精品解析：上海市洋泾中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

洋泾中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（1-6题每题3分，7-10题每题4分，共34分） 1. 化简向量运算：______． 2. 在中，若，则这个三角形一定为______三角形. 3. 已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的半径为________． 4. 已知，则______． 5. 已知，则在方向上的投影为__________ 6. 已知向量，，则的最大值为_______. 7. 已知奇函数的一个周期为2，当时，，则___________. 8. 已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 9. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小取值等于______. 10. 已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________. 二、选择题（11-12题每题3分，13-14题每题4分，共14分） 11. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 12. 在中，为的中点，若，，则为（ ） A. B. C. D. 13. 下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 14. 在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（共52分） 15. 已知，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值. 16. 已知向量，满足，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 17. 如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求. （1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由； （2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若函数，求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； （3）已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洋泾中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（1-6题每题3分，7-10题每题4分，共34分） 1. 化简向量运算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加法的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 2. 在中，若，则这个三角形一定为______三角形. 【答案】直角 【解析】 【分析】由正弦定理得到，即可得出结果. 【详解】因为在中，， 由正弦定理可得：，满足勾股定理， 因此，该三角形是直角三角形. 故答案为直角 【点睛】本题主要考查判断三角形的形状，熟记正弦定理即可，属于基础题型. 3. 已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知圆心角和扇形的面积公式求解半径. 【详解】根据扇形的面积公式, 则. 故答案为：. 4. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】由，可得 故答案为：. 5. 已知，则在方向上的投影为__________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用投影公式得到答案. 【详解】在方向上的投影为 故答案为： 【点睛】本题考查了投影的计算，意在考查学生对于投影的理解和掌握. 6. 已知向量，，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】计算出，利用辅助角公式进行化简，并求出的最大值，可得出的最大值. 【详解】，，， 所以，， 当且仅当，即当，等号成立， 因此，的最大值为，故答案为. 【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7. 已知奇函数的一个周期为2，当时，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意根据函数的奇偶性与周期性计算可得； 【详解】解：根据题意得， 故答案为： 8. 已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 【答案】; 【解析】 【分析】依题意可知且与不共线，由向量数量积的坐标表示计算解不等式可得结果. 【详解】由可得，； 若与的夹角为锐角，可知且与不共线， 因此，且； 即可得且， 因此的取值范围为. 9. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小取值等于______. 【答案】2 【解析】 【分析】对任意的实数x都成立，这个条件说明，解方程可得答案. 【详解】对任意的实数x都成立，， ， 又 故答案为：2 10. 已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据向量的线性运算（或极化恒等式）可得，故可求的取值范围. 【详解】 方法一：正六边形的内切圆半径为，外接圆的半径为. 因为，即，所以，可得． 方法二：连接，则由极化恒等式知， 又易知，所以，可得， 故的取值范围是． 故答案为：. 二、选择题（11-12题每题3分，13-14题每题4分，共14分） 11. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解. 【详解】函数、的最小正周期为，AC不是； 函数是偶函数，D不是，是奇函数，且最小正周期为，B是. 故选：B 12. 在中，为的中点，若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算表示即可. 【详解】 如图，， 故选：D. 13. 下列命题中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的性质及三角函数在上函数值的正负，再结合选项的条件，逐一分析即可得出结果. 【详解】对于A，若，则， 因为，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，则， 因为，所以，所以，故B错误； 对于C，若，则， 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则， 因为，当时，，此时，故D错误. 故选：C. 14. 在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数新定义结合辅助角公式化简函数，然后根据正弦函数的性质一一判定各个命题即可. 【详解】由题意可知：，显然该函数的值域为，即①正确； 当时，，即该函数图象关于原点对称是错误的，故②错误； 当时，，即该函数图象不关于直线对称，故③错误； 易知该函数为周期函数，其最小正周期为，故④正确. 故选：B 三、解答题（共52分） 15. 已知，. （1）求的值； （2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值. 【答案】（1）；（2）3. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式直接进行求值； （2）利用任意角的三角函数定义求得，再由两角差的正切求解的值． 【详解】（1），，， . （2）由题意，， 由（1）知，， 则． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，考查基本的运算求解能力． 16. 已知向量，满足，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得； （2）首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知， ∴， ∴； 17. 如图，某城市有一矩形街心广场，如图.其中百米，百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求. （1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由； （2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值. 【答案】（1）不符合要求，理由如下： 由题意，，， 所以 所以，不符合要求. （2），最小值为. 【解析】 【分析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解，判断是否符合要求，即可． （2），，求出，利用两角和与差的三角函数求解最值即可． 【详解】解：（1）略 （2），， 所以，， ， ， 所以，的最小值为. 【点睛】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）若函数，求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，然后由周期公式可得； （2）求出，然后由正弦函数的单调性即可求解； （3）将问题转化为函数与的图象有两个交点，数形结合可得. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 ， 由，解得， 所以函数的单调递减区间为. 【小问3详解】 由得， 当时，， 所以， 作出函数在的图象，如图： 由函数与的图象有两个交点， 得，即，即实数的取值范围为. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）． （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围； （3）已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在点 【解析】 【分析】（1）先把函数展开化简成的形式，根据相伴向量定义，得出. （2）先化简，由求出的值.再用正弦定理得到、关于角的表达式，进而得出关于角的式子，化简为.根据的范围确定的范围，找到取最值时的值，从而得到的最值，确定其取值范围. （3）本题先根据已知函数求出，进而得到点坐标，再根据、坐标得出向量与.因为，利用向量垂直性质得到等式，展开后变形得到.接着分析取值范围，得出取值范围，又知的最大值，找到使两者相等时的值，从而确定点坐标，判断是否存在满足条件的点. 【小问1详解】 所以函数的相伴向量； 【小问2详解】 由题知，由，得． 又因为，即，所以． 又因为，由正弦定理，得， 即 ，因为，所以， 所以当，即时，取得最大值1， 即的最大值为，最小值大于b边．所以的取值范围为 【小问3详解】 由（2）知，， 所以， 设，因为， 所以， 又因为，所以，所以 即，所以 因为，所以，所以， 又因为，所以当且仅当时，和同时等于， 所以在图像上存在点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $