调递增，充分性成立. 当时，，， 易知当时，，则函数在上单调递减. 综上可得. 18. 如图，在三棱柱中，为的重心，平面，记二面角与的大小分别为. （1）当时，时. （i）证明：； （ii）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）（i）延长交于，则是的中点； ，， 平面，平面， ， ，平面， 平面，平面， ，. （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由线面垂直判定定理得出平面得出，进而得出线线相等；（ii）先建系，再把转化为二面角，最后应用面面角余弦公式计算求解； （2）建立空间直角坐标系，设，再分别计算二面角与相等，最后再结合值域计算求解. 【小问1详解】 （i）略 （ii）为的重心，，所以， 由平面得，故， 如图，过作，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为二面角与的大小分别为，知即二面角， ， 故， 设平面的一个法向量， 则，取 平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，， 则，取， 所以平面的一个法向量， . 【小问2详解】 如图，过作，过作，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，设，则， 故， 设平面的一个法向量， 则， 取，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量，， 则， 取，所以平面的一个法向量为， 由得二面角与相等， ，即， 整理得，所以，， 所以. 19. 已知各项均为正整数的数列满足. （1）若，求； （2）已知. （i）求； （ii）证明：可以为定值，且当为定值时，. 【答案】（1）； （2）（i）85；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意设，根据递推关系分别求出即可； （2）（i）根据递推关系式，结合列举法求解； （ii）利用数学归纳法证明为定值1可满足题意，结合递推关系式构造分式，利用累加法证明不等式成立. 【小问1详解】 由题意，设，则， 由递推关系可得则，则， 所以. 【小问2详解】 （i）由题意，，则，即有， 因为数列各项均为正整数，且， 经列举，只有满足题意，解得. 同理，，则，即有， 可解得， 所以. （ii）可以为定值，当时，满足题意. 用数学归纳法证明如下： 当时，，经列举，只有，解得均为正整数，满足题意. 假设时，设， 由可得，由可得 所以则. 此时， 因为，所以均为正整数，满足题意； 当时，，令， 则，则均为正整数，也满足题意. 综上，当时，均为正整数，满足题意. 所以，可以为定值1. 由题意得时，， 又，所以，化简整理得， 取倒数得， 即. 累加可得 又因为， 故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波中学2025届高三4月月考试卷 数学 姓名______________准考证号________________ 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.选择题部分1至2页；非选择题部分2至4页. 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 记集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 在正六边形中，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 二项式展开式中，系数最大值为（ ） A. 280 B. 448 C. 560 D. 672 5. 已知是曲线上一点，，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 在中，，记为边上的高，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 记抛物线的准线为，焦点为为上两点，直线过，点在上，若，设为坐标原点，则的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 如图，一个体积为1的四面体靠在一个足够大的正方体容器中（厚度不计），点在底面上，现向该正方体缓慢注水，已知液面经过时的高度分别为，每次经过四面体顶点时的液面将该四面体分割成的三部分几何体中，表面积最大的体积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，下列统计情况中，可能有出现过点数1的有（ ） A. 平均数为4，中位数为5 B. 平均数为4，众数为3 C. 平均数为4，方差为1.6 D. 平均数为5，标准差为2 10. 设，则函数的极小值点可能是（ ） A. 0 B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 对于任意的均为偶函数 B. 当时，的最小正周期为 C. 当时， D. 当时，在上有12个零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为正项等比数列的公比，若，则__________. 13. 从1至8的8个整数中随机取2个不同的数组成一个两位数，则该数能被3整除的概率为__________. 14. 已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某企业前8个月月底的盈利金额（万元）与月份之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 （1）用模拟与的关系，求出回归方程； （2）根据（1）的结果计算，在几月份的月底统计的盈利金额开始超过60万元？ 附：①； ②； ③回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式为：. 16. 已知分别是轴，轴上的动点，，若点满足，记的轨迹为. （1）求的方程； （2）是上一点，若，求直线的方程. 17. 已知函数. （1）若，求的最小值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 18. 如图，在三棱柱中，为的重心，平面，记二面角与的大小分别为. （1）当时，时. （i）证明：； （ii）求； （2）若，求的取值范围. 19. 已知各项均为正整数的数列满足. （1）若，求； （2）已知. （i）求； （ii）证明：可以为定值，且当为定值时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $