广东省领航高中联盟2024-2025学年高一下学期第一次联合考试数学试卷

绝密★启用前 (如周，某校高一儿位同学离量平地上某建筑物P的高度，从地面上一点A观察建筑物厦常”的 领航高中联盟2024一2025学年下学期第一次联合考武 仰角为云，朝建筑物方内时的2沿m到达点我，从友B税系户的抑角为宁则建筑物C心的高度为 上进联 A4w受n空- 高一数学试卷 a 3a C.20w27m D.20h 3如 4 说泰头4面，19小湖，高分150分。考试用时20分的。 ?用斜二测新法新出△4C的直观周△BC如用质不，在4'BC中，内角'，B,C的对边分别为 注意事项： ,,',满是a2-e='+6,且=1.则△4B中AB边上的高为 1考妻说国1动桥第一普第五章占20%，必特第二#第女幸至第八章葛五节占80修。 2,器卷前。考生务必将鲁己的性名、直青证号￥燥写在答题卡稻定位置上。 3.同器选泽观时，选由每小强器拿后，用悟笔北器平上对2理月的答案林号豫累。如需戏 游，用橡成擦干沙后。再选渗其花答蒙标号。田答非选择观时，将答量写在答道十上。写在表认卷 上无效。 A. B. 4.考生丞领保持答题十的整待。考认站来后，境将答题卡交回 c,福 0.2w6-22 ?现有一块棱长为2的正四面体实心木料，用早行于该木料底童的一个平面将木料截成两事分，若 一，慧辉题：本题共8小愿，每小履5分，共40分.在每小驱给出的四个选项中，只有一项是符合题目 这两部分的表面积相等，期该平面在木料上的载面面积为 妻果的 1己知(1-)-1=0.则：的虚部为 A c 二，达择愿：本题共3小题，每小愿6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项特合愿日要求全 都诱对的得6分，都分满对的得的分分，有珠错的得D分 2已加向量a=《35),b=(2,稀}.若日上(a-b),期m= 9已国锥的底面半径r-2.线长1=6，设该框等的侧面展开图为扇形0站，0为扇形圆心，螺 A.3 B,4 5 A.南形贴的图心角红为号 3.下列合题中为真在图的是 B.同脏的高A为42 A.冈台的侧面展开图是一个用彩 C.园锥的表面积为16： 昌，用任宜个平馆去就校维，校锥在面和截面之间的溶分为校白 D.从A点烧圆组侧面一偶国黄A点的量知距离为62 C.有两个面互相平行，其会各面都是四边形，并且相邻再个四边形的公共边霉互相平行，由这些 10定义复数运算出⊙与=4马村马，已知复数：=1+2i,m端足：⊙=10，则 面所围成的多面体是棱柱 A,期可以是3州 D.五棱膝共有6个国点.11条极 B,的最小值为5 本若能角a,B端足nam引.则am(ag- C在复平面内对成的点不可能位干第二单限 D.的实都是3 A.1 B./3 C.2 1山记0是△4C的外接图，且AB=6,AC=4.80=4B+3C,勇 3 A.240-0i40C B.行.房-18 5已知向藏=(-3,4)，b=(1,0),若向量c离足{a.c)=(b,c),则c可以是 A.0+3b B.50+h C.3#+4地 .4a+3b C,△AC的面积为6百 圆0帕周长为2红 广东·高一数学第1面（共4可） 广在·高一数学第2面（井4》 三，填空题：本题共3小题，每小驱5分，共15分 17.(5分)已知在面积为s的△中，家-径，元 12已超x=n-5+6(-2)i为施业数，刚实数年 (1)挂明：AB+4G=3G, 1注m20-2m80 (2)若BC-2,求s的量大值 s110 14已每两数小2+司引若e0cn,且(m)=,明m的取镇橙围为一 四，解答驱：本题共5小驱，共门分.解搭程写出文字说期，证明过程或清算步骤 15(3分)己想在正方形0中，币-2而，C司=20成 (1)设币=8，丽=b,用a,b表示同： 1度(？分)议函数)=(-+0，>0.》，其都分图象与坐标维交点如图所示 (2)若AC上一点R诱足派=A4(1-A》0,求A的值 C)若R=1,w=中=星求m∠AG (2)在△4C中，记内角A.B,C所对的边分划为a,.c,且m2-2hms罪=(-e) )正明：△AG是等授三角形； )若多=nB,求当代x)的最小正周期为多少时，△AC的中线心能取得最大值 16.(15分)如图，已用网锥P的顶点为P,底童心为0.AB为盛面直径，AB=印=2，点G是底童 周上并干A,B的一点D是PB的中点，空间中一点Q满是A0 (I)正明：0D平而C: (2)设球从与图策的侧山和依面均相切，求球M的半径： 9(7分)议△汇的务接圆半径为程，内初国半径为，且内角A,B,C所对的边分期为，6，C,定 (3)让明：？∥平面，是“AP=C贝的充爱条作， 文人”的值为△C的径比 (1)若△MC为等藏直角三角感，求△4C的径比： (2列顶明m4mB+aC 2sin Asin Bin C (3)若a:24+m2B=1+em2C,求了的量值 广东·高一数学第3面（共4可》 广在·高一数学第4页（井4X》 上进联考更专业更放心 一站式考过服务专家 领航高中联盟2024一2025学年下学期第一次联合考试 高一数学参考答案及评分细则 1.【答案】A 【保标]油题意可得：片可宁宁酸部为号放击 1 1+i 2【答案】D 【解析】由题意可得a-b=(山，5-m）,又因为a上(a-b),所以a·(a-b)=3x1+5x(5-m)=0.解得m=。故选D 3.【答案】C 【解析】圆台的侧而展开图是圆环的一部分，通常称为“扇环”，不是扇形，故A错误：根据棱台的定义，用一个平 行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和戴面之间的部分为棱台，故B错误：有两个面互相平行，其余各面都是四 边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故C正确：易得五棱锥共 有6个顶点，10条棱，故D错误.故选C. 4.【答案】B 【解析由诱导公式易得血a=c(行d,放受a=+》由a,Be(0,》,可知受a=B+石，即 aB=号放m(ap)=尽.放选B 5.【答案】A 【解析】设c=ma+b,(a,c)=(b,c)等价于向量e与a的夹角等于向量c与b的夹角，所以c在a,b方向上投影 向量的长度始终相等，又因为a=√(-3)+4=5，b=1,所以m:n=1:5,故c可以是a+5h.故选A 6.【答案】A 【解析】在△PAB中AB=20m,∠PB=a,∠APB=g 由正弦定理得20。P a sin a 所以PB=40os2,所以CP= sin 2 3 PBsin2=40eo2in2m故选A 7.【答案】C 【解析】由题意可得a”=b46,故由余弦定理可得em乙0C6。。人 子所以∠0C由 斜二测画法，知上C"0= 4在△0A'C中，由正弦定理可得。0C m∠0AC“m∠C0解得0rC'= A'C 2,由斜二 测画法的性质，所以在原三角形中，OC=20C=石，因为原三角形中，AB依然在x轴上，所以△ABC中AB边上 的高即为0C,为6.故选C 8.【答案D 【解析】由正四面体木料知，底面为边长为2的正三角形，故底面面积为5，因为平面平行于该木料底面，故该平 面在木料上的截面也为正三角形，设小正三角形与木料底面的相似比为k,则该平面在木料上的截面面积为 ,截下部分，一部分为小四面体，一部分为正三棱台，其中小四面体部分的表面积即452，正三棱台的表面 广东·高一数学第1页（共6页） 上进联考更专业更放心 一站式考试服务专家 积为45-35=4-25，放45=45-25，解得=号，所以该平面在木料上的截面面积为 23 故选D 9.【答案】BC(每选对1个得3分) 解折】圆锥底面周长C=2mr=4红，a=二_2云，故A错误：圆锥的高k,联面半径r和母线1构成直角三角形，所以 人=个子=6习=4反，故B正确：S=+=16,放C正确：圆锥侧面展开图的圆心角a-号在侧面展 开图中连接AB,此时AB的长度就是从A点沿圆锥侧面绕一周回到A点的最短距离。在△AOB中，OA=OB=6, ∠A0B=票根据余孩定理A=66-2x66m号=1084=65.放D错误放选C 3 10.【答案】BCD(每选对1个得2分) 【解析】设w=a+bi(a,beR).代入：⊙w=10,解得a-2弘=5.对于A,3-2=1不满足a-2h=5,故A错误：对于B, -=y=5+2+西=5x√+2币.故e的最小值为5.放B正确：对于C,。-2=56=宁 三所以在复平面内对应的点坐标为。，若”，0.调a>5.所以该点不可能位于第二象限，故C正确 对于D,w=(a+bi)(1+2)=a-2h+(2a+b)i.其实部为a-2b.因为a-2b=5.即其实部为5，枚D正确.故选BCD. 11.【答案】BCD(每选对I个得2分) 【解析】因为圆0是△ABC的外接圆，所以O是△ABC的外心，0在BC的中垂线上，若2A0=O丽4O元，则A也应 在BC的中垂线上，与AB≠AC矛盾，故A错误：因为O是△ABC的外心，所以O在AB的中垂线上，A可·AB 阿·应o∠OB=-18,放B正确：由180=8店+3元得18可，花=8证.应+3正·孩，即18× 2 8=63e4每得m4宁放血号△度的面职为时，4C色字6 3 =65,故C 正确：csA= 1 AB+AC*-BC 22AB·AC ,解得BC=27,由正弦定理 二2R=2门所以圆0的半轻为2石其周长 sin A 3 为小放D正确放毒0D 12【答案】3 a2-5a+6=0, 【解析】由纯虚数的概念可得 解得a=3. a-2≠0. 13.【答案】-3 【解析】因为eos80°=os(20°+60)=7s20-台 号h20.所以m20”20e5sm20.5m20 co%1109 c0s1109 - 广东·高一数学第2页（共6页） 上进联考更专业更放心 一站式考试服务专家 14【答案】行+回 【解析】由题意得函数)归叫2写引图象的对称中心的做坐标满足2+号-如e乙.解得=。受，k。 ，当=0时=云当=1时=中 ,所以对于m<0<nf(m)+/)=0,令(m.J(m))与 (a)关于（云对称可以使a-m尽可能小，故n-m>2×[0(引-号，所以n-m的取值袍围 为行+树： 15.解：(1)解法一：P风=P+店+B或，(2分) 因为m,所以币号0（3分) 因为可=20城，所以成=成，(4分) 又在正方形ABCD中，BC=Ad(5分) 所以网=可风顾=子 1 3a=3a+h.(6分) 解法二：以A为原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，(1分) 不妨设AB=3,则P(0,2),Q(3,1),A(0,0),B(3,0),D(0,3), 所以P0=(3,-1).AB=(3.0).A0=(0.3).(3分) rm=1 设而=m丽n访，则3. 解得1(5分) -1=3n, 3 所以可=子+h.6分) (2)解法一：设正方形ABCD的边长为3， 以A为坐标原点，AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，(7分) 则A=(0.2).A0=(3.1).AC=(3.3).(8分) 广东·高一数学第3页（共6页） 上进联考更专业更改心 一站式考试服务专家 因为R是AC上一点，设A=元=(3,3)，(10分) 期=Ax03(12分 3=2λ+1-A. 1 解得A=2(3分) 解法二：设A京=k4元. 则A匠=(AB+A)=(Ad+Q证)+hA =0,函k…0 =0背t: =4平+A反.(10分) 所以/， (12分) k=1-A. 1 解得A2(13分) 【评分细则】 其他解法酌情给分。 16(1)证明：在△PAB中，0为AB的中点，D为PB的中点，所以ODAP,(1分) 因为APCQ.所以OD∥CQ,(2分) 因为CQc平面PQC,OD￠平面PQC,所以OD平面PQC.(4分) (2)解：由对称性得，球1的球心在P)上，(5分) 要使球/与圆锥的侧面和底面均相切，只需要平面PAB截球M所得的圆与△PAB的各边均相切，(6分) 设球M的半径为R.由圆锥底面半径为1.母线长为√/2+下=√5.(7分) w2-R_P R OB =√5，(9分》 解得=博球V的半径为气（的分） (3)证明：因为AP∥CQ,所以A,P,Q,C四点共面，则平面APOCO平面ABC=AC. 充分性：因为PQ∥平面ABC,所以PQ∥AC,(11分) 故四边形APQC为平行四边形，所以AP=CQ.(12分)】 必要性：因为AP=CQ.所以四边形APQC为平行四边形，故PQ∥AC,(13分) 因为ACC平面ABC,PQ￠平面ABC,所以PQ∥平面ABC.(14分) 故“PQ∥平面ABC"是“P=CQ"的充要条件，(15分》 【评分细则】 第三问的证明只要证明过程逻辑请晰，严谨合理均酌情给分 17.(1)证明：由题可知BC=AB·AC·cosA.(2分) 由余弦定理可知2BC=2AB·AC·c0sA=AB+AC-BC2,(4分) 即AB2+AC2=3BC2(6分) 广东·高一数学第4页（共6页） 上进联考更专业更放心 一站式考试服务专家 3BC2AB+AC2AB·AC_2 (2)解：由题可得oA3B·AcB·AC产38·AC了，(9分) 当且仅当AB=AC时等号成立，(10分) 由s=2B:4cm4=号·二：血4=2m.分 1 BC 由mA子得m≥ ,(12分) 故sin2A=1-eos2A≤ 三、三年中7云之 2(14分) 2 故S=2anA≤5，当且仅当cosA=一时等号成立 3 做S的最大值为5.(15分) 【评分细则】 第二问若考生未说明取等条件，一处扣1分 18()解：低题意)一引则0B=0)=-号1分) 令)=0得号0.4行.小2分) 32 所以tan∠CBO= 4 m∠AB0=2 (3分) 322 所以an∠ABC=m(LCB0+∠ABO)三32万=号(4分) 1 44 (2))证明：在△4BC中，由余弦定理得csB=+之- 2ac 二，(5分) 因为a2-2 abeos B=(b-c)3 所以a2.b(a2+e2-6=(b-e).(6分) 展开整理，有(b-c)(a2-b2-e2)=0.(8分)】 若。2=+忙，那么有A=号.由图知A<受矛后.(9分) 所以b=C,△ABC是以A为顶角的等腰三角形.(10分) (国)解：闲为励=id).平方得m=之2+2+2a=.(1分 在△c中，由正孩定理可得后后c(2分剂 所以a=nA=%in(T-2B)=sin2B=2 sin Beo%B,c=sinC=sinB,(13分） 于是BD=子(imB+4 in'Beo2B+4 in BeosB)=(8coB+1)=4(9-8mB).(14分) 广东·高一数学第5页（共6页） 今上进联专更专业更放心 一站式考试服务专家 放B0=sinB -8ar8=(g-8i8)≤ /8sim'B+9-8sin2B281 4 32 2 (15分) 128 当且仅当inB=一时等号成立，(16分) 4 此时AC=b=如B三又因为最小正周期T=24C,所以当周期为时，BD能取得最大植2 4 .(17分) 【评分细侧】 若第二问的第（ⅱ）小问中考生未说明取等条件扣1分 19.(1)解：设△ABC的两条直角边为2，斜边为2，所以外接圆半径R=1,(1分) 内切圆半径r满足之（反+反+2）=子2x反所以上反1.(2分) 所以/=R-反+1.(3分 (2)证明：△4C的面积S=之sinC.(4分) 则时a+6te)=in.C(.5)分 1 所u时-26剂 由正孩定理品后后C2次，所以R2C（7分列) 因此/=R_a+b+ec_sinA+sinB+sinC 2absin'C 2sin Asin Bsin C() (3)解：由二倍角公式可得原式等价于1-2sin2A+1-2in2B=1+1-2sin2C.(9分) 即A+simB=m2C,由正弦定理可得+6=，所以C=受（山分） 所以inA=%B,(12分) 所以/sB+sinB+1 2c0 Bsin B,(13分) 令=snB+osB=巨smB+）4e(15].(14分) 所以2 sin Beo%B=(nB+eo%B)2-1=2-1,(15分) 所以1、1 P1e[2+1,+w),(16分) 即了有最小值2+1.没有最大值(17分) 【评分细则】 1,第一问不设出边长，用字母表示，若正确也给满分： 2,第三问要同时说明出无最大值，若未说明扣1分 广东·高一数学第6页（共6页）