精品解析：江西省新余市实验中学2024-2025学年高三下学期4月信息押题卷数学试题

2025届高三信息押题卷（三） 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于实轴上，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A. 5 B. C. 2 D. 7. 抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点O为对称中心的平行四边形，则称该函数为柯尔莫哥洛夫函数.已知函数为柯尔莫哥洛夫函数，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）函数，则下列关于的说法中正确的有（ ） A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 在区间上单调递减 D. 图象关于点中心对称 10. 已知圆M的圆心M在x轴上，且圆M与直线和都相切，点P为直线l：与y轴的交点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则（ ） A. 若直线l与圆M相切，则 B. 当时，四边形PAMB的面积为 C. 的取值范围为 D. 若点，则为定值 11. 函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是上的函数，则为上的函数 B. ，是上的函数 C. 是上的函数，则 D. 命题“是上的函数”的一个必要条件为“” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某无人机的研发费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如表所示： 研发费用x 3.4 4.7 5 5.6 6.3 销售量y 15 16.9 19.2 18 20.9 根据表中数据可得经验回归方程为，则第三个样本点对应的残差为________. 13. 四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为________，该四面体的外接球的表面积为________. 14. O为坐标原点,点为椭圆与抛物线的交点，的外接圆圆心在椭圆M上，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）证明：. （2）若的平分线AD交BC于D，，，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，，且. （1）求证：平面平面BCP. （2）若，且三棱锥的体积是四棱锥.体积的一半. （i）求点C到平面APQ的距离； （ii）求平面APQ与平面BCQ夹角的余弦值. 17. 函数，. （1）方程有两解，，求证：； （2）证明：. 18. 双曲线E：的渐近线方程为，且双曲线E过点. （1）求双曲线E的标准方程. （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.已知点T在直线l：上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P和M. （i）设点T的横坐标为t，求t的取值范围； （ii）设直线TP和直线TM分别与直线交于点Q和点N，证明：直线PN和直线MQ交点在定直线上. 附：双曲线以点为切点的切线方程为. 19. 当且仅当数列满足下列条件①②时，称数列为广义Hilbert数列：①数列满足；②数列中共有项（），其中m项为，k项为1，且对任意，，，，中的个数不少于1的个数.当时，广义Hilbert数列称为Hilbert数列；表示广义Hilbert数列的个数. （1）当时，求的值； （2）若既为等比数列，又为Hilbert数列，求符合条件的所有的通项公式； （3），求，并证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三信息押题卷（三） 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由不等式可得集合的元素，根据集合的交集，可得答案. 【详解】由题意，；不等式组，即，解得， 所以或，因此，. 故选：A. 2. 在复平面内，复数对应的点位于实轴上，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除法运算化简，再由虚部等于求解即可得答案. 【详解】由题意得，， ∵复数对应的点位于实轴上， ∴，解得. 故选：D. 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示，根据数量积与模长的坐标表示，可得答案. 【详解】由，，得，，所以. 故选：B. 4. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合两角差的三角函数、同角三角函数的关系求得的值，再由二倍角的余弦公式，结合转化成的齐次式，化弦为切即可得解. 【详解】∵，∴， 即，化简得， ∴. 故选：B. 6. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法，整理等式可得函数周期性，利用周期性，可得答案. 【详解】由题意得，用代替x，得. 两式相加，得，所以，所以函数是以6为周期的周期函数. 因为，所以，又因为，所以. 又因为，即，解得， 所以. 故选：D. 7. 抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点与坐标原点重合时，可求得；当点不与原点重合时，不妨设点在第一象限，过点作垂直准线于点，利用角平分线的性质可得出，可得出，结合题意可求出的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意得，焦点，准线方程为，为准线与轴的交点. 当点与坐标原点重合时，的平分线与轴交点为，即. 当点不与原点重合时，由抛物线的对称性，不妨设点在第一象限， 过点作垂直准线于点， 如图，由抛物线的定义可得， 记的平分线与轴交于点，则，. 根据角平分线定理可得，即. 因为， 所以，解得. 综上. 故选：B. 8. 若函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点O为对称中心的平行四边形，则称该函数为柯尔莫哥洛夫函数.已知函数为柯尔莫哥洛夫函数，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设四个点分别为，，，，，，转化问题为方程在上至少存在两个不同的根，，令，结合导数分析其单调性，进而得到方程至少有两个大于1的根，可得直线与函数的图象在上的部分至少有两个交点，进而结合图象求解即可. 【详解】设四个点分别为A，B，C，D，坐标原点O为线段AC，BD的中点. 不妨设，，，，则，， 且，， 两组方程分别相加，得，， 相当于方程在上至少存在两个不同的根，. 方程等价于， 因为，，，所以，即. 令，则：等价于. 因为，所以当时，， 所以在上单调递增， 所以等价于，且方程至少有两个大于1的根. 由，得，令， 则直线与函数的图象在上的部分至少有两个交点. 当时，，当时，，当时，. 又，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，，的大致图象如图. 由图可知当时，直线与函数的图象在上的部分有两个交点， 即相当于方程在上有两个不同的根. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）函数，则下列关于的说法中正确的有（ ） A. 最小正周期是 B. 最大值是2 C. 在区间上单调递减 D. 图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】先将原函数进行化简，然后根据正弦函数的周期、最值、单调性和中心对称等性质进行判断. 【详解】. 的最小正周期是，故选项A正确； 由三角函数的性质可知，即的最大值是，故选项B错误； 当时， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故选项C正确； 令，，解得，， 故图象的对称中心为，，令，得， 所以的图象不关于点中心对称，故选项D错误. 故选：AC. 10. 已知圆M的圆心M在x轴上，且圆M与直线和都相切，点P为直线l：与y轴的交点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则（ ） A. 若直线l与圆M相切，则 B. 当时，四边形PAMB的面积为 C. 的取值范围为 D. 若点，则为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得圆的方程以及切线长的表示，对于A，可得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式，可得其正误；对于B，由题意可得直线方程，从而可得点的坐标，根据两点之间在距离公式，从而可得的长，即可得切线长，根据直线三角形的面积公式，可得其正误；对于C，根据数量积的定义，根据切线长以及同角三角函数的平方式，可得数量积的函数解析式，根据对勾函数的性质，可得其正误；对于D，根据四点共圆，利用两圆方程可得相交弦所在直线的方程，根据垂直可得动点的轨迹，结合圆的性质，可得其正误. 【详解】 因为圆M的圆心M在x轴上，且与直线和都相切， 所以圆M的标准方程为. 因为PA，PB是圆M的切线，所以. 在Rt△APM中，. 对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线l：的距离为1， 即，解得，故A正确. 对于B，当时，，又所以， 则，所以四边形PAMB的面积，故B错误. 对于C， . 因为，所以， 因为对勾函数在上单调递增，所以.故C正确. 对于D，由题意，知，，，，所以A，M，B，P四点共圆， 记此圆为圆D，则PM为圆D的直径，圆心，半径为， 圆D的方程为.因为AB是圆D与圆M的相交弦， 所以直线AB的方程为化简得， 所以直线AB经过定点.因为，所以， 因为点在直线AB上，所以，即点C在以MN为直径的圆上. 因为，，所以圆心为点，恰为Q点，半径为. 因为点C在该圆上，所以为定值.故D正确. 故选：ACD. 11. 函数的定义域为，若存在满足：对任意的恒成立，则称为上的函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是上的函数，则为上的函数 B. ，是上的函数 C. 是上的函数，则 D. 命题“是上的函数”的一个必要条件为“” 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的定义逐项判断可得结果. 【详解】A.若是上的函数，则有，. 设，则， 由得，， ∴，∴为上的函数，故A正确． B.由题意得，， ∵对，，∴，即， ∴，是上的函数，故B正确． C.若，则恒成立，即是函数，故C错误． D. 由是上的函数， 得在上恒成立， 当时，，时，， 故时，，时，， 根据二次函数的性质可知，是函数的零点， 即，故． 记，， 由得，由得， ∴在上为减函数，在上为增函数， 故，即，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某无人机的研发费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如表所示： 研发费用x 3.4 4.7 5 5.6 6.3 销售量y 15 16.9 19.2 18 20.9 根据表中数据可得经验回归方程为，则第三个样本点对应的残差为________. 【答案】1.2 【解析】 【分析】由表格中的数据，根据平均数求得样本中心，代入回归方程可得参数的值，代入第三个样本点的值，集合残差的定义，可得答案. 【详解】由已知，得，， 所以，于是， 当时，， 因此，第三个样本点对应的残差为. 故答案为：. 13. 四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为________，该四面体的外接球的表面积为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可作图，将符合题意的四面体放在正四棱柱中，利用分割法，根据四棱柱与三棱锥的体积公式，可得空一的答案；根据正四棱柱的外接球，结合球的表面公式，可得空二的答案. 【详解】不妨设四面体为，，，， 可将四面体放置在长方体中，如图所示: 设长方体的同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，，， 则四面体的体积， 该四面体的外接球即为长方体的外接球，设其半径为R，则， 所以球的表面积为. 故答案为：；. 14. O为坐标原点,点为椭圆与抛物线的交点，的外接圆圆心在椭圆M上，则________. 【答案】 【解析】 【分析】结合条件，判断的外接圆圆心为椭圆的上顶点，，由列方程组，求解即得. 【详解】 如图，由抛物线、椭圆和圆的对称性可知，△ABO的外接圆圆心为椭圆的上顶点， 则.设， 则得， 又，，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）证明：. （2）若的平分线AD交BC于D，，，求的值. 【答案】（1）由及正弦定理， 得 所以， 所以， 即 由，得， 由，，可得 所以或（舍去）， 所以 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，利用和差角正弦公式化简，借助于角的范围即可证明； （2）由已知条件和二倍角公式求得的值，利用等面积和（1）的结论推得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，可得 所以 因(*)， 由（1）可知，又AD平分， 故 则由(*)可得 又，则得 化简得， 两边同除以bc，得， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，，且. （1）求证：平面平面BCP. （2）若，且三棱锥的体积是四棱锥.体积的一半. （i）求点C到平面APQ的距离； （ii）求平面APQ与平面BCQ夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在△ABP中，，，，由正弦定理，得， 即，解得，则为直角，所以， 因为四边形ABCD为正方形，所以又因为，平面BCP，平面BCP， 所以平面BCP.又因为平面ABP，则平面平面BCP. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得线线垂直，根据直线垂直的判定与性质，结合面面垂直判定，可得答案； （2）由题意建立建立直角坐标系，求得平面的法向量，根据点面距以及面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）以点D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x，y轴， 过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设，，则，，，. 由（1）可知，，又， 则，解得，即 因为，， 所以，所以， 所以. 因为，平面BCP，所以平面BCP， 所以三棱锥的体积. 因为四棱锥的体积，且，所以. 因为，所以，即 设平面APQ的法向量为，则，即， 取，则，，所以 则点C到平面APQ的距离为. （ii）由（i）知，，， 设平面BCQ的法向量为，则，即 取，则，，所以， 因为， 所以平面APQ与平面BCQ夹角的余弦值为. 17. 函数，. （1）方程有两解，，求证：； （2）证明：. 【答案】（1）证明：，定义域为，则 因为方程有两解，，所以，不妨设. 要证，即证， ①若，则. ②若，由知， 当时，，当时，. 在上单调递减，在上单调递增，有. 综合①②知，，所以只需证（*）. 又，， 两式相减，整理得，代入（*）式，得， 化简得，令，则只需证， 令，则需证当时，. 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以当时，，所以成立. （2）由（1）知，故， 取，，，，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）由函数解释式求导，分情况可求得恒成立，整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案； （2）由（1）所得不等式，利用累加法以及裂项相消，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 双曲线E：的渐近线方程为，且双曲线E过点. （1）求双曲线E的标准方程. （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.已知点T在直线l：上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P和M. （i）设点T的横坐标为t，求t的取值范围； （ii）设直线TP和直线TM分别与直线交于点Q和点N，证明：直线PN和直线MQ交点在定直线上. 附：双曲线以点为切点的切线方程为. 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）证明：设，， 则直线TM和TP方程分别为和， 联立得点 又点T在直线l上，代入整理得 在直线TM的方程中，令，得，则点. 直线PN的斜率. 故直线PN的方程为 设直线PN与直线l的交点为A，由两直线方程，得. 解得. 设直线MQ与直线l的交点为B， 同理得 因为 所以A，B两点重合， 所以直线PN与MQ的交点在定直线l：上. 【解析】 【分析】（1）由双曲线上的点和渐近线列式求出，得到其双曲线方程； （2）（i）首先排除切线斜率不存在的情况，再采用设线法，并联立双曲线方程，根据判别式得到的范围； （ii）设，根据切线结论得到直线和方程，再联立求出的坐标，再求出的坐标，得到直线方程，再分别设直线与直线交点为，直线与直线交点为，证明两点重合即可. 【小问1详解】 由题意解得，， 所以双曲线E的标准方程为. 【小问2详解】 （i）解：当一条切线的斜率不存在时，切点为双曲线E的顶点或， 则点T的坐标为或. 当点T的坐标为时，显然另一条切线的斜率存在，设切线方程为. 联立切线方程与双曲线方程，消去y化简得， 则，解得. 因为双曲线的渐近线方程为，所以不符合题意 当点T的坐标为时，只有一条切线，显然不符合题意， 所以两条切线的斜率均存在 设切线的斜率为，则切线方程为， 与双曲线方程联立消去y，化简得 令， 整理得. 因为，所以且. 上式整理得 由题意，以上关于k的二次方程有两个相异实根，所以， 且 整理得， 解得 综上所述，t的取值范围是 （ii）证明：略 19. 当且仅当数列满足下列条件①②时，称数列为广义Hilbert数列：①数列满足；②数列中共有项（），其中m项为，k项为1，且对任意，，，，中的个数不少于1的个数.当时，广义Hilbert数列称为Hilbert数列；表示广义Hilbert数列的个数. （1）当时，求的值； （2）若既为等比数列，又为Hilbert数列，求符合条件的所有的通项公式； （3），求，并证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3）， 证明：方法一：由广义Hilbert数列的定义可知，若数列为广义Hilbert数列，则. 因为，所以剩余的项中，有个和2个1. 若，则剩余的m项中，有个和1个1，此时， 则剩余的项中，有个和1个1， 且第项都满足数列为广义Hilbert数列，此时数列有个. 若，则剩余的m项中，有个和2个1，且剩余的m项中任意两项为1， 都满足数列为广义Hilbert数列，此时数列有个. 综上， 方法二：当时，对于的广义Hilbert数列有两类， 即或. 若，则前面的项中有个和2个1， 且数列的前项是的广义Hilbert数列， 此时广义Hilbert数列的个数为； 若，则前面的项中有m个和1个1， 且数列的前项是的广义Hilbert数列， 此时广义Hilbert数列的个数为. 因此 对于的广义Hilbert数列，数列中有m个和1个1， ，1可以是第项，数列有m个，即. 初始条件为（2+2的Hilbert数列）， 因为，，， 所以 当时，对于的广义Hilbert数列，数列中有m个和1个1， ，1可以是第项，数列有m个，即， 同理，，又，满足. 当时，，，， 满足 当时，对于的广义Hilbert数列，m项为，k项为1，且有两类， 即或. 若，则前面的项中有个和k个1， 且数列的前项是的广义Hilbert数列， 此时广义Hilbert数列的个数为； 若，则前面的项中有m个和个1， 数列的前项是的广义Hilbert数列. 理由：若数列的前项是的广义Hilbert数列， 又，则在其最后添加一项1，则仍然构成广义Hilbert数列； 若数列的前项不构成广义Hilbert数列，则在其最后添加一项1， 则仍然不构成广义Hilbert数列.此时广义Hilbert数列的个数为. 所以. 【解析】 【分析】（1）方法一：利用列举法即可求得的值；方法二：由题意，Hilbert数列共8项，前4项中最多有2个1，从而将其分成三类，分别求Hilbert数列的个数，再相加即得； （2）由数列为Hilbert数列和题设条件，可得公比，将i分，i为奇数和i为偶数分析讨论，即可推得； （3）方法一：由广义Hilbert数列的定义可知，得到剩余的项中，有个和2个1，分 和两种情形，分别求出数列的个数即可求得；方法二：当时，对于的广义Hilbert数列有两类，或，由可推得数列的个数为，由可推得数列的个数为，再由即可求得；当时，可得；当时，可得；当时，有或，推理得到：当时，广义Hilbert数列的个数为，当时，广义Hilbert数列的个数为，从而得证. 【小问1详解】 方法一：当时，所有的Hilbert数列如下： ，，，，1，1，1，1；，，，1，，1，1，1； ，，，1，1，，1，1；，，，1，1，1，，1； ，，1，，，1，1，1；，，1，，1，，1，1； ，，1，，1，1，，1；，1，，，，1，1，1； ，1，，，1，，1，1；，1，，，1，1，，1； ，，1，1，，，1，1；，，1，1，，1，，1； ，1，，1，，，1，1；，1，，1，，1，，1. 共14个，即； 方法二：当时，Hilbert数列共8项，前4项中最多有2个1. 当前4项中没有1时，Hilbert数列有1个； 当前4项中有1个1时，后4项中有1个，1可以是第项， 可以是第项，Hilbert数列有个； 当前4项中有2个1时，即前4项中有2个1，2个，后4项中有2个1，2个， 前4项有2种情况，即，，1，1和，1，，1， 同理，后4项也有2种情况，Hilbert数列有个. 综上，当时，Hilbert数列有个， 即； 【小问2详解】 因为数列为Hilbert数列，所以数列中和1的个数相等，设均为个，则数列有2m项. 因为数列是等比数列，且各项为1或，所以公比 因为数列为Hilbert数列，所以对任意，前i项中的个数不少于1的个数. 当时，可得，则数列为，1，，1，，，1，共项， 当i为奇数时，前i项中有个和个1，显然的个数多于1的个数； 当i为偶数时，前i项中有个和个1，满足的个数不少于1的个数. 因此，唯一满足条件的等比数列的通项公式为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $