精品解析：福建省连城县第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

连城一中2024-2025学年下期高二年级月考2数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】由，所以， 所以， 故选：C 2. 已知向量，，满足，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用空间向量垂直的公式计算即可. 【详解】，， ， 解得 故选：A. 3. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】A 【解析】 【分析】由离散型随机变量分布列的性质计算即可. 【详解】由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3． 故选：A． 4. 小明同学在做市场调查时得到如下样本数据： x 1 3 6 10 y 8 a 4 2 他由此得到回归直线方程为，则下列说法不正确的是（ ） A. 变量x与y线性负相关 B. 当时可以估计 C. D. 变量x与y之间是函数关系 【答案】D 【解析】 【分析】由回归系数，可判定A正确；当时，求得，可判定B正确；求得样本中心，代入回归直线方程，求得的值，可判定C正确；由回归直线方程的意义可判定D不正确. 【详解】对于A中，由回归直线方程，可得， 所以变量x与y线性负相关，所以A正确； 对于B中，当时，可得，所以B正确； 对于C中，由统计图表中的数据，可得，， 即样本中心为，代入回归直线方程， 可得，解得，所以C正确； 对于D中，变量x与y是线性负相关关系，不是函数关系，所以D不正确. 故选：D 5. 函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数，上单调递增 B. 函数，上单调递减 C. 函数存在两个极值点 D. 函数有最小值，但是无最大值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB，利用极值点的定义判断C，利用函数的单调性及最值的概念判断D. 【详解】根据的图象可知， 函数在和上，单调递增，A选项正确； 函数在和上，单调递减，B选项正确； 所以的极小值点为，3，极大值点为1，C选项错误； 由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确. 故选：C 6. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理得点M平面ABC内，当平面ABC时，最小，利用勾股定理求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，不共线，所以，，共面，所以点M在平面ABC内， 所以当平面ABC时，最小，如图，取BC的中点D，连接AD， 则点M在AD上，且， 所以，即的最小值为. 故选：B 7. 为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常营业的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设两家店铺都不能正常营业为事件，然后由题意求出4人休假的概率和3人休假的概率，从而可求出，再根据对立事件的概率公式可求得答案 【详解】设两家店铺都不能正常营业为事件， 由题意可知有4人休假的概率为， 有3人休假的概率为， 所以两家店铺都不能正常营业概率 ， 所以两家店铺该节假日能正常营业的概率为. 故选：D 8. 若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 则， 令，则， 所以，函数在上为增函数，且. ①当时，即当时，对任意的恒成立， 所以函数为上的增函数，则函数在上至多只有一个零点，不合乎题意； ②当时，即当时，则存在使得， 当时，，此时，则函数在上单调递减， 当时，，此时，则函数在上单调递增， 由于函数有两个零点， 当时，；当时，. 可得， 可得，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数公式及求导法则计算判断AC；利用排列数公式计算判断BD. 【详解】对于A，，则，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 10. 如图，正三棱柱的各条棱长都为2，M，N分别是AB，的中点，则（ ） A. B. C. D. 平面 【答案】CD 【解析】 【分析】取的中点，连接，建系，利用空间向量逐项分析判断. 【详解】取的中点，连接， 由题意可知：， 因为平面，且平面，可得， 则，即两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 对于选项A：因为，即不相互垂直，故A错误； 对于选项B：因为，即不相互平行，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：因为， 所以平面，故D正确； 故选：CD. 11. 投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的“射”指的就是指“投壶”这个游戏．现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶．无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为，则（ ） A. 第3次投壶的人是甲的概率为 B. 在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为 C. 前4次投壶中甲只投1次的概率为 D. 第10次投壶的人是甲的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出第次投壶是甲的概率的一般形式后可判断AD的正误，利用条件概率可判断B的正误，利用分类计算可判断C的正误. 【详解】设第次投壶的人是甲为事件，第次投壶的人是乙为事件． 因为；所以， 所以，而，故， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 对于A，，故A正确. 对于D，，故D正确. 对于B，，故， 所以B正确： 对于C，因为4次投壶中甲只投1次的概率为： ， 所以C错误. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题，第一空2分，第二空3分） 12. 已知随机变量，若，则的值为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件结合正态分布的性质可得，，再结合条件可求结论. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 13. 已知空间三点，，，且的面积为，则______． 【答案】或， 【解析】 【分析】根据坐标算出的、与，即可利用面积为，解方程即可． 【详解】，，， ,,，,,， 由此可得，， 设与的夹角为，则， 则 由于的面积， 故，解得或， 故答案为：或， 14. 已知关于的不等式恒成立，的最小值为，则___________，并求的最小值为___________（其中为自然对数的底数） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】参变分离可得恒成立，令，，利用导数求出，即可求出的取值范围，从而求出，再根据函数单调性求函数的最小值. 详解】不等式恒成立，等价于， 令， 所以在是增函数， 且趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于，即. 令，则， 当时，，是增函数， 当时，，是减函数， 所以，所以，即，故. 所以，， 因为恒成，所以当时，是增函数， 当时，是减函数， 即时取得最小值，此时； 当时，， 此时； 当时，，此时. 综上可知的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用函数同构和分离参数法求出；二是利用导数求解三角函数的最值. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆 上一点，且，. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理找到线面角，进而在直角三角形中求解；(2)作垂线找到点到平面的距离，利用等面积法求解. 【小问1详解】 平面平面 是底面的一条直径, 又平面平面 所以平面 是直线与平面所成角, 因为,所以 所以 所以直线与平面所成角的大小 小问2详解】 过作,垂足为， 由(1)得平面平面 所以平面平面， 又因为平面平面, 平面,, 所以平面， 根据等面积法, 即到平面的距离等于. 16. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若曲线在处的切线平行于轴，求在上的值域. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再求导，根据导函数的正负求出单调区间；（2）根据在处的切线斜率为0求出，结合第一问求出的函数单调区间，确定在上的值域. 【小问1详解】 显然，函数的定义域为，， 当时，，当时，， 在上递增，上递减， 的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 曲线在处的切线平行于轴， ， . ，， 在上递增，上递减，在时取极大值，； 当时，；当时，单调递减，且， 在上的值域为. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，． （1）证明：平面； （2）若，为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为平面平面，故要证平面，需证，需证平面，需证，而不难证明（2）建立恰当的空间直角坐标系，用空间向量求解即可 【小问1详解】 证明：取中点，连接． ∴， ∴四边形为菱形，四边形为平行四边形． ∴， ∴． 又∵， ∴平面． 又∵平面， ∴． 又∵平面平面，且平面平面， ∴平面． 【小问2详解】 ∵平面， ∴， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴底面是直角梯形． 以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则． ，． 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由得取． ∴， ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 18. 某商超通过产品､价格､渠道和促销等各种营销策略，销售业绩得到不断提升，商超利润也有较大的攀升，经统计，该商超近7周的利润数据如下： 第周 1 2 3 4 5 6 7 商超利润（单位：万元） 32 35 36 45 47 51 55 （1）若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该商超下周的利润； （2）该商超为提升业绩，决定对客户开展抽奖促销活动：单张小票不超过500元可参加抽奖一次；单张小票超过500元可参加抽奖两次.若抽中“一等奖”，可获得30元的代金券；抽中“二等奖”，可获得20元的代金券；抽中“谢谢参与”，则没有奖励.已知本次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得二等奖”的概率为.某客户有两次参与抽奖活动的机会，假设两次抽奖之间是否中奖相互独立，求该客户所获得代金券总额（元）的分布列及数学期望. 附：；参考数据： 【答案】（1），59万元 （2）分布列答案见解析，数学期望：（元） 【解析】 【分析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可得线性回归方程，再将点代入该线性回归方程即可求解. (2)由题意可得，的所有可能取值为，分别求出对应的概率，即可得的分布列，从而求得数学期望. 【小问1详解】 （1）根据表中数据，计算可得： 所以. 又因为，所以. 所以. 所以关于的线性回归方程为. 当时，得. 所以预测该商超下周的利润为59万元. 【小问2详解】 （2）该客户所获得的代金券总额的所有可能取值有. ， 代金券总额的分布列如下表： 0 20 30 40 50 60 所以（元）. 19. 已知函数，其中为常数． （1）若恰有一个解，求的值； （2）若函数，其中为常数，试判断函数的单调性； 若恰有两个零点，，求证：． 【答案】（1） （2）单调递增；证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过导数求得函数的单调性求得函数的最大值（1），讨论三种情况下函数的零点个数，进而得出结果. （2）由已知可得，求导可判断恒成立，即可得出结论；恰有两个零点，等价于，有两解，.由，可得（记．进而可得，由单调递增． 可得，则有，化简可得，同理．化简计算可证得结果. 【小问1详解】 ，令，解得：， 当时，，在递增， 当时，，在递减， （1）， ①当，解得：，此时最大值点唯一，符合题意， ②当，即时，恒成立，不符合题意， ③当，即时，，，， ，（易证， 有2个零点，不符合题意， 综上：； 【小问2详解】 由， 得：， 函数的定义域是，且， ， 在单调递增； ，故，也是的两个零点． 由，得（记． 可知，是的唯一最大值点，故有， 由可知，单调递增． 当时，；当时，． 于是，． 整理，得， 即． 同理． 故， 即， 于是． 【点睛】思路点睛：本小题主要考查利用导数证明函数的单调性问题，利用导数研究函数零点问题及证明不等式问题.要注意分类讨论和数形结合思想的应用．将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 连城一中2024-2025学年下期高二年级月考2数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. -1 2. 已知向量，，满足，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 3. 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 01 0.3 m 若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 4. 小明同学在做市场调查时得到如下样本数据： x 1 3 6 10 y 8 a 4 2 他由此得到回归直线方程为，则下列说法不正确的是（ ） A 变量x与y线性负相关 B. 当时可以估计 C. D. 变量x与y之间是函数关系 5. 函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数，上单调递增 B. 函数在，上单调递减 C. 函数存在两个极值点 D. 函数有最小值，但是无最大值 6. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工休假的概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家店铺无人休假，则从无人休假的店铺调剂1人到员工全部休假的店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常营业的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 10. 如图，正三棱柱的各条棱长都为2，M，N分别是AB，的中点，则（ ） A. B. C. D. 平面 11. 投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的“射”指的就是指“投壶”这个游戏．现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶．无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为，则（ ） A. 第3次投壶的人是甲的概率为 B. 在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为 C. 前4次投壶中甲只投1次的概率为 D. 第10次投壶人是甲的概率为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题，第一空2分，第二空3分） 12. 已知随机变量，若，则的值为______________． 13. 已知空间三点，，，且的面积为，则______． 14. 已知关于的不等式恒成立，的最小值为，则___________，并求的最小值为___________（其中为自然对数的底数） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆 上一点，且，. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离. 16. 已知函数，. （1）求的单调区间； （2）若曲线在处的切线平行于轴，求在上的值域. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是梯形，． （1）证明：平面； （2）若，为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18. 某商超通过产品､价格､渠道和促销等各种营销策略，销售业绩得到不断提升，商超利润也有较大攀升，经统计，该商超近7周的利润数据如下： 第周 1 2 3 4 5 6 7 商超利润（单位：万元） 32 35 36 45 47 51 55 （1）若关于具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该商超下周的利润； （2）该商超为提升业绩，决定对客户开展抽奖促销活动：单张小票不超过500元可参加抽奖一次；单张小票超过500元可参加抽奖两次.若抽中“一等奖”，可获得30元的代金券；抽中“二等奖”，可获得20元的代金券；抽中“谢谢参与”，则没有奖励.已知本次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得二等奖”的概率为.某客户有两次参与抽奖活动的机会，假设两次抽奖之间是否中奖相互独立，求该客户所获得代金券总额（元）的分布列及数学期望. 附：；参考数据： 19. 已知函数，其中为常数． （1）若恰有一个解，求值； （2）若函数，其中为常数，试判断函数的单调性； 若恰有两个零点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$