2025年浙江省夏季奥林匹克“丁一杯”数学竞赛省级选拔赛八年级试题 （B）卷

绝密★启用前 2025年夏季奥林匹克“丁一杯”数学活动省级选拔 (2025年5月) 选手须知： 1.本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分；第二部分：计算题，共计20分；第三部分： 解答题，共计6分； 2.答题前请将自己的姓名、学校、教室编号、活动证号写在规定的位置； 圜 3.比赛时不能使用计算工具； 4.比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。 题号 二 三 总分 核查人 铷 得分 77 酃 八年级试题(B卷) (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 得分 长 一、填空题（每题8分，共计64分） 评卷人 1.已知△ABC中，AB=AC=5,BC=8,AD是BC边上的中线，则点C到直线AB的距离是 K ax+2y=1+a 2.己知关于x,y的方程组 有无穷多解，则a=_ 2x+2(a-1)y=3 3.甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p(万元)和q(万元)，它们与投入 资金x(万元)的关系有经验公式p,qV屁。今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，可获得最大 的利润为 万元。 杯 4.三个互不相等的有理数，既可分别表示为1，a+b,a的形式，又可分别表示为0，C,b的形 式，则a12016+b2017=。 解 5.在等边三角形ABC所在的平面内求一点P,使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样 性质的点P有 个。 6.己知一次函数y=(m+4)x++2,无论取何值它的图像恒经过的定点坐标为_一一一； 若 m为整数，又知它的图像不经过第二象限，则此时= 载 7.如图，大正六边形中有一个小正六边形，其中六个四边形是一样大的正方形。己知每个正方形的 面积都是2018平方厘米。那么，大六边形与小六边形的面积相差 平方厘米。 八年级 第1页 8.如图，正方形边长为80厘米，O为正方形中心，A为OB中点，在正方形内以A点为圆心，OA 为半径的圆，以B点为圆心，OB为半径的圆与正方形的一边围成了一个特殊的图形。将这个图形绕O 点顺时针旋转三次能够得到一个风车的形状。那么这个风车（阴影部分）的面积是 平方厘米（π 取3.14)。 (第7题图) (第8题图) 二、计算题（每题10分，共计20分） 得分 9.先化简，再求值：-30÷a-2-5)+a9,其中a-2a-6=0. 评卷人 a+2 a+2a+3 1n.已5-263+石0求a+b的值.(Q味合会的值。 1 1 h 八年级 第2页 得分 评卷人 三、解答题（第11-13题各12分，第14-15题各15分，共计66分） 11.己知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE,EF,DE=BF,BE=BC。 (1)如图①，求证△AED≌△EFB: (②)如图②，若AB=AD,AE≠D,过点C作CH∥AE交BE于点H,在不添加任何辅助线的情况下，请写出图 ②中的四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等（要求写出过程）。 ② 12.已知A=a+2,B=a2-3a+7,C=a2+2a-18,其中a>2 (1)求证：B-A>0,并指出A与B的大小关系，并求证 (2)指出A与C哪个大？说明理由。 13.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，且面积为4。点D是BC的中点，点F是直线AB上一动点，连结 DF。(1)求线段BC的长；(2)当点E在射线BC上，且CE=2BC时，连结FE,若AF-3AB,试判断△DEF是否为等 腰三角形，并说明理由：（③）直线AB上是否存在点FF不与AB重合)，使△ACF的其中两边之比为1：√2？若 存在，求出BF的长；若不存在，请说明理由。 八年级 第3页 14.为锻炼学生体质，某中学准备购买A,B两种体育器材共30件，从市场了解到A，B两种器材的单 价分别是16元和4元。设准备购买A种器材x(件)，学校要求购买B种器材的数量多于总器材数量的一半， 但不高于A种器材数量的2倍，购买两种器材的总费用为y(元)。 (1)写出总费用y(元)与x(件)之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。 (2)实际购买时，每件A种器材下降了a(a>0)元，每件B种器材上涨了2α元，此时购买这两种商品所 需的最少费用为378元，求a的值。 搬 铷 酃 15.如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点0作EF∥BC分别交AB、AC于E、F。 长 尽 ①求证：OB=BE;②若△ABC的周长是25，BC=9,试求出△AEF的周长： 0 (2)如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P,连接AP,若∠BAC=80°，求∠PAC K 的度数. 和 1 杯 图1 图2 解 八年级 第4页八年级省级选拔参考答案 一、填空题。（共8题，每题8分，共计64分） 24 1、52、23、1.054、25、106、(-1,-2)；-2或-3 912 二、计算题。（共2题。每题10分，共20分） 9、 原式=aa-3》.a2-4-5a2-a a+2a+2a+3 =a(a-3》xa+2a2-a a+2(a+3)(a-3)a+3 =-a_.a2-a a+3a+3 a+3 .‘a2-2a-6=0, .a2=2a+6 原式=2a+6=2 a+3 10、 1 V5+V5 a= √3-√2(W3-V2)3+V2) V3+2, 1 √3-√2 b=5+V2(3+23- =3-2, )ab=(W3+V2)x(W3-V2)=1, a+b=3+√2+√3-V2=23 (22+g-6+a-_a+b-2ah a b ab ab =(2V3)2-2×1 =10 三、解答题。（共5题。第11-13题各12分，第14-15题各15分， 11、【证明】.四边形ABCD是平行四边形 ∴.AD//BC,AD=BC '.∠ADE=∠EBF .'BC=BE ..AD=BE 在△AED和△EFB中，AD=BE且∠ADE=∠EBF且DE-=BF '.△AED≌△EFB(SAS) 7、18162 8、 共计66分) (2)∠AEB,∠DHC,∠EFC,∠DCH .四边形ABCD是平行四边形 ∴.AD=BC,AB/∥CD .'AB=AD .'.AB=BC .'BE=BC ∴.AB=BE ∴.∠BEA=∠BAE .'CH∥AE '.∠DHC=∠BEA=∠BAE .AB∥CD ∴.∠CDH=∠ABE ∴.∠DCH=∠BAE .'△AED≌△EFB .∠AED=∠EFB ∴.∠EFC=∠AEB=∠BAE ∴.与∠BAE等的角是∠AEB,∠DHC, 12、 (1D☐☐：B-A=(a2-3a+7)-(a+2) =a2-3a+7-a-2 =a2-4a+5 =(a2-4a+4)+1 =(a-2)2+1, .(a-2)2≥0， ∴.(a-2)2+1≥1， .B-A>0, ..B>A; (2)C-A=(a2+2a-18)-(a+2) =a2+2a-18-a-2 =a2+a-20 =(a+5)(a-4) .a>2, .a+5>0, ☐2<a<4☐☐a-4<0, ∴.C-A<0,☐A>C ∴.a-4=0,a=4时，A=C ☐a>4口▣a-4>00 .∴.C-A>0□☐A<C 13、 ∠EFC,∠DCH ,口ABC为等腰直角三角形，且AB=AC, 2×AB×AC=4 ∴.AB=AC=2V2, .BC=VAB2+AC2=4, .线段BC的长为4： (2)□DEF是等腰三角形，理由如下： 过点F做FH⊥BE于点H, B D C ,口ABC为等腰直角三角形，且AB=AC ∴.∠ABC=∠BCA=45, 口BHF为等腰直角三角形，且BH=FH, ‘AF=3AB=6V2, .BF=8V2, .BH2+FH2 BF2,2BH2 =(82)2 .BH=FH=8, .口D口BC口口口， .BD=DC=2, □DH=BH-BD=6, .'DH2 +FH2=DF2 62+82=DF2, .DF=10, .CE=2BC=8, ∴.DE=DC+CE=10, ∴.DE=DF=10, ∴.0DEF口口0口00； (3)000口000： .DABC0口口00口口0口口 AB=AC- BC=4 ∴.∠BAC=∠FAC=90° ①当AC:CF=1:V2时， 面积为4， 2W2,BC=4, 2√2， .AB=AC=22, CF=4,AF=CF2IAC =2, ..BF=AB+AF=4v2; ②当AC:AF=1:VP时， .'AB=AC=22, ∴.AF=4, ∴.BF=4+22或4-22； ③当AF:AC=1:VP时， .'AB=AC=2v2, ∴.AF=2, ∴.BF=2+22或2V2-2; 综上，存在点F,使△ACF的其中两边之比为1：V2, 4-2或2+2或2-2。 BF的长为或4+2或 14、 设购买A种器材x件，则购买B种器材(30-x)件， 根据题意得：y=16.x+4(30-x)=12x+120 .·购买B种器材的数量多余总器材数量的一半， 但不高于A种器材数量的2倍 、1 30-x>二×30 30-x≤2x 解得10≤x<15,且x为正整数 .总费用y(元)与x(件)之间的函数关系为： y=12x+120,自变量x的取值范围为10≤x<15, 且x为正整数 (2)根据题意得： y=(16-a)x+(4+2a)(30-x)=(12-3a)x+120+60a 10≤x<15,且x为正整数 此时购买这两种商品所需的最少费用为378元，进行分类讨论： ①当12-3a≥0时，解得0<a≤4， 根据一次函数的图像及性质可知，y随x的增大而增大， .当x=10时，y取到最小值， 即y=(12-3a)×10+120+60a=378, 解得a=4.6(不符合0<a≤4，故舍去)； ②当12-3a<0时，解得a>4, 根据一次函数的图像及性质可知，y随x的增大而减小， ∴.当x=14时，y取到最小值， 即y=(12-3a)×14+120+60a=378 解得：a=5 综上所述：a=5 15 解：(1)①.B0平分∠ABC, ∴.∠EB0=∠OBC, EF∥BC, .∴.∠E0B=∠OBC, .∠EOB=∠EBO, .'.OE=BE; ②△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16 (2)解：延长BA,作PN⊥BD于N,PF⊥BA于F,PM⊥AC于M, .CP平分∠ACD, ∴.∠ACP=∠PCD, PM=PN, .BP平分∠ABC, .∠ABP=∠PBC,PF=PN, .'PF=PM, .∠FAP=∠PAC, .∠FAC=2∠PAC, .'∠FAC+∠BAC=180°， .2∠PAC+∠BAC=180°， ∴.∠PAC=(180°-∠BAC)=(180 。09=(。08-