精品解析：2025年四川省达州市通川区二模数学试题

2025年九年级诊断测试 数学试卷 （时间：共120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.考试日期：2025年4月． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将答题卡收回． 第I卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ） A. kg B. kg C. kg D. kg 4. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为．若点M的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，是上的一点（不与、重合），，垂足是点，设，四边形的周长为，则下列图象能大致反映与之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和B（m，0），且3＜m＜4，则下列说法：①b＜0；②a+c＝b；③b2＞4ac；④2b＞3c；⑤＝1，正确的是（　　） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ②③⑤ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 12. 如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为_______米． 13. 关于x的一元二次方程的两个根为，，且，则的值为___________ 14. 如图，点A是反比例函数在第二象限内图像上一点，点B是反比例函数在第一象限内图像上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是________． 15. 如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．当最大时，线段的长是______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分，解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次一共调查了_______位同学，请补全条形统计图． （2）若该校有2000名学生，请你估计有意愿参与植树造林的学生有多少名？ （3）为了进一步提升学生绿色出行的意识，学校从4名同学（两男两女）中随机抽取2人参与“绿色出行”知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法求出2人恰好都是女生的概率． 18. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，） （1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长； （2）求的长． 19. 如图，菱形的对角线，相交于点O，，． （1）读下面语句并完成作图（尺规作图，保留作图痕迹）： ①过点B作；②过点C作，交于点E． （2）求四边形的面积． 20. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若，求点M的坐标． 21. 已知A、B两地有相同质量的某种农产品要出售，A地每吨农产品的售价比B地少100元，某公司分别用30000元和34000元将这两地的农产品全部购进． （1）求该公司购进农产品的总质量． （2）该公司打算将购进的这批农产品出售，经市场调查，当农产品价格为1200元/吨时，价格每周会上涨200元/吨．公司决定将这批农产品储存一段时间后再出售，但储存过程中每周会损耗2吨，同时每周还需支付各种费用1600元．求公司将这批农产品储存多少周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是多少（利润=销售额-成本-支出费用）． 22. 如图，已知，以交于点D，点E为弧的中点，连接交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若⊙O的半径为2，，求的长． 23. 知识背景 当且时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数与函数，则当时，有最小值为． 解决问题 （1）已知函数与函数，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ （2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 24. 如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 25. 数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级诊断测试 数学试卷 （时间：共120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.考试日期：2025年4月． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将答题卡收回． 第I卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可． 【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意； B. 是正数，故选项B不符合题意； C. 是正数，故选项C不符合题意； D.是正数，故选项D不符合题意； 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意， ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式的应用，熟记运算法则是解本题的关键． 3. 水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ） A. kg B. kg C. kg D. kg 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法及负指数幂，熟练掌握科学记数法及负指数幂是解题的关键；由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得： ； 故选C． 4. 蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为．若点M的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的性质，熟练掌握关于轴对称的点的坐标的特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，是解题的关键．根据关于轴对称的点的坐标的特点，即可得出答案． 【详解】解：点M的坐标为，则点的坐标为． 故选：A． 5. 如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余．先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，解题的关键是根据数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．将数据从小到大重新排列，再根据中位数的概念求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排列得：，，，，，，， ∵数据有奇数个，最中间的数据为：， ∴这组数据的中位数为． 故选：B． 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．因为一元二次方程有实数根，所以可得，解不等式求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， ， 整理得：， 合并同类项得：， 解得：． 故选：D． 8. 随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件， 依题意得：． 故选：A 9. 如图，在中，，，是上的一点（不与、重合），，垂足是点，设，四边形的周长为，则下列图象能大致反映与之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图象、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是构建函数关系式，注意自变量的取值范围．由，得，求出、，即可解决问题． 【详解】解：如图，作于． ，，， ， ， ， ， ， ， 设的长为， ， ，， 四边形的周长为． ， 图象是B． 故选：B． 10. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和B（m，0），且3＜m＜4，则下列说法：①b＜0；②a+c＝b；③b2＞4ac；④2b＞3c；⑤＝1，正确的是（　　） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由对称轴可知：＞0，a＜0， ∴b＞0，故①错误； ②将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c， ∴a﹣b+c＝0，故②正确； ③由题意可知：△＝b2﹣4ac＞0，故③正确； ④2b﹣3c ＝2（a+c）﹣3c ＝2a+2c﹣3c ＝2a﹣c， ∵a＜0，c＞0， ∴2a﹣c＜0， ∴2b＜3c，故④错误； ⑤将（m，0）代入y＝ax2+bx+c， ∴am2+bm+c＝0， ∴am2+bm＝a﹣b， ∴am2﹣a＝﹣bm﹣b， ∴a（1﹣m）＝b， ∴（b﹣c）（1﹣m）＝b， ∴mb＝c（m﹣1）， ∴， ∴＝1，故⑤正确； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式及分式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于0，分母不为0即可求解． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ， ， 故答案为： ． 12. 如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为_______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．根据点E是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点E是的黄金分割点，， ∴． ∵米， ∴米． 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程的两个根为，，且，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系可得，，再把变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点A是反比例函数在第二象限内图像上一点，点B是反比例函数在第一象限内图像上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是________． 【答案】3 【解析】 【分析】分别过、两点作轴的垂线，构成直角梯形，根据，判断为直角梯形的中位线，得出，根据双曲线解析式确定、两点的坐标及、的长，根据求解． 【详解】解：分别过、两点作轴，轴，垂足为、， ， ， 设，所以， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，关键是作辅助线构造直角梯形，根据AC=BC，得出OC为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解． 15. 如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．当最大时，线段的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轨迹，切线等知识．证明，推出，推出．由，推出点的运动轨迹是，设圆心为，连接，，．求出是切线时的长即可． 【详解】解：如图， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是， 设圆心为，连接，，． ，， 垂直平分线段， ，，，， ， ， 当与相切时，的值最大，此时． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分，解答题应写出必要的步骤、文字说明或证明过程） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的函数值，零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，绝对值计算解答即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算进行化简，后代入求值即可先化简． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 将，代入可得， 原式． 【点睛】本题考查了特殊角的函数值，零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，绝对值，分式的加减乘除混合运算，熟练掌握公式，熟记三角函数值是解题的关键． 17. 近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次一共调查了_______位同学，请补全条形统计图． （2）若该校有2000名学生，请你估计有意愿参与植树造林的学生有多少名？ （3）为了进一步提升学生绿色出行的意识，学校从4名同学（两男两女）中随机抽取2人参与“绿色出行”知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法求出2人恰好都是女生的概率． 【答案】（1）200； （2）600名； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）用水资源保护的人数除以所占的百分比可求出本次一共调查的人数，求出节能减排的人数，补全条形统计图即可； （2）用学校总人数乘以有意愿参与植树造林的学生人数所点的百分比即可求解； （3）列出表格，根据表格得出共有12种等可能的结果，其中2人恰好都是女生的结果有2种，即可求解． 【小问1详解】 解：（1）本次一共调查了（位）同学， “节能减排”的人数为（人）， 补全条形统计图如图： 故答案为：200； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计有意愿参与植树造林的学生约600名； 【小问3详解】 解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中2人恰好都是女生的结果有2种， ∴2人恰好都是女生的概率为． 18. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到米）（参考数据：，） （1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长； （2）求的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）根据，代入数进行计算，即可求解； （2）利用，先求出米，再利用，求出米，问题得解． 本题考查了解直角三角形的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：液压杆与底盘夹角为β．已知液压杆米，， 在中， ∴， ∴米， 即的长为2.55米； 【小问2详解】 解：在中，，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴（米）， 即的长为米． 19. 如图，菱形的对角线，相交于点O，，． （1）读下面语句并完成作图（尺规作图，保留作图痕迹）： ①过点B作；②过点C作，交于点E． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）12． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图和矩形判定和菱形的性质． （1）延长到P，以B为顶点，作，则；②延长，作过点C作，交于点E． （2）先根据菱形性质得到，，再根据尺规作图，证明四边形为矩形，则四边形的面积可求． 【小问1详解】 ①如图，延长到P，以B为顶点，作，则；②延长，作过点C作，交于点E． 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形，，， ∴，， 由（1）， 则， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积． 20. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若，求点M的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数的解析式为 （2）M点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得， 经检验，是方程的解， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，可得， 解得， ， ， ， ， ， ， M在O点左侧时，； M点在O点右侧时，， 综上，M点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键． 21. 已知A、B两地有相同质量的某种农产品要出售，A地每吨农产品的售价比B地少100元，某公司分别用30000元和34000元将这两地的农产品全部购进． （1）求该公司购进农产品的总质量． （2）该公司打算将购进的这批农产品出售，经市场调查，当农产品价格为1200元/吨时，价格每周会上涨200元/吨．公司决定将这批农产品储存一段时间后再出售，但储存过程中每周会损耗2吨，同时每周还需支付各种费用1600元．求公司将这批农产品储存多少周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是多少（利润=销售额-成本-支出费用）． 【答案】（1）该公司购进农产品的总质量为80吨； （2）公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，以及最大利润是122000元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和二次函数的应用．熟练掌握总价、单价、数量的关系，利润、售价、成本的关系，列方程，列函数解析式，是解题的关键． （1）设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨，根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元，然后根据总利润＝销售额﹣成本﹣支出费用，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：设该公司从A地购进农产品m吨，从B地购进农产品也是m吨， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴（吨）， ∴该公司购进农产品的总质量为80吨； 【小问2详解】 解：设公司将这批农产品储存x周后再出售，能获得的总利润为y元， 由题意得： ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值，元， 故公司将这批农产品储存15周后再出售能获得最大利润，最大利润是122000元． 22. 如图，已知，以交于点D，点E为弧的中点，连接交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若⊙O的半径为2，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E为弧中点， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接AE，求出，推出，求出，根据切线的判定即可证明结论． （ 2）根据．求出，根据证，推出，由勾股定理得出求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半为2， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 设， 由勾股定理得：，解得： （负数舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定等知识点，灵活运用相关性质、判定定理是解答本题的关键． 23. 知识背景 当且时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数与函数，则当时，有最小值为． 解决问题 （1）已知函数与函数，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ （2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 【答案】（1）当时，有最小值，最小值为6； （2）当时，w有最低成本，最低成本为元．． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，，当时，有最小值，即可求解； （2）设设备平均每天的租赁使用成本为元，依题意得，根据，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ∴当时，有最小值， ∴时，有最小值，最小值为； 【小问2详解】 解：设设备平均每天的租赁使用成本为元，依题意得： ， ∵ ， ∴， ∴当时，w有最小值， ∴或（舍去）时，w有最低成本，最低成本为元． 24. 如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】 【详解】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式； （2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值； （3）存在四种情况： 如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标． 详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D， 由对称性得：D（3，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3）， 把A（0，3）代入得：3=3a， a=1， ∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3； （2）如图2，设P（m，m2-4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°， ∴∠AOE=45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE=OA=3， ∴E（3，3）， 易得OE的解析式为：y=x， 过P作PG∥y轴，交OE于点G， ∴G（m，m）， ∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3， ∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE， =×3×3+PG•AE， =+×3×（-m2+5m-3）， =-m2+m， =（m-）2+， ∵-＜0， ∴当m=时，S有最大值是； （3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， ∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF， 易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN， ∵P（m，m2-4m+3）， 则-m2+4m-3=2-m， 解得：m=或， ∴P的坐标为（，）或（，）； 如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM， 则-m2+4m-3=m-2， 解得：x=或； P的坐标为（，）或（，）； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题． 25. 数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，　 ∵， ∴， ∵， ∴，即； ②，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， 由①，知， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据四边形是菱形，得，，，，由，得到，所以，由此即可求解； （2）①根据菱形的性质，结合题意得到，在四边形中，，，，，即可求解； ②由菱形的性质得到，，则三点共线，，由①知，则，结合相似三角形的判即可求解； （3）根据题意得，分两种情况讨论：①当，时，，，，即，又，，设，则，，，列式求解；②当，时，同理可得，设，则，，列式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①略 ②略 (3)或， 同（2）①可得， ∵， ∴， 分两种情况讨论：①当，时，如题图3所示， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当，时，如解图所示， 同理可得， ∵， ∴证四边形是平行四边形， ∴是的中点， 设，则， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，等边对等角的性质，相似三角形的判，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $