精品解析：广东省广州市第十六中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

广州市第十六中学2024学年第二学期高中中段教学质量反馈 高二年级数学试卷 一、单选题（共8道小题，每题5分） 1. 一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ） A. B. C. D. 2. 三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，不同的选法有（ ） A. 24种 B. 81种 C. 64种 D. 32种 3. 下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 7. 已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每题6分，若有两个正确选项题，答对一个正确选项得3分；若有三个正确选项，答对一个正确选项得2分；答错一个得0分） 9. 关于函数及其导函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若函数为奇函数，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 11. 已知函数，为的导函数，则（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上有极小值点，且 D. 若、，，且在处取极值，则 三、填空题 12. 已知二项式的展开式：，则____________． 13. 若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为___________. 14. 牛顿法求函数零点的操作过程是：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止.设函数，初始点为，若按上述过程操作，则______；所得前个三角形，，，的面积和为______. 四、解答题（共5道题） 15. 已知函数，若曲线在处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求函数的单调区间和极值； （3）求函数在上的最大值、最小值. 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值； （2）在坐标系中画出函数的简图（参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征）； （3）若，讨论函数的零点个数. 17. 已知函数，，其中为常数. （1）若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长； （2）讨论在上的单调性； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）求证：当时，曲线与直线只有一个交点； （2）讨论的单调性； （3）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第十六中学2024学年第二学期高中中段教学质量反馈 高二年级数学试卷 一、单选题（共8道小题，每题5分） 1. 一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数的物理含义，即可求得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 故，故时小球的瞬时速度为（）， 故选：A 2. 三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，不同的选法有（ ） A. 24种 B. 81种 C. 64种 D. 32种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算可得； 【详解】三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，对于任意1名同学均有4种不同的选法，故不同的选法有种； 故选：C 3. 下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案. 【详解】对于A，B，由组合数公式：知，，，所以A、B正确； 对于C，因为 得，所以，所以C正确. 对于D，，，，所以D不正确. 故选：D. 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数表达式求导，再代入，即可解出的值. 【详解】对求导数得，再取就有，解得. 故选：A. 5. 设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助的图象，判断和的符号，从而得到答案. 【详解】由图可得：时，，单调递增，则，所以， 时，，单调递减，则，所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，，单调递减，则，所以， 时，，单调递增，则，所以， 综上：的解集为； 故选：A 6. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由极值点的定义结合韦达定理代入计算，即可得到，，再由等比数列的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 因为，是函数的极值点， 由韦达定理可得，， 所以，因为等比数列奇数项同号，则 由等比数列的性质可知，则. 故选：B 7. 已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出在区间上恒成立，利用分离参数思想化为在上恒成立，求出的取值范围即可． 【详解】∵函数在区间上为单调递增函数， ∴在上恒成立， 即在上恒成立， 由于函数在上单调递减，所以， 即实数的取值范围是， 故选：D. 8. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】函数，则，确定函数的单调性，通过单调性可确定大小. 【详解】把a，b，c变形得，，， 所以构造函数，则.， 令，则在上恒成立， 所以在区间上单调递增，因为， 所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，即. 故选：C. 二、多选题（共3题，每题6分，若有两个正确选项题，答对一个正确选项得3分；若有三个正确选项，答对一个正确选项得2分；答错一个得0分） 9. 关于函数及其导函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若函数为奇函数，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据求导公式和求导的运算法则计算，即可判断ABC；构造函数，利用导数证明为增函数，即可判断D. 【详解】A：由，得，所以，故A正确； B：由，得，所以，则，故B错误； C：由为奇函数，得，等式两边同时取导数， 得，即，故C正确； D：由，且定义域为， 可构造函数，则， 所以为R上的增函数，则， 则，故D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据排列数公式求判断A的真假；根据组合数的性质求判断B的真假；利用特殊元素优先法求符合条件的排列方法，判断C的真假；利用插空排列求符合条件的排列方法，判断D的真假. 【详解】对A：由，且，解得，故A正确； 对B：由或解得或，故B错误； 对C：先排甲，有2种排法，再排其余3人，有种排法，故满足条件的排法有：种.故C正确； 对D：先排丙、丁两人，有种排法，出现3个空，再排甲、乙两人，有种排法， 故满足条件的排法有：种.故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，为的导函数，则（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上有极小值点，且 D. 若、，，且在处取极值，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可判断A选项；利用导数的单调性与导数的关系可判断B选项；分析导数符号的变化，求出极值点的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可判断C选项；构造函数，其中，分析函数的单调性，分析可得，结合函数的单调性可判断D选项. 【详解】依题意，， 对于A选项，，，所求切线方程为，A错； 对于B选项，当时，，在区间上单调递增，B对； 对于C选项，、在上都单调递增，则函数在上单调递增， ，， 则存在唯一，使得， 当时，；当时，， 因此在处取得极小值， 且， 因为，则，所以， 所以，C对； 对于D选项，由题意， 则，令， 则对任意的恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为，， 所以，存在，使得， 且当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，函数在处取到极小值， 因为，即， 不妨设，则有， 构造函数，其中， 则， 令，则， 构建，则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数， 当时，，所以，， 所以，函数在上单调递减，则， 故函数在上单调递增，所以，， 即， 因为，则， 因为函数在上单调递增，所以，即，D错. 故选：BC. 三、填空题 12. 已知二项式的展开式：，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】由题意，，故. 故答案为： 13. 若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】设公共点为， 由，（），则， ，则， 所以，解得， 所以， ， 所以切线的方程为， 即. 故答案为： 14. 牛顿法求函数零点的操作过程是：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止.设函数，初始点为，若按上述过程操作，则______；所得前个三角形，，，的面积和为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】导数求切点处切线的方程，得，，，表示出，然后利用等比数列求和公式可得答案. 【详解】设，则，因为，所以， 则处切线为， 切线与轴相交得，则，因为得， 所以， ， 所以. 所以，前个三角形，，，的面积和为 . 故答案为：；. 四、解答题（共5道题） 15. 已知函数，若曲线在处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求函数的单调区间和极值； （3）求函数在上的最大值、最小值. 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，的极大值为，的极小值为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可； （2）求导利用导数判断原函数的单调区间和极值. （3）利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可. 【小问1详解】 由题意可知：，则 因为曲线在处的切线方程为， 则，即，解得. 【小问2详解】 因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 【小问3详解】 函数在，上单调递增，在上单调递减， 且， 函数在上的最大值,最小值. 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间和极值； （2）在坐标系中画出函数的简图（参考数据；要含有必要的说明和体现必要的图象特征）； （3）若，讨论函数的零点个数. 【答案】（1）增区间，减区间，极小值为，无极大值. （2） 由时，，结合（1）中的单调性和极值，的图象如下： （3）当时，函数无零点，当或时，函数有且仅有一个零点，当时，函数有两个不同的零点. 【解析】 【分析】（1）求导后，根据的正负可得单调区间，根据极值点定义可求得极值； （2）分析，，结合（1）中的单调性和极值，作出函数图象； （3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果. 【小问1详解】 由，， 则， 令，解得或，令，解得， 所以的单调增区间为，减区间为，， 的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题，的零点个数等价于与的交点个数； 结合（2）中图象可知： 当时，与有且仅有1个交点， 当时，与无交点， 当时，与有且仅有1个交点， 当时，与有2个不同的交点， 综上，当时，函数无零点，当或时，函数有且仅有一个零点， 当时，函数有两个不同的零点. 17. 已知函数，，其中为常数. （1）若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长； （2）讨论在上的单调性； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，求导得斜率，进而由导数的几何意义及点斜式可求得切线方程，求出该切线与坐标轴的交点，即可求解； （2）将函数，代入，对函数求导得.对分和两类讨论在上的符号情况即可求解； （3）令，.依题意，在恒成立，故.结合（2）中在上的单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，， ∴，，∴， ∴由点斜式方程可知函数图象在点处的切线方程为：，即. 令得，即该切线与轴相交于点； 令得，即该切线与轴相交于点， ∴该切线与坐标轴围成的三角形的周长为. 即函数图象在点处的切线方程为，与坐标轴围成的三角形的周长为. 【小问2详解】 ∵，， ∴，∴. ∵， ∴当时，，，∴， 此时在上单调递增； 当时，∵，令，解得； 令，解得， 此时在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 令，. 依题意，在恒成立，故. 由（2）知：当时，在上单调递增， 此时，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 此时显然当时，不符合题意. 综上，实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）求证：当时，曲线与直线只有一个交点； （2）讨论的单调性； （3）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 当时，函数，求导得：， 令，得；令，得； 则函数在上递增，在上递减，故， 所以曲线与直线只有一个交点. （2） 当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，分析函数单调性，确定的最值，可证明曲线与直线只有一个交点； （2）求导，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间； （3）由（2）中的结论可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时函数的增区间为，减区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为； 当时，对任意的，，此时函数的增区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 【小问3详解】 由（2）可知，若函数既存在极大值，也存在极小值，则或， 故实数的取值范围是. 19. 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义域可化简函数，构造新函数，即求的解集即可，而，所以解集为． （2）对a分情况讨论，当时，恒成立，当时，引入隐零点x0 ，在上单调递减，在上单调递增，得时 【小问1详解】 ∵f(x)的定义域为 ∴当时，， 令，． 当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以， 则不等式的解集为． 【小问2详解】 ①当时，，此时， 令，． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，所以， 又，则，又，所以， ，，此时符合题意． ②当时，， 令，恒成立， 则在上单调递增，又， ，存在唯一的使，且， 所以 当时，，由， 则在上单调递减， 当时，，由，（分开考虑导函数符号） 当时，在上单调递增，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以， 由题意则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增，此时，即， 综上所述，实数的取值范围为． 【点睛】导数题目中，构造新的函数，隐零点的合理使用都非常重要. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $