精品解析：山东省淄博实验中学、淄博齐盛高中2024-2025学年高一下学期第一次模块考试数学试卷

淄博实验中学、淄博齐盛高中高一年级第二学期第一次模块考试 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算及虚部的概念可得结果. 【详解】由，可得， 所以的虚部为1. 故选：B. 2. 已知向量，若向量与平行，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示及平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】， 因为向量与平行， 所以， 解得：， 故选：C 3. 在中，角的对边长分别为.若，则（ ） A. 17 B. 7 C. 34 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式求得，再结合正弦定理即可求解. 【详解】由，易得， 由 由正弦定理，可得， 故选：A 4. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由任意角三角函数的定义可得，结合诱导公式和二倍角公式化简可得结果. 【详解】由角的终边过点，可得， . 故选：D. 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱台的体积公式先求棱台的高，再利用勾股定理计算侧棱即可. 【详解】 如上图所示，正四棱台，，易知即棱台高， 由棱台的体积公式知：， 所以， 所以侧棱长. 故选：C 6. 如下图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点，为线段上的点，若，且满足平面，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理证得，从而利用三角形的重心求得，由此得解. 【详解】连接，交于，连接，如图， 平面，平面平面，平面，， 点，分别为棱，的中点．是的重心， ，又，则. 故选：A. 7. 如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，求得，在中，利用余弦定理求得，然后由求解. 【详解】由题意得， 解得， 在中，， 所以， 所以， 解得. 故选：D. 8. 已知正六边形ABCDEF的边长为3，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的最大值是（ ） A. B. 8 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】画图，由题意将转化为基向量的线性组合，然后由数量积的定义化简求解即可. 【详解】 如图， ， 所以当最大时，的值最大， 故当点与正六边形的顶点重合时，的最大值为， 故的最大值为. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面位置关系及面面平行的性质判断各个选项即可. 【详解】对于A：若，，则也成立，A选项错误； 若，，则无公共点，所以无公共点，所以，B选项正确； 若，，，则或异面，C选项错误； 若，，则或异面或相交，D选项错误； 故选：ACD. 10. 已知函数的图象横坐标变为原来的倍后得到，再将的图象向右平移个单位，得到，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 若关于x的方程在上有1个实数根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由图象的变换得到函数的解析式即可判断选项A；由正弦函数的对称性，单调性即可判断选项B，C；方程在上有1个实数根，转化为与的图象有一个交点，画图求解即可判断选项D. 【详解】对于A，函数的图象横坐标变为原来的倍后， 得到，将的图象向右平移个单位， 得到，故A错误； 对于B，当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，由，得， 当时，，故C正确； 对于D，方程在上有1个实数根， 所以与的图象有一个交点， 由，所以，作出图象， 由图可知：，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 当时，函数的值域为 C. 当时，函数的单调递增区间为 D. 若，函数在区间内恰有2025个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦型函数和正弦函数的周期性可判断A选项；利用二次函数的值域可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；在时解方程，结合函数的周期性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 故函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，当时，， 令，则，， 当时，；当时，；当时，. 所以，， 所以，当时，函数的值域为，B对； 对于C选项，当时，， 则， 令，则，则外层函数， 外层函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，则内层函数单调递增时，则函数为增函数， 所以，； 当时，则内层函数单调递减时，则函数为增函数， 所以，. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为， ，C错； 对于D选项，当时，， 可得或， 由于函数的最小正周期为，且， 现在考虑函数在上的零点个数， 由可得，由可得或， 所以，函数在上的零点个数为， 因为，故，D对. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法： ①利用和的最值直接求； ②把形如的三角函数化为的形式求最值； ③利用和关系转换成二次函数求最值； ④形如或转换成二次函数求最值. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 复数的模是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的除法运算及模长的计算方法求解即可. 【详解】， 所以 故， 故答案为：. 13. 如图，在等腰中，底边，D，E是腰AC上的两个动点，且形，则当取得最小值时，的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由共线向量定理求得，然后由基本不等式求得等号成立的条件解得，由是等腰三角形，且底边，取中点，连接，，计算求解即可. 【详解】因为D，E是腰AC上的两个动点， 根据三点共线分别可得： ，， 所以， 又，得到， 根据基本不等式可得， 当且仅当，即，时等号成立， 所以， 则 又是等腰三角形，且底边，取中点，连接， 则，且 根据平面向量数量积的公式可得： ， 故答案为：. 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 16. 如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线，分别是的中点，． （1）证明：平面； （2）设平面与圆所在平面的交线为，证明：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接、，根据圆柱的性质可得四边形为平行四边形，即可得到 为的中点，从而得到，即可得证； （2）根据面面平行的性质得到，即可得证； 【小问1详解】 证明：如图连接、， 根据圆柱的性质可得且，所以四边形为平行四边形， 因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 【小问2详解】 证明：根据圆柱的性质可得圆平面， 又平面圆，平面平面， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 17. 已知平面向量. （1）求函数在上的单调区间； （2）当时，求函数的最小值及此时的值. 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为； （2）的最小值为此时. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算以及三角恒等变换化简，利用整体的思想以及结合正弦函数的图象即可求解单调区间； （2）利用整体的思想求解即可. 【小问1详解】 ， 令得； 令得； 得 的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时,，此时， ， 的最小值为， 此时，即. 18. 如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. （1）求证：平面平面ABC. （2）求四面体ACMN的体积. （3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3）存，，证明见解析 【解析】 【分析】（1）易证平面ABC，平面ABC，再利用面面平行的判定定理证明； （2）由求解； （3）取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，得到，，取CB的四等分点G，使，得到，，从而四边形DFGE是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明. 【小问1详解】 证明：因为M，N分别是OB，OC的中点，所以， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，同理得平面ABC， 又平面PMN，平面PMN，， 所以平面平面ABC. 【小问2详解】 如图所示： 设圆锥的底面圆半径为r，则，解得. 所以在图中，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以. ，圆锥高， 所以， 所以， 即四面体ACMN的体积为. 【小问3详解】 如图所示： 在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下： 取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以，. 取CB的四等分点G，使，连接GE，FG. 因为，所以，， 所以，，所以四边形DFGE是平行四边形， 所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC. 19. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. （1）若，则 ①求； ②若，设点为的“点”， 求； （2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值. 【答案】（1）①；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①由正弦定理，边化角，利用两角和的正弦公式化简，即可求解； ②由三角形面积公式及向量数量积求解； （2）由三角恒等变换可知，再设，，，，得到，结合三个余弦定理表示，和，勾股定理确定等量关系，再结合基本不等式，即可求解； 【小问1详解】 ①在 中，由正弦定理得， ，有， ， ， ，，又， ； ②由①知，则 的三个角都小于， 由“点”定义知：， 设，，，由得 ，整理得， 所以 . 【小问2详解】 由，结合正弦定理， 有，均为三角形内角， 或（舍），即，， 由点为的“点”，得， 设， ，，， 由， 得， 由余弦定理得 ， ， ， 相加得，得， 整理得， 于是，当且仅当，即时取等号， 又 因为 而 解得，所以实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博实验中学、淄博齐盛高中高一年级第二学期第一次模块考试 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. i D. 2. 已知向量，若向量与平行，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 3. 在中，角的对边长分别为.若，则（ ） A 17 B. 7 C. 34 D. 13 4. 已知角终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 6. 如下图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点，为线段上的点，若，且满足平面，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 如图，在中，为边上靠近点的四等分点，，，的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知正六边形ABCDEF边长为3，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的最大值是（ ） A. B. 8 C. D. 10 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 10. 已知函数图象横坐标变为原来的倍后得到，再将的图象向右平移个单位，得到，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 若关于x的方程在上有1个实数根，则 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 当时，函数的值域为 C. 当时，函数的单调递增区间为 D. 若，函数在区间内恰有2025个零点，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 复数的模是_________. 13. 如图，在等腰中，底边，D，E是腰AC上的两个动点，且形，则当取得最小值时，的值为_________. 14. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线，分别是的中点，． （1）证明：平面； （2）设平面与圆所在平面的交线为，证明：平面． 17. 已知平面向量. （1）求函数在上的单调区间； （2）当时，求函数最小值及此时的值. 18. 如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. （1）求证：平面平面ABC. （2）求四面体ACMN的体积. （3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 19. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. （1）若，则 ①求； ②若，设点为的“点”， 求； （2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $