精品解析：广东省遂溪县第一中学2025届高三第九次月考数学试题

遂溪一中高三级第九次月考 数学科试卷 总分 ：150分 时间：120分钟 命题审题：高三数学备课组 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 无法确定，与有关 4. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 若能被5整除，则x，n的一组值可能为（ ） A. B. C. D. 6. 2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（ ） A. 210 B. 35 C. 40 D. 120 7. 正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 与曲线和圆都相切的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 二、多选题 9. 为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（ ）. A. 且. B. 且. C. 且. D. . 10. 已知函数与函数的图象有相同的对称轴，则（ ） A. B. C. 将的图象向左平移个单位可得到的图象 D. 函数在内有4个零点 11. 曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（ ） A. 曲线上不存在曲率大于的点 B. 曲线在点处的曲率最大 C. 曲线在点处的曲率为 D. 曲线在点与处曲率相等，则 三、填空题 12. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________． 13. 某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为_________. 14. 已知数列满足，且对任意，有递推关系式：，定义数列为，则__________. 四、解答题 15. 如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记． （1）当时，求OP的长； （2）当面积最大时，求． 16. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 17. 如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． （1）证明：平面． （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 19. 在数列中，，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）记，数列的前项和为，证明：； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遂溪一中高三级第九次月考 数学科试卷 总分 ：150分 时间：120分钟 命题审题：高三数学备课组 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出，利用补集概念求出答案. 【详解】，故. 故选：A 2. 已知复数满足为虚数单位，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：A 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 无法确定，与有关 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求得，再应用向量模长的坐标运算求. 【详解】由题，则， 所以. 故选：C 4. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求出参数值. 【详解】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm）， 则，，于是，解得， 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：B 5. 若能被5整除，则x，n的一组值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理变形，再逐项判断得解. 【详解】依题意，， 对于A，，，不能被5整除，A不是； 对于B，，，不能被5整除，B不是； 对于C，，，能被5整除，C是； 对于D，，，不能被5整除，D不是. 故选：C 6. 2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（ ） A. 210 B. 35 C. 40 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，选择一个分会场获5个名额，再将余下6个名额利用隔板法分到另外3个分会场即可. 【详解】依题意，选择一个分会场获取5个名额，有种方法， 再将余下的6个名额分配到另三个分会场，用隔板法有种， 所以名额分配的不同种数为. 故选：C 7. 正方体 的棱长为 是棱 的中点， 是侧面 内一点，且 平面 ，则 长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点为，连接，确定平面平面 ，得到的轨迹是线段,即可求解. 【详解】取的中点为， 连接， 由中位线易知， 又在平面 内，不在平面 内， 所以平面 ，平面 ， 又是平面内两条相交直线， 所以平面平面 ， 又 平面 ， 所以在平面内，又 是侧面 内一点， 所以的轨迹是线段, 易知, ， 所以 长度的取值范围是. 故选：C 8. 与曲线和圆都相切的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义得到切线方程，然后根据直线与圆的位置关系列方程得到，构造函数，利用导数分析单调性得到零点个数即可得到切线条数. 【详解】设直线与曲线相切于点， 则的方程为，即． 圆C：，因为与圆相切，所以， 所以， 令，则， 令，得或， 进一步得到在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，，所以在区间上分别有1个零点， 所以这样的切线有3条． 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据导数的几何意义和切线的性质得到方程后，将方程的根的个数转化为函数的零点个数，然后分析单调性求零点个数即可. 二、多选题 9. 为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（ ）. A. 且. B. 且. C. 且. D. . 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的中位数，平均数公式，众数公式，可判断结果，标准差是衡量数据的离散程度，数据越集中，标准差越小，从而可判断标准差. 【详解】中位数的计算与比较： 由图甲可判断甲组数据的中位数在[7，10.5)内， 第一组[0，3.5)的数据的频率为0.01×3.5=0.035，第二组[3.5，7)频率为0.10×3.5=0.35， 则，解得​， 由图乙可判断乙组数据的中位数在[10.5，14)内， 则，解得，所以<​. 平均数的计算与比较： 甲组平均数 ​： . 乙组平均数​： . 所以​. 众数的计算与比较： 由图甲可得甲组众数​； 由图乙可得乙组众数，所以​ . 标准差的比较： 因甲组数据分布相对分散，乙组数据相对集中在中间区间，所以. 对于A，由前面计算可知<且​​，故A 正确； 对于B，因​​且，故B正确； 对于C，由前分析得，，， ，，，故C错误； 对于D ，因，，，则 ，故D正确 . 故答案选 ABD. 10. 已知函数与函数的图象有相同的对称轴，则（ ） A. B. C. 将的图象向左平移个单位可得到的图象 D. 函数在内有4个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意两者具有相同的周期，即可求出，从而判断A，的图象是由的图象向左平移个单位后所得，即可判断B、C，将问题转化为的零点，即可判断D. 【详解】对于A：因为函数 与函数 的图象有相同的对称轴， 所以两者具有相同的周期，所以，故A正确； 对于B、C：因为， 又，最小正周期且 与 的图象有相同的对称轴且不重合， 所以的图象是由的图象向左平移个单位后所得， 所以，故B正确，C错误； 对于D：函数的零点，即方程的根，即为函数的零点， 对于，令，解得， 所以在内有，，，共个零点，故D正确. 故选：ABD 11. 曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（ ） A. 曲线上不存在曲率大于的点 B. 曲线在点处的曲率最大 C. 曲线在点处的曲率为 D. 曲线在点与处曲率相等，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用曲率的定义可判断ABC选项；由题意得出，令，结合基本不等式可得出关于的不等式，解之可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，则，， 所以，， 所以，曲线上不存在曲率大于的点，A对； 对于B选项，令，则，， 所以，， 故当时，取最小值，此时取最大值，且， 所以，曲线在点处的曲率最大，B对； 对于C选项，由可得， 令，则， 则，所以，，， 所以，曲线在点处的曲率为，C错； 对于D选项，设，则，， 则在点处的曲率， 因为曲线在点与处曲率相等， 即，即， 即， 整理可得， 因为且、均为正数，所以，， 由基本不等式可得， 即，令，则， 即，由于，解得，即，D对. 故选：ABD. 三、填空题 12. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过已知点所在象限和，利用直线斜率求出三角函数值，再借助正弦定理得到线段比例关系，结合三角形面积求出线段长度，最后根据双曲线定义求出的值． 【详解】由题可知，点P在第四象限，． 设．由，求得． 因为，所以，求得，即． 由正弦定理可得． 设，得．由， 得，则，， 又，解得． 故答案为：. 13. 某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和4个黑球，这些小球除颜色外完全相同.在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖.假设在有放回地连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出单次抽奖中奖的概率，则连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率，构造函数，利用导数求出当取最大值时的，即可求出. 【详解】依题意，单次抽奖中奖的概率， 则连续次抽奖中恰好中奖一次的概率， 令，则， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 因此当取最大值时，，而，解得， 所以当取到最大值时的值为. 故答案为： 14. 已知数列满足，且对任意，有递推关系式：，定义数列为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先降标作差得出隔项的递推关系式，再分奇偶得出数列的通项公式即可计算. 【详解】已知， 当时，， 两式作差得， ①当为奇数时，， 因，，则， 所以中的偶数项是以为首项，1为公差的等差数列， 则当为偶数时，； ②当为偶数时，， 所以中的奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 则当为奇数时，， 因为，所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记． （1）当时，求OP的长； （2）当面积最大时，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的值，由正弦定理即可求出OP的长； （2）由余弦定理及基本不等式求出与的乘积关系，写出面积表达式，即可得出的值. 【小问1详解】 由题意， 在中，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴在以为直径的圆上， 取的中点，连接， ∴，， 在中，，， 由正弦定理， ， 解得： 【小问2详解】 由题意及（1）知，，， 在中，，， 由余弦定理， ， 即， 即， ∴，当且仅当时，等号成立， 又， ∴当且仅当时，的面积最大，此时， ∴． 16. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，点在以线段为直径的圆外（为原点），求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦距和离心率即可求得的值，即可求得椭圆的方程. （2）根据题意设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理及点在以线段为直径的圆外则为锐角其余弦值大于，再结合向量的数量积即可求出的范围. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，则，得， 又离心率为，解得，， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 由，得， 由，得， 则， 因为点在以线段为直径的圆外，所以为锐角， 因不共线，所以， 故，即， 因 所以 解得， 因为，则得， 解得或， 故实数的取值范围为. 17. 如图，边长为2的正方形是圆柱的轴截面，为底面圆上的点，为线段的中点． （1）证明：平面． （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1） 取线段的中点，连接． 在中，． 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，则． 因为平面平面，所以平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用线面角的空间向量求法即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为是圆的直径，所以． 过点作圆柱的母线，则平面，所以互相垂直． 以为原点，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则， 所以． 设为平面的法向量， 所以，令，则． 易知直线的一个方向向量为． 记直线与平面所成的角为， 则， 化简得． 结合，解得，所以． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】（1） 当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增 （2）（i）； （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增.所以，故原不等式成立. 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数分和求解； （2）（i）由（1）知，且最小值为小于0即可得的取值范围；（ii）结合（i）知，要证，即，分和进行证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 （i）若，由（1）知，至多有一个零点； 若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 因为当时，； 当时，， 所以函数有两个零点当且仅当. 设，函数在单调递增. 因为，的解集为. 综上所述，的取值范围是. （ii）略 19. 在数列中，，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）记，数列的前项和为，证明：； （3）证明：. 【答案】（1） 已知，即及，， 化简得，又 所以数列是首项为公差为的等差数列. （2） 由（1）可知， 所以，. 又，所以，， . 所以 于是， ， 因为，所以，即. （3） 定义，原不等式即 下面证明，即， 即证（*）， 设，则， 于是在区间上是增函数. 因为，有，不等式（*）成立. 故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）由已知等式得出，两边同时平方，结合同角三角函数的平方关系结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）可求得，，利用裂项求和法求出，然后利用裂项求和法结合不等式的基本性质可证得所证不等式成立； （3）利用分析法可知，要证所证不等式成立，即证，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合函数的单调性即可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $