精品解析：上海市位育中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

位育中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（每题3分，共42分） 1. 若，则的值为_________． 2. 已知函数的一个驻点为，则实数________． 3. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_______种.（用具体数字作答） 4. 设函数，其中，则_________． 5. 若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为______. 6. 已知函数图像在点处的切线方程是，则_________． 7. 若，则_________． 8. 设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围_____________． 9. 某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有_________种出场顺序． 10. 在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为______. 11. 已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是.且，则______. 12. 函数，的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______． 13. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为________． 14. 设函数，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为_________． 二、选择题（每题4分，共16分） 15. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 16. 已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 17. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）． A. 函数在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上严格增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 18. 若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（6+8+8+8+12，共42分） 19. 在的二项展开式中 （1）求第5项的系数； （2）求常数项． 20. 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 21. 已知，． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）设，若，求时函数的最大值． 22. 某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 80% 100次 40% 小 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） （1）小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ （2）小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大． 23. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 位育中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（每题3分，共42分） 1. 若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数的性质列方程求解即可得的值. 【详解】因为，所以， 故，所以. 故答案为：. 2. 已知函数的一个驻点为，则实数________． 【答案】3 【解析】 【分析】求导，根据驻点的定义即可求解. 【详解】由得，由于是驻点，所以，即，所以， 故答案为：3 3. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_______种.（用具体数字作答） 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意，可知每位同学都有2种报名方法，结合分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组， 则每位同学都有2种报名方法，则这5为同学共有种不同的报名方法， 故答案为：32 4. 设函数，其中，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数公式计算即可得答案. 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 5. 若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用 表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意选出一男一女，即从中选一个，从中选一个，即可得答案. 【详解】由题意可知与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为， 故答案为： 6. 已知函数图像在点处的切线方程是，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】结合导数的定义求解即可. 【详解】因为函数图像在点处的切线方程是， 则函数图像在点处的切线的斜率为 故答案为：. 7. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开式分别令，即可得所求. 【详解】因为， 所以令可得， 令可得， 所以. 故答案为：. 8. 设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，再根据的单调性即可得到答案. 【详解】，因为函数在区间上单调递减， 所以，恒成立， 即，. 又在上单调递减，所以， 故，即， 所以m的取值范围为. 故答案为：. 9. 某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有_________种出场顺序． 【答案】 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑，再把不相邻问题应用插空计算求解. 【详解】高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列， 再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有 . 故答案为：. 10. 在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙分在不同小组的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】写出所有的样本空间以及满足题意得情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】这5名棋手分别记为:甲,乙,,,, 则样本空间(甲乙，)，(甲乙，)，(甲乙，)，(甲，乙), (甲，乙),(甲，乙),(乙，甲),(乙，甲),(乙，甲),(，甲乙) 共含有10个样本点， 设事件表示“甲和乙分在不同小组”,则, 所以甲和乙分在不同小组的概率为. 故答案为：. 11. 已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率是.且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意求出事件A与B有一个发生的概率，结合，求得，即可求得答案. 【详解】由题意事件A与B互斥，它们都不发生的概率是， 则，结合， 可得，即，可得， 故， 故答案为： 12. 函数，的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】先由图象分析出的正负，利用符号法解不等式即可得到答案. 【分析】由函数的图象可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 即当时，，当时，. 因为可化为或，解得， 所以不等式的解集为. 13. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A：n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中至多有一次正面朝上，若事件A与事件B是独立的，则n的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】通过古典概率的计算公式计算，，由独立得，解方程即可. 【详解】由题意可知：，，， 因为独立，所以， 即，结合均随n的增大而增大， 故. 故答案为： 14. 设函数，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用导数求出的单调区间，即可求出其最大值，依题意有且仅有两个整数满足，即可得到且，从而求出参数的取值范围. 【详解】设，，则， ，，在上单调递增， ，，在上单调递减， 时函数取极大值即最大值， 又，，， 直线恒过定点且斜率为， 要使有且仅有两个整数满足， 即有且仅有两个整数满足， 且， 解得，即. 故答案为：． 二、选择题（每题4分，共16分） 15. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，求出导数，即可求出，从而得解； 【详解】解：设，所以，所以． 故选：A 16. 已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可得，再根据并事件和交事件及对立事件的性质即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C. 17. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）． A. 函数在点处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上严格增 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在区间内至多有两个零点 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象，结合函数的切线斜率、单调性、极值、零点与导数的关系逐项判断即可得结论. 【详解】选项A:曲线在点处的切线斜率等于零，故A错误； 选项B:函数在区间上单调递减，故B错误； 选项C:函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，故C错误； 选项D:函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，故D正确． 故选：D． 18. 若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件可得，利用正弦函数的值域分析推得中必有一个为1，另一个为，由此确定，并求出，再作出图形数形结合求解判断. 【详解】函数，求导得, 曲线在与处的切线斜率分别为， 由两条切线互相垂直，得，而， 当且仅当中一个取1，另一个取时，它们的积为，不妨令，， 则，即， 此时,， 如图，设，则是以为直角顶点的等腰直角三角形， 由图知，， 则， 对于A，由，得不成立，A不是； 对于B，由，得不成立，B不是； 对于C，由，得不成立，C不是； 对于D，取，，D是. 故选：D 三、解答题（6+8+8+8+12，共42分） 19. 在的二项展开式中 （1）求第5项的系数； （2）求常数项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得展开式的通项为，进而求得展开式的第5项的系数； （2）由（1）展开式的通项，令，即可求得常数项. 【小问1详解】 由二项式展开式的通项为：， 所以展开式的第5项的系数为. 【小问2详解】 由（1）展开式的通项为， 令，可得常数项为. 20. 已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得关于，的方程，求解即可； （2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理和弦长公式列出关于的方程，求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，所以， 点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆的方程为：． 【小问2详解】 直线的方程为： 联立，消去后，得关于的一元二次方程， 化简得， 由题意知，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， 所以，化简得，解得，即， 经检验符合题意. 21. 已知，． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）设，若，求时函数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义确定切线斜率与切点纵坐标，从而得函数的切线方程； （2）求导函数，根据已知条件确定函数的单调性即可得最值. 【小问1详解】 ，则， 所以， 所以函数在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ， 则，， 因为，则恒成立，所以函数在上单调递减， 所以. 22. 某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级（最有价值球员）．以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率． 二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率 小 100次 80% 100次 40% 小 190次 70% 10次 30% 现以两人的总投篮命中率（二分球+三分球）较高者评为校（总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数） （1）小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？ （2）小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小的命中率始终为0.4，小的命中率始终为0.3；②游戏中投篮总次数最多为5次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第5次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大． 【答案】（1）错误 （2）0.63856，小获胜概率更大 【解析】 【分析】（1）直接计算命中概率即可判断； （2）由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式代入计算，即可判断. 【小问1详解】 小总命中率为， 小总命中率为， ，综上，小想法错误，小为校； 【小问2详解】 情况一：小第一次投篮就命中，其概率为； 情况二：小第一次未命中，小也未命中，然后小第二次投篮命中， 其概率为； 情况三：小第一次未命中，小也未命中，小第二次也未命中，小第二次也未命中，小第三次投篮命中， 其概率为， 则小的获胜概率为， 所以小获胜概率更大. 23. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出给定函数的导数，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的范围作答. （2）根据“1跃点”函数的定义，列出方程，求出该方程在上有两个不同的解的实数的范围作答. （3）将问题转化为方程，即有一个实数解，再构造函数，借助导数求解作答. 【小问1详解】 函数的导函数为， 因为函数，是“跃点”函数， 则方程有解，即有解， 而，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 函数的导函数为， 依题意，方程，即在上有两个不等实根， 令，因此函数在上有两个不同零点， 则，解得或， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 函数的导函数为， 因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”， 则方程，显然，所以在上恰有一个实数根， 令，求导得， 由，得；由，得且，， 于是函数在上单调递减， 恒成立，函数的取值集合是， 在上单调递减，函数的取值集合是， 在上单调递增，函数的取值集合是，函数的图象，如图， 当时，直线与函数的图象有唯一公共点， 即方程恰有一个实数根，从而， 所以b的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $