精品解析：北京市第一六五中学2024—2025学年高二下学期期中教学目标检测数学试题

北京市第一六五中学2024—2025学年度第二学期期中教学目标检测 高二数学试卷 一、选择题（共10小题，共40分．每个小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式求解即可. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 2. 某学校组织课外实践活动，现有5条不同的路线供高一、高二、高三3个年级选择，每个年级从中任意选择一条路线，最终确定3个年级的课外实践活动总方案．则不同的活动方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步计数乘法原理求解. 【详解】完成这件事情可分三步： 第一步：高一学生选择一条线路，有5种选法； 第二步：高二学生选择一条线路，有5种选法； 第三步：高三学生选择一条线路，有5种选法. 根据分步计数乘法原理，完成这件事情的方法有：种. 故选：A 3. 已知，若，则的取值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助赋值法计算即可得. 【详解】令，有， 即或. 故选：A. 4. 小明家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为. 已知邻居记得浇水的概率为，忘记浇水的概率为，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全概率公式即可得到答案. 【详解】设事件：邻居记得浇水，事件：邻居忘记浇水，事件：花存活， 则有，，，， 由全概率公式可得， 故选：C. 5. 在某班进行的歌唱比赛中，共有6位选手参加，其中3位女生，3位男生．如果3位男生任何两人都不能连着出场，且女生甲不能排在最后一个，那么出场顺序的排法种数为（ ） A. 60 B. 72 C. 132 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】先排女生，再利用插空法排男生，同时要注意女生甲排在最后一个的情况. 【详解】①先不考虑女生甲的位置限制，计算3位男生任何两人都不连着出场的排法总数. 先排3位女生，有种排法，即6种排法. 3位女生排好后会产生4个空位，从这四个空位中选3个排男生，共有种排法，即24种排法. 根据分步乘法计数原理，那么不考虑女生甲位置限制时， 3位男生任何两人都不连着出场的排法总数为. ②计算女生甲排在最后一个且3位男生任何两人都不连着出场的排法数. 女生甲排在最后一个，那么先排另外两个女生，有种排法，即2种排法. 这两个女生排好后会产生3个空位，从这3个空位中排3个男生，有种排法，即6种排法. 根据分步乘法计数原理，那么女生甲排在最后一个且3位男生任何两人都不连着出场的排法数为 . 综上，根据题意，满足题目要求的排法有种. 故选：C. 6. 函数的最小值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接求导，令导函数为0，得到其极值点，分析其单调性即可得到最小值. 【详解】函数，求导得，令，则， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则. 故选：B. 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 为的极小值 B. 恰有两个极值点 C. 为的极大值 D. 恰有一个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数图象判断函数的极值点，根据函数在某点取得极值的充要条件是该点两侧导函数的符号发生变化进行解答. 【详解】该图象为函数的导函数的图象. 当为0，且左右两侧符号发生变化时，该函数取得极值. 通过图象可以看出，导函数为0的点有两个，分别是在和处. 在时，导函数左右两侧符号相反，左侧为负，函数递减，右侧为正，函数递增， 所以该函数在处取得极小值. 而在处，导函数左右两侧的符号均为正，所以此处不是函数的极值点. 这说明恰有一个极值点. 故选：D. 8. 已知函数在处取得极大值，则c的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 3或6 D. 2或6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数在时的导数为0求的值，再根据函数在处取得极大值进行判断. 【详解】因为， 所以. 因为函数在处有极值，所以，且， 所以， 所以或. 若，则， 由或；由. 所以在上单调递减，则上单调递增. 所以是函数的极小值，不合题意. 若，则， 由或；由. 所以在上单调递增，则上单调递减. 所以是函数的极大值.满足题意. 故选：B 9. 已知函数 ， 若对任意恒成立， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导函数，利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0，即得． 【详解】因为 所以， 当时，，函数在上为减函数， 又当时，，不满足在定义域内恒成立； 当时，由，解得， 当时，，当时，， 所以当时，函数为减函数，当时，函数为增函数， 所以=＝ 由，得，即， 所以k的取值范围是. 故选：D． 10. 已知函数，若，且，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，将表示成关于的函数，再利用导数求函数的值域，即可得答案； 【详解】，且， ，则， ，， ，令， ， 当时，，在单调递减， 且时，，当时，， 的取值范围是， 故选：A. 【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将表示成关于的函数，再进行求解. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）． 11. 若展开式中的所有二项式系数和为512，则_____；该展开式中的系数为________（结果用数字表示）. 【答案】 ①. 9 ②. -84 【解析】 【分析】由二项式系数和为，即可求解的值，利用通项公式即可求得展开式中的系数． 【详解】由已知可得，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 展开式中的系数为． 故答案为：9，． 12. 已知随机变量X的概率分布如表且；则_______；_______﹔ X 1 2 4 P 0.4 a b 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据分布列的概率性质，结合题意，求参数，根据数学期望的性质以及计算公式，可得答案. 【详解】由，则，即，由，则， 所以. 故答案为：；. 13. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取五局三胜制（在五局比赛中，优先取得三局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，已知第一局比赛乙获胜，则甲取得比赛胜利的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析甲取得比赛胜利的情况，分别求其概率，再相加即可. 【详解】要甲取得比赛胜利，有以下两种情况： （1）甲第2,3,4局连续获胜，概率为； （2）甲第2,3,4局获胜2局，输1局，第5局获胜，概率为：. 所以甲取得比赛胜利的概率是：. 故答案为： 14. 随机变量的分布列如图，（1）若，则_______；（2）若，则_____（填“>”、“=”、“<”） 0 3 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】（1）先根据分布列的性质和期望的概念确定的值，再求随机变量的方差. （2）结合，分别表示出与，用作差法比较其大小. 【详解】（1）若，则. 所以. （2）易知. 因为， . 若，则的分布列为： 0 3 所以， . 岁 因为，所以，所以. 故答案为：6； 15. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】取特殊值判断①，当时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④. 【详解】当时，，显然函数的最小值为，故①正确； 当时，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，由可得， 此时，时，，在上单调递减，所以， 与最小值为矛盾， 若时，的对称轴方程为，当时， 即时，，若，则与矛盾， 当时，在上单调递减，无最小值， 综上，当时，函数的最小值不为，故②错误； 由②知，时，时，单调递减且，当时，且，所以函数恰有2个零点，故③正确； 当时，且仅有，即有且只有1个零点， 当时，且仅有，即有且只有1个零点， 综上时，有且只有1个零点，而在上至多有2个零点， 所以时，函数没有4个零点，当时，函数有无数个零点，故④错误. 故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分类讨论，利用导数研究上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数. 三、解答题（共7小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. 某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X． （1）求随机变量X的分布列，期望； （2）若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，求随机变量Y的分布列和期望． 【答案】（1） 1 2 （2） 【解析】 【分析】（1）列出的可能值，求出对应的概率，可得的分布列，再求其期望. （2）根据与的关系，列出的分布列，再求其期望. 【小问1详解】 根据题意，可以为：0,1,2 且，，. 所以的分布列为： 1 2 所以. 【小问2详解】 根据题意，，则的值可以为：，，. 结合（1），可得的分布列为： 所以. 17. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）在区间上有两个零点，求m的范围. 【答案】（1） （2）单调递增区间，，单调递减区间. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间. （3）结合（2）的结论，转化为与在上有两个交点，数形结合，可求m的范围. 【小问1详解】 因为，所以. 又，所以. 所以在处的切线方程为：即. 【小问2详解】 因为. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问3详解】 由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在区间上有两个零点，即在上有两个解， 可得. 即的取值范围为： 18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.49，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有的可能值及其发生的概率． （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙投掷一次铅球，达到优秀的次数分别为，直接写出的大小关系（结论不要求证明） 【答案】（1）甲获得优秀的概率为 （2）的所有可能取值有0,1,2,3， ，， （3） 【解析】 【分析】（1）统计甲乙丙优秀的频率，即可根据概率与频率的关系求解， （2）根据相互独立事件的概率乘法公式分别求解概率即可， （3）根据两点分布的方差计算公式，即可比较大小作答. 【小问1详解】 由频率估计概率可得 甲获得优秀的概率为，乙获得优秀的概率为，丙获得优秀的概率为， 【小问2详解】 的所有可能取值有0,1,2,3， 设甲获得优秀为事件,乙获得优秀为事件，丙获得优秀为事件, ， ， ， . 【小问3详解】 由题意可知：分别服从两点分布， 故,所以， 19. 已知椭圆离心率为，左右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、，判断是否在以为直径的圆上，说明理由； （3）过点作斜率为的直线与曲线交于不同的两点，（异于，两点），直线，分别交直线于，两点，当时，求的值． 【答案】（1） （2） 联立直线与椭圆的方程： 将代入得， 展开得， 等式两边同乘4得， 整理为，设，， 由韦达定理得，. 若在以为直径的圆上，则. ，， ， 因为，， 所以， 把代入得. 所以不在以为直径的圆上. （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据椭圆的顶点坐标可得到长半轴的值，再结合离心率求出半焦距，进而求得短半轴，从而确定椭圆方程；对于（2），将直线方程与椭圆方程联立，求出交点坐标，然后计算向量的数量积，根据数量积是否为零判断点是否在以为直径的圆上；对于（3），先写出直线的方程，然后与椭圆方程联立，利用韦达定理得到交点坐标关系，再根据直线方程求出的纵坐标，最后根据求解的值. 【小问1详解】 已知椭圆左右顶点，，则. 又因为离心率，把代入可得. 根据椭圆中的关系，可得. 所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线的方程为，， 联立，将代入得： ， 展开， 等式两边同乘4得， 整理为. 由韦达定理可得，. 直线的方程为，令x=1，得； 直线的方程为，令，得. ， 因为，，代入并化简： . . 已知，则，即： 解得. 20. 已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲，乙，丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙、丙三名考生材料初审合格的概率分别是，面试合格的概率分别是． （1）求甲未获得该高校综合评价录取资格的概率； （2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率； （3）求甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数X的分布列． 【答案】（1） （2） （3） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）先求出甲获得录取资格的概率，再用1减去该概率得到甲未获得录取资格的概率； （2）分别求出甲获得乙不获得以及甲不获得乙获得这两种情况的概率，然后相加； （3）先确定的取值为0，1，2，3，再分别计算每个取值的概率. 【小问1详解】 设“甲材料初审合格”为事件，“甲面试合格”为事件， 甲获得录取资格需材料初审合格且面试合格，即，甲未获得录取资格为. 已知，，因为与相互独立， 根据，且， 所以 所以甲未获得该高校综合评价录取资格的概率为. 【小问2详解】 设“乙材料初审合格”为事件，“乙面试合格”为事件， “甲获得录取资格”为事件，“乙获得录取资格”为事件. 则，. 甲、乙中有且只有一位获得录取资格的概率为 因为，， 所以. 所以甲、乙两位考生有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率为. 【小问3详解】 设“丙材料初审合格”为事件，“丙面试合格”为事件，“丙获得录取资格”为事件， 则. 根据题意可知可能取值为0，1，2，3. ：甲、乙、丙都未获得录取资格， 那么 ：甲、乙、丙中有一人获得录取资格， 则 ：甲、乙、丙中有两人获得录取资格， 则 ：甲、乙、丙都获得录取资格， 则. 所以的分布列为： X 0 1 2 3 P 21. 椭圆的离心率为，设A，B分别为E的左，右顶点，C，D分别为上、下顶点，四边形ACBD的面积为4． （1）求椭圆E的方程； （2）若直线与椭圆交于G、H，求的面积； （3）过点的直线l与椭圆E交于两点P，Q（不与A，B重合），若直线PB与直线相交于点N，求证：三点A，Q，N共线． 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 如图： 因为不与重合，可设直线方程为：，代入椭圆， 得：，整理得：. 设，， 则，. 直线方程为：， 令得：，即点坐标为：. 所以，， 因为 ， 所以，所以三点共线. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求出的值，可得椭圆E的方程. （2）将直线与椭圆方程联立，可得点的纵坐标，利用三角形的面积公式，可求的面积. （3）设直线方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理，可得，，再利用两点式的直线方程，令，可得点坐标，再证即可. 【小问1详解】 由题意得：. 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 如图： 将直线即代入椭圆，得：. 整理得：或 又直线交轴于点. 所以. 【小问3详解】 略 22. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求a的取值范围； （3）证明：若在区间上存在唯一零点，则． 【答案】（1） 时的递增区间为R，无递减区间； 时的递减区间为，递增区间为. （2） （3） 由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点； 时，在上递减，在上递增，且， 所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷， 所以，在上存在唯一，使， 要证，只需在上恒成立即可， 令，若，则， 令，则，即在上递增，故， 所以，即在上递增，故， 所以在上恒成立，得证； 故，得证. 【解析】 【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间； （2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围； （3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论. 【小问1详解】 由题设， 当时，，则在R上递增； 当时，令，则， 若，则，在上递减； 若，则，在上递增； 综上，时的递增区间为R，无递减区间； 时的递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 由， 当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求； 当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而， 所以在上递减，在上递增，要使对恒成立， 所以，只需， 令且，则，即递减， 所以，故在上不存在； 综上， 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六五中学2024—2025学年度第二学期期中教学目标检测 高二数学试卷 一、选择题（共10小题，共40分．每个小题列出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1. 一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 2. 某学校组织课外实践活动，现有5条不同的路线供高一、高二、高三3个年级选择，每个年级从中任意选择一条路线，最终确定3个年级的课外实践活动总方案．则不同的活动方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 已知，若，则的取值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 小明家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为. 已知邻居记得浇水的概率为，忘记浇水的概率为，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在某班进行的歌唱比赛中，共有6位选手参加，其中3位女生，3位男生．如果3位男生任何两人都不能连着出场，且女生甲不能排在最后一个，那么出场顺序的排法种数为（ ） A. 60 B. 72 C. 132 D. 144 6. 函数的最小值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 为的极小值 B. 恰有两个极值点 C. 为的极大值 D. 恰有一个极值点 8. 已知函数在处取得极大值，则c的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 3或6 D. 2或6 9. 已知函数 ， 若对任意恒成立， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若，且，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）． 11. 若展开式中的所有二项式系数和为512，则_____；该展开式中的系数为________（结果用数字表示）. 12. 已知随机变量X的概率分布如表且；则_______；_______﹔ X 1 2 4 P 0.4 a b 13. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取五局三胜制（在五局比赛中，优先取得三局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，已知第一局比赛乙获胜，则甲取得比赛胜利的概率是______． 14. 随机变量的分布列如图，（1）若，则_______；（2）若，则_____（填“>”、“=”、“<”） 0 3 15. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共7小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. 某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X． （1）求随机变量X的分布列，期望； （2）若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，求随机变量Y的分布列和期望． 17. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）在区间上有两个零点，求m的范围. 18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.49，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有的可能值及其发生的概率． （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙投掷一次铅球，达到优秀的次数分别为，直接写出的大小关系（结论不要求证明） 19. 已知椭圆离心率为，左右顶点． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、，判断是否在以为直径的圆上，说明理由； （3）过点作斜率为的直线与曲线交于不同的两点，（异于，两点），直线，分别交直线于，两点，当时，求的值． 20. 已知某著名高校今年综合评价招生分两步进行：第一步是材料初审，若材料初审不合格，则不能进入第二步面试；若材料初审合格，则进入第二步面试．只有面试合格者，才能获得该高校综合评价的录取资格，且材料初审与面试之间相互独立，现有甲，乙，丙三名考生报名参加该高校的综合评价，假设甲、乙、丙三名考生材料初审合格的概率分别是，面试合格的概率分别是． （1）求甲未获得该高校综合评价录取资格的概率； （2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生获得该高校综合评价录取资格的概率； （3）求甲、乙、丙三名考生获得该高校综合评价录取资格的人数X的分布列． 21. 椭圆的离心率为，设A，B分别为E的左，右顶点，C，D分别为上、下顶点，四边形ACBD的面积为4． （1）求椭圆E的方程； （2）若直线与椭圆交于G、H，求的面积； （3）过点的直线l与椭圆E交于两点P，Q（不与A，B重合），若直线PB与直线相交于点N，求证：三点A，Q，N共线． 22. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对恒成立，求a的取值范围； （3）证明：若在区间上存在唯一零点，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $