2025届江苏省徐州市第一中学高三考前打靶卷数学试题

2025届高三考前打靶卷 数学参考答案与详解 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D D A D A AD ACD 题号 11 答案 AD 1．D 【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 2．B 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、已知复数的类型求参数、求复数的模 【分析】根据复数的除法运算及复数的概念、复数的模的定义运算即可. 【详解】设， 则， 所以，， 即，所以. 故选：B 3．B 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选： 4．D 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】先根据正态分布的对称性确定的值，再根据二项展开式的特点求常数项. 【详解】因为，所以， 所以. 所以二项式的展开式中，常数项为：. 故选：D 5．D 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】由代入化简得，再构造齐次分式根据商数关系计算即可. 【详解】因为，得， 所以， 因为，所以， 即， 因为，，是的内角，所以，得，， 所以. 故选：D. 6．A 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得四边形为矩形，再根据方程联立求得，再代入椭圆方程构造齐次式即可得解. 【详解】如图，因为椭圆关于原点对称，直线过原点， 所以，关于原点对称，设椭圆的左焦点为，连接，， 由椭圆的对称性可得， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形是矩形， 所以，，所以点在圆上， 则，解得，代入椭圆方程， 又，可得： ， 设（），则上式可化为， 化简可得， 即， 因为，所以，解得. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 7．D 【难度】0.4 【知识点】求空间向量的数量积、异面直线夹角的向量求法、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】以向量为基底，通过空间向量的加减及数乘运算，分别写出，结合数量积运算公式、空间向量的模长计算公式、异面直线所成角的向量计算公式，分别计算求解，进而判断各选项. 【详解】对于A，由题意， ，故A错误； 对于B，记， 所以，， 所以，，故B错误； 对于C，， 所以 ，故C错误； 对于D，因为，, 所以，， ， 又因为 ， 所以，所以直线与所成角的余弦值为. 故D正确. 故选：D. 8．A 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数图象及性质 【分析】利用熟知的结论：（1）在处切线方程为,且整个函数图象都在切线上方；（2） 在处切线方程为，且整个函数图象都在切线下方，结合对数函数指数函数的图象的性质，利用分类讨论思想和数形结合思想可以较快的判定符合题意的实数的取值范围，从而做出正确选择. 【详解】先证明：在处切线方程为,且整个函数图象都在切线上方. ,切线方程为,即为. 令, 在时,单调递减，在时,单调递增， 所以,当且仅当时取等号. 再证明：在处切线方程为，且整个函数图象都在切线下方. ,切线方程为,即为, 令, 在时,单调递增，在时,单调递增， 所以,当且仅当时取等号. 根据上述结论，在下面的讨论中可以采用数形结合方式研究函数恰有3个零点的条件. 设零点条件： 即 ,需分别分析 和 时方程的解数. 当 时：方程化简为 ， 即 即和. 分情况讨论： 当：方程 在 时有 3 个解 （分别来自 (两个)、 (一个)）. 当：和的解都是. ：方程在 时仅有 1 个解（来自 ）. 当 时：方程化简为 ，即 , 即和. 分情况讨论： ：方程 和 各有1 个解. ：方程 无解， 一个解. ： 当 时方程 无解，有 1个解. 当 时 方程 和 都没有解. 总解数分析： ： 时 3 解， 时无解，总解数 3. ： 时 2 解， 时 1 解，总解数 3. 其他区间：解数不足 3，不符合条件. 故选：A. 9．AD 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求积的最大值、求点到直线的距离 【分析】利用基本不等式计算并判断A，结合常数代换可计算并判断B，C，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式可计算并判断D. 【详解】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 因为，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6，故B错误； 因为，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为2，故C错误； 可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD. 10．ACD 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式以及条件概率公式逐个计算，分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于选项，若，互斥，根据互斥事件的概率加法公式. 已知，，则，所以选项正确. 对于选项，若，相互独立，则与也相互独立. 因为，所以，所以选项错误. 对于选项，若，相互独立，则. 根据概率的加法公式，将，，代入可得： ，所以选项正确. 对于选项，已知，，则. ，. 根据条件概率公式，所以选项正确. 故选：ACD. 11．AD 【难度】0.15 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明等比数列、由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】数列由及递推式定义，首先寻找固定点，解方程 得 或，由于初始值为正，数列收敛于，定义，分析 的衰减速度和前项和的性质。 【详解】观察前几项：，，，，， 可猜测奇数项在下方，偶数项在上方， 假设数列收敛于，则满足方程： 解得或，由于初始值，且递推式中分母， 故收敛于，现进行数学推导， 若，则， ， 分子化简为， 由于，且， 分子可进一步化简为， 因为，所以整体分子为正数， 故，即， 若，则，同理，分子化简为， 由于，故， 即，假设接近，误差很小， 当时，设， ， 因为是方程的解， 通过近似（很小，分母中的可忽略）得到， 进一步化简为， 因此，误差， 当时，设，类似推导可得， 误差仍满足， 每次误差缩小倍，因此第项的误差为， 故，， 由于，故，故A正确； 根据递推关系，误差，且， 通过递推可得通项公式， 因此，，将与右侧表达式对比， ， 需判断是否存在使得， 两边同除以得， 由于，当足够大时，会趋近于 ，最终小于，故B错误； 是首项为，公比为的等比数列， ， 当时，， 故。比较与， 显然，故C错误； 当时，， 存在，故D正确. 故选：AD. 【点睛】本题关键在于证明数列收敛于以及求出的通项公式. 12． 【难度】0.65 【知识点】切线长、抛物线定义的理解 【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】    在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为. 设点，根据抛物线的定义，可得，解得. 把代入，得，因为，所以，即. 将圆化为标准方程： ，从而圆心为，半径. 故. 故答案为：. 13． 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意推出球心到四个顶点的距离相等，利用直角三角形，求出球的半径，即可求出外接球的表面积． 【详解】 如图，为正三角形的中心，为三棱锥外接球球心， 因为正三棱锥中，底面边长为3，侧棱长为2， 所以，则 所以高． 由球心到四个顶点的距离相等， 在直角三角形中，，， 由，得，， 所以外接球的半径为，表面积为：， 故答案为：． 14． 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数不等式恒成立问题、求二次函数的值域或最值 【分析】依题意将问题转化为，通过求导推得的单调性，求出其最小值，进而根据二次函数的性质，分类讨论求出的最小值即可求出参数范围. 【详解】由题意得，对任意，存在，使成立，则成立， 由函数可得 ， 当 或时，有 ，故在上 单调递增； 当时，有，故在上单调递减， 当时，；当 时，，所以 ， 又函数的开口向上，且对称轴的方程为， 当即时，， 由，解得，不合题意，舍去； 当即时，， 由，解得，符合题意； 当即时，， 由，解得或，不合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围是 ． 15．(1) (2) (3). 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案； （2）利用正弦定理得，再将周长转化为三角函数值域问题即可； （3）利用余弦定理和基本不等式即可得到的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）由正弦定理：， 则， 所以，根据得：. （2）由正弦定理：，所以， ， 注意到，所以， 所以， 所以， 所以周长的取值范围是. （3）余弦定理：， 所以三角形面积为， 当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值. 16．(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）先根据圆心求出，再利用点到直线的距离公式求得，联立方程求得，即可得解； （2）（i）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，韦达定理，联立直线与直线的方程得，代入化简得，即可证明； （ii）设，分别代入直线与直线方程求得坐标，利用数量积的坐标运算，代入点的坐标化简计算即可. 【详解】（1）圆的方程化为标准形式为， 所以圆心，半径，则的半焦距， 又的两条渐近线方程为，即， 由题意，知，所以， 所以的方程为. （2）（i）设直线的方程为：，易知， 联立方程消去得， 则， . 因为是上的点，所以， 则， 联立直线，直线的方程， 得， 所以 . 解得，故点在定直线上. （ii）由双曲线对称性可知，点也在直线上，设， 点在直线上，所以， 点在直线上，所以， 所以 . 17．(1) (2)答案见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，然后求切线方程即可； （2）利用导数分类讨论求解函数的单调性即可； （3）由题意整理可得，当时，，成立，当时，分离参数转化为求解函数的最大值即可. 【详解】（1）当时，， ，即切点为，        ，则切线的斜率，    切线的方程为，即. （2）依题意定义域为， ，             ①若，则，，即在上单调递增，        ②若，由，则， 当时，则，，在上单调递增，     当时，则，时，，时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，         综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在区间单调递减，在区间上单调递增， （3）， 依题意当时，，整理可得（*），         当时，，（*）成立---①，     当时，（*）可变式为成立， 设，等价于---②，    ，         设，， ， ，， 则在区间上单调递减，， 因为时，，时，，        在区间在单调递增，在区间在单调递减，则， 由②可知，当时，，只需满足，         由①②可得，当时，成立，实数的取值范围. 18．(1)证明见解析 (2)（ⅰ）存在，为线段上靠近点的六等分点；（ⅱ）． 【难度】0.4 【知识点】证明面面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）先分别去证平面内两条直线与平面平行，再利用面面平行的判定定理证明两平面平行； （2）在几何体内找到三条互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标表示去列出方程，求出点的坐标，利用线面角的正弦值等于线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值去表示出直线与平面所成角的正弦值，再结合函数求出其最大值. 【详解】（1）证明：因为，且为的中点，所以，． 又因为，所以，所以四边形为平行四边形， 所以． 又因为平面，平面，所以平面． 同理，，且，所以四边形为平行四边形，则． 又平面，平面，所以平面． 又，平面，且，所以平面平面． （2）（ⅰ）取的中点，连接，过点作交于点，取的中点，连接． 因为四边形与四边形均为等腰梯形，且，，， 所以，，，，． 在中，，所以，所以． 所以二面角为直二面角，所以平面平面． 又平面平面，平面，所以平面． 因为平面，所以，所以两两垂直． 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 因为点是线段上的动点，所以设，所以． 假设存在点使得与垂直，则， 所以，即，解得． 故当时，点为线段上靠近点的六等分点． （ⅱ）设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为． 由（ⅰ）知，． 设直线与平面所成角为， 则， 易知当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为． 19．(1)大约有71人 (2)(ⅰ)分布列见解析，；(ⅱ)证明见解析， 【难度】0.15 【知识点】求回归直线方程、数列新定义、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】(1)根据线性回归方程系数公式求解出回归直线方程，再将代入计算即可； (2)先求出数列通项公式，再根据聚点数列的定义证明即可. 【详解】（1）解：，． ， ． ， ． 所以回归直线方程为， 当时，， 即预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有71人． （2）解：(ⅰ)的可能取值为． ； ； ； 所以的分布列为： X 0 1 2 P ． (ⅱ)第次挑战后挑战权在乙，丙组的概率记为， 当时， ， 得：， 由①得： ，其中 是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 由聚点数列的定义知：， 当时，， 所以，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，所以数列是聚点数列，且聚点. 答案第22页，共22页 答案第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 2025届高三考前打打靶卷 · 数学试题 · 2025.05 一、单选题（每小题5分，满分40分） 1．已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 2．若复数z使得为纯虚数，则（   ）. A． B．2 C． D．4 3．如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D．3 4．已知且，则二项式的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．1 D．24 5．已知的内角，，满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆的右焦点，直线交于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．直线与所成角的余弦值为 8．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，满分18分） 9．已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为 10．已知，为随机事件，且，，则下列结论正确的是（ ） A．若，互斥，则 B．若，相互独立，则 C．若，相互独立，则D．若，则 11．设数列，，，记数列前n项和为，则（    ） A． B．不存在 C． D．存在 三、填空题（每小题5分，满分15分） 12．已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则 ． 13．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球的表面积是 ． 14．已知函数 若对任意，存在，使成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题（共5小题，满分77分） 15．锐角三角形中，角的对边分别为且.（本小题满分13分） (1)求； (2)求三角形周长的取值范围； (3)求三角形面积的最大值. 16．已知双曲线的渐近线与圆相切，圆心是的一个焦点.（本小题满分15分） (1)求的方程； (2)过点的直线与的右支交于两点，分别为的左，右顶点，直线与交于点. （i）证明：在定直线上；（ii）若直线与交于点，求的值. 17．设函数.（本小题满分15分） (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，讨论在上的单调性； (3)当时，，求实数的取值范围. 18．如图，在多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，且，，为的中点．（本小题满分17分） (1)求证：平面平面． (2)已知，，，点是线段上的动点． （ⅰ）判断是否存在一点，使得与垂直？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19．近年来，睡眠质量对健康的影响备受关注，研究表明，良好的睡眠习惯可以显著降低焦虑和抑郁的发生率，同时提高免疫力．（本小题满分17分） (1)某社区为推广健康睡眠，开展了“早睡一小时”活动，鼓励居民每晚提前一小时入睡．下表为活动开展后近5个月社区居民的睡眠改善情况统计． 月份 1 2 3 4 5 睡眠质量显著改善人数 280 250 200 160 110 若睡眠质量显著改善人数与月份变量()具有线性相关关系(月份变量依次为)，请预测第6个月睡眠质量显著改善的大约有多少人？ (2)该社区将参加“早睡一小时”活动的居民分成了甲、乙、丙三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战乙组，则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为． (ⅰ)经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望； (ⅱ)定义：已知数列，若对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数，使得当时，(是一个确定的实数)，则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次挑战后，挑战权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 高三数学 第4页（共4页） 高三数学 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$