精品解析：上海市闵行区普高2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷

闵行普高2024-2025学年第二学期高一年级数学期中联考 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的最小正周期是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为：. 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件结合三角函数定义求，再结合诱导公式求结论. 【详解】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点， 所以点到原点的距离为， 所以， 所以， 故答案为：. 3. 若，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用三角函数基本关系式，弦化切，求值计算. 【详解】. 故答案为： 4. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用正切函数定义域计算求解. 【详解】因为，所以， 所以函数的定义域为 5. 已知扇形弧长为，弧所对的圆心角为弧度，则该扇形的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合弧长公式求半径，再利用扇形面积公式求结论. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为， 由已知，， 由弧长公式可得， 所以，故， 所以该扇形的面积. 故答案为：. 6. 函数，的值域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质即可求得值域. 【详解】因为，根据正弦函数的性质可知， 即函数的值域为， 故答案为：. 7. 在中，已知，则的外接圆半径________. 【答案】 【解析】 【分析】运用余弦定理和正弦定理进行求解即可. 【详解】由余弦定理可知： ， 根据正弦定理可得的外接圆半径， 故答案为： 8. 已知函数，若是偶函数，则_________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再求，结合偶函数的定义和正弦函数的性质列关系式求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因为是偶函数，所以对任意的恒成立， 所以， 所以或，， 所以（舍去）或，， 所以，， 故答案为：，. 9. 已知方程在上有实数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数结合其值域可求答案. 【详解】， 因为，所以，， ， 所以，即. 故答案为： 10. 在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理，， ∵，∴. 由余弦定理及基本不等式，， ∴，当且仅当时取等号， ∴当且仅当时，的面积的最大值为. 故答案为：. 11. 将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数图象变换法则求出函数的解析式，解方程求，再结合条件求的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以， 令，可得， 则或， 解得或， 所以的取值大于等于的零点从小到大依次为， 若在上至少有个零点， 则不小于第个零点的横坐标即可， 所以的最小值为， 故答案为：． 12. 某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为_________（精确到）. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角一边结合正弦定理求边，再利用余弦定理求边即可. 【详解】在Rt中，，则 因为，所以 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中， 由余弦定理得 所以米． 故答案为：4.25米． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）. 13. “，”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则， 若，则，不能推出 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 14. 在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得到，再求解即可. 【详解】在中，已知 由正弦定理得， 所以即 又，则，则， 所以所以该三角形为等腰三角形. 故选：B. 15. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图像及性质，可求得其解析式，进而可判断A、B选项错误，再结合三角函数的对称性即可判断C选项正确，D选项错误. 【详解】设的周期为，根据函数图像可得，解得，故B错误； 又，解得， 因为当时，取得最小值，且，所以， 所以，即， 所以，解得， 又，取，得，所以，故A错误； 对于C，当时，，可得， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，，取不到最大值或最小值， 所以直线不是图象的对称轴，故D错误． 故选：C. 16. 函数在一个周期内的图象如图所示．为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形．若，且，则的值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简函数解析式，根据周期求出，即可得到函数解析式，从而得到，再求出，最后由两角和的正弦公式计算可得. 【详解】因为 ， 又为正三角形，所以， 则函数的最小正周期，所以，解得，则， 因为，所以， 即，因为，所以， 所以， 所以 . 故选：A. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题． 17. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系求，，再结合两角差余弦公式求， （2）结合（1）根据商的关系求，，再利用二倍角公式求，再结合两角差正切公式求. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以， 【小问2详解】 由（1），，，， 所以，， 所以， 所以. 所以. 18. 已知函数． （1）求的值域，并写出的单调递增区间； （2）求的对称轴方程，并求方程的解集． 【答案】（1）； （2）；或 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式进行三角恒等变形，然后借助正弦函数来求值域和单调区间即可； （2）然后借助正弦函数来求对称轴方程以及解三角方程即可. 【小问1详解】 由， 因为，所以函数的值域为， 由解得：， 所以函数的单调递增区间是； 【小问2详解】 由，解得：， 即函数的对称轴方程为， 由方程， 则或， 解得或， 故方程的解为或， 19. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，． （1）求的面积； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】0（1）由条件根据同角关系和二倍角公式求，，结合面积公式求结论， （2）由条件结合余弦定理求，由此可得结论. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以，， 又， 所以的面积， 所以求的面积为； 【小问2详解】 由（1）， 由余弦定理可得， 又，， 所以， 所以， 所以的周长为． 20. 已知． （1）将化成． （2）求函数在区间上的单调减区间； （3）将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简即可； （2）令，求得该不等式在内的解即可； （3）利用图象变换求得解析式，再根据第100个最值点列不等式求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 对于，令， 求得， 可得函数的单调减区间为，， 故函数在区间上的单调减区间为，． 【小问3详解】 将函数的图象向右移动个单位，可得的图象； 再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值， 根据当时，在区间上正好有100个最大值， ，求得，故实数的取值范围为． 21. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数．阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用.但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米，关于的函数为． （1）求函数的表达式； （2）当时，设，求的值域； （3）当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 【答案】（1） （2） （3）最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，过作，分别表示出，结合矩形的面积公式代入计算，即可得到结果； （2）将解析式化简，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （3）由解析式可得，即可得到时，取得最小值，然后代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 过作，垂足为，由题意可得：， 所以， 所以矩形的面积 【小问2详解】 当时， ， 令，因为，所以， 则函数，其对称轴为， 当时，， 当或时，，所以 【小问3详解】 因为， 当时， 当且仅当，即 ，解得或时，等号成立． 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闵行普高2024-2025学年第二学期高一年级数学期中联考 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的最小正周期是_________． 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则_________． 3. 若，则________． 4. 函数的定义域为__________． 5. 已知扇形弧长为，弧所对的圆心角为弧度，则该扇形的面积为________. 6. 函数，的值域是_________． 7. 在中，已知，则的外接圆半径________. 8. 已知函数，若是偶函数，则_________． 9. 已知方程在上有实数解，则实数的取值范围是______． 10. 在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为___________ 11. 将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为_________． 12. 某数学建模小组模拟“月距法”测量经度的一个步骤．如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表“月球”与“轩辕十四”（恒星名）．组员在地面处测得轩辕十四的仰角，随后向着两“天体”方向前进4米至处，测得两“天体”的仰角分别为、．若“月球”距离地衣的高度为3米，则“轩辕十四”到“月球”的距离约为_________（精确到）. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）. 13. “，”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 15. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象关于直线对称 16. 函数在一个周期内的图象如图所示．为图象的最高点，，为图象与轴的交点，且为正三角形．若，且，则的值是（ ）. A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题． 17. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知函数． （1）求的值域，并写出的单调递增区间； （2）求的对称轴方程，并求方程的解集． 19. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，． （1）求的面积； （2）若，求的周长． 20. 已知． （1）将化成． （2）求函数在区间上的单调减区间； （3）将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求实数的取值范围． 21. 如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于4的常数．阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用.但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为平方米，关于的函数为． （1）求函数的表达式； （2）当时，设，求的值域； （3）当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $