精品解析：上海市青浦高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

青浦中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 是第_________象限的角． 【答案】一 【解析】 【分析】由确定终边相同的最小正角所在象限，即可得. 【详解】由，即与的终边相同，故为第一象限角. 故答案为：一 2. 已知，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案. 【详解】因为，，，所以，所以. 故答案为：. 3. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数最小正周期公式，即可求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为： 4. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】由，可得 故答案为：. 5. 已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】应用任意角三角函数定义及二倍角正弦公式计算求解. 【详解】因为终边过点， 所以 则． 故答案为：. 6. 方程，，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知，结合对应余弦值，则，即可得. 【详解】由题设，又，则，可得. 故答案为： 7. 已知，，，则在方向上的数量投影为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影的定义直接求解即可. 【详解】依题意，在方向上的数量投影为. 故答案为： 8. 已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据图像求出周期和振幅，再根据最大值点求出. 【详解】由图可知，， 当时，函数取得最大值2， 故， 所以，又， 所以， 故答案为：. 9. 若锐角满足_______________. 【答案】 【解析】 【详解】因，故， ，应填答案． 10. 若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角，得到，注意排除与反向共线这种情况，进而即可求出答案． 【详解】由，，则， 又与的夹角为钝角， 则，即，解得， 当与反向共线时，，解得，此时夹角不是钝角， 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：． 11. 已知函数给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）该函数的最小正周期为； （3）当且仅当，时，； （4）对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是______． 【答案】（3）（4） 【解析】 【分析】化简函数后作出函数在一个周期内的图象，根据函数图象求出函数的值域和周期判断（1）（2），结合函数图象及周期性判断（3），根据诱导公式和同角三角函数基本关系，分段化简求值即可判断（4）. 【详解】因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 即，所以， 综上，，且， 则在一个周期的图象如下： 由图知：值域为，故（1）不正确； 该函数是以为最小正周期的周期函数，故（2）不正确； 该周期内的区间为， 故恒有，故（3）正确； 当时， 当时， 当时， ； 综上，任意恒成立，故（4）正确． 故答案为：（3）（4） 12. 若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有______个． 【答案】5 【解析】 【分析】利用换元思想将问题转化为方程在实数范围内一定有两个异号的根，根据方程与函数的应用进行讨论分析. 【详解】由题意知， ， 令，，此时， 而，，， 则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根， 当时，， 一个周期内有两个零点，则或； 当时，， 一个周期内有三个零点，，则需要个周期， 即； 当时，此时，解得， 若，此时， 则一个周期内有四个零点， 则需要个周期， 即； 若，此时，， 则一个周期内有三个零点，， 个周期恰好个零点，个周期是个零点， 个周期则个零点，此时不符题意， 若，此时， 一个周期内有两个零点， 则或. 综上所述，这样的正整数有个， 分别是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数与方程的应用，通过将三角函数方程换元，得到关于的二次方程，根据二次方程根的分布分类讨论得到的范围，然后根据数形结合的思想结合正弦函数的图像进行求解是解决本题的关键. 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 下列函数的最大值是2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用辅助角公式及二倍角正余弦公式，结合正余弦型函数的性质判断各函数的最大值，即可得. 【详解】A：，不符； B：，符合； C：，不符； D：，不符. 故选：B 14. 已知、为两个不平行的非零向量，则是的（ ）条件 A. 充要 B. 既不充分也不必要 C. 充分非必要 D. 必要非充分 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理，结合基底的性质确定参数值，即可得条件间的关系. 【详解】由、为两个不平行的非零向量，且，则必有，反之亦成立， 所以是的充要条件. 故选：A 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用三角函数的基本关系式和正弦定理化简得到，得到或，即可求解. 【详解】由，可得， 结合正弦定理可得，即， 即，所以. 所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：C. 16. 已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】讨论、，结合正余弦函数的性质研究不等式恒成立确定有序实数对的个数. 【详解】由，，任意实数均有， 当时，任意实数均有，且，则符合题意； 任意实数均有，即， ，，当且仅当任意实数均有，则， 当时，， 则，解得，则符合题意； 当时，， 则，可得解得，则符合题意， 综上所述，满足条件的有序实数对为，共有3个. 故选：C 三、解答题（本大题共5题，共52分） 17. 已知向量，满足，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得； （2）首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知， ∴， ∴； 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）若，求； （2）若面积等于，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得，再根据大边对大角判断角的范围，即可求得角； （2）先由三角形面积公式得，再由余弦定理求得，然后联立方程即可求得的值. 【小问1详解】 由正弦定理，，即， 因，故，即是锐角，故； 【小问2详解】 因为的面积为，所以，所以， 由余弦定理可得，所以， 所以，所以，解得或，所以或. 19. 如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数． （1）求函数的表达式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若在上仅存在两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图得出点的坐标，再求数量积即可； （2）令，即可求的单调递减区间； （3）先求出范围，结合正弦函数图象知，解不等式即可. 【小问1详解】 由题意可知，，， 则，故， 则. 【小问2详解】 ， 令， 得， 故的单调递减区间为. 【小问3详解】 若在上仅存在两个零点， 则在上仅存在两个根， ，则， 结合正弦函数图象知，，得， 则的取值范围为． 20. 如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段； （1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； （2）设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 【答案】（1） （2）A在弧的四等分点处， . 【解析】 【分析】（1）由题意表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式化简求值，即得答案. （2）表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式以及辅助角公式化简，根据角的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案. 【小问1详解】 作，垂足为H，交于E，连接， 由于点A为弧的一个三等分点，四边形为矩形，即关于直线对称， 则，则， 而，故为等腰直角三角形，则， 故， 则 ； 【小问2详解】 因为，则， ， 故， 则 ， 因为，所以，故时，取最大值， 即当时，， 即A在弧的四等分点处时，矩形的面积S最大，. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数表示出矩形的边长，从而表示出面积的表达式，再结合三角函数性质求解答案. 21. 定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． （1）记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； （2）记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）写出解析式，解方程即可； （2）由题意求得，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函数的图象，结合函数图象可得结论； （3）写出，利用辅助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围． 【小问1详解】 由题意，，， ， 又，所以或，即所求集合为； 【小问2详解】 由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，， 由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； 【小问3详解】 由题意，其中，， 易知时，， ， ，同理， ， ， 时，函数是增函数，因此， 从而，即． 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青浦中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 是第_________象限的角． 2. 已知，，若，则______． 3. 函数的最小正周期为______． 4. 已知，则______． 5. 已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则_________． 6. 方程，，则_________． 7. 已知，，，则在方向上的数量投影为______． 8. 已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为_________． 9. 若锐角满足_______________. 10. 若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 11. 已知函数给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）该函数的最小正周期为； （3）当且仅当，时，； （4）对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是______． 12. 若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有______个． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13. 下列函数的最大值是2的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知、为两个不平行的非零向量，则是的（ ）条件 A. 充要 B. 既不充分也不必要 C. 充分非必要 D. 必要非充分 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 16. 已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个 三、解答题（本大题共5题，共52分） 17. 已知向量，满足，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）若，求； （2）若面积等于，求的值． 19. 如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数． （1）求函数的表达式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若在上仅存在两个零点，求的取值范围． 20. 如图，有一块扇形草地，已知半径为R，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧上，且线段平行于线段； （1）若点A为弧的一个三等分点，求矩形的面积S； （2）设，当A在何处时，矩形的面积S最大？最大值为多少？ 21. 定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． （1）记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； （2）记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $