精品解析：河南省开封市清华中学2024-2025学年高三下学期高考热点模拟测试数学试题

2025届河南开封高三高考热点模拟测试卷数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下表为2017—2023年某企业两轮电动车的年产量（单位：万辆），其中2017—2023年的年份代码分别为1—7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年产量万辆 31 33 38 44 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则的值为（ ） A. 146.5 B. 164.8 C. 179.5 D. 197.8 4. 已知向量满足，，且.若，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知为等比数列，且，，记为的前项和，则（ ） A. 127 B. 128 C. 63 D. 64 6. 已知函数是偶函数，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 7. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 8. “筝形”是指以一条对角线所在直线为对称轴的四边形.已知“筝形”ABCD以AC所在直线为对称轴，且，若点平面ABCD，且，，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立周年”为主题的知识测试，随机抽取了名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． 根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A. 这名学生成绩的极差介于至之间 B. 这名学生成绩的平均数小于中位数 C. 从名学生中随机抽取一名，其成绩不低于分的概率估计为 D. 从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于分的条件下，恰有一名学生成绩在内的概率估计为 11. 函数的部分图象如图所示，∥轴，下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. C. 在上单调递增 D. 将的图象向右平移个单位长度后得的图象，则为偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知第一象限内的点，分别在双曲线的渐近线与双曲线的渐近线上，若为坐标原点且，则两双曲线的离心率之积为______． 13. 若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是_________． 14. 某批零件的尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与8的误差不超过4即合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知，且. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若函数有两个不同的极值点，求证：． 17. 如图，在三棱锥中，，是正三角形，是的中点，是的中点，且． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，到的焦点的最大距离为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，判断点与曲线的位置关系； （3）若椭圆的右顶点为，经过点的直线与交于两点，的面积为，求直线的方程． 19. 若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”. （1）若数列为“数列”，写出所有可能的； （2）若“数列”中，，求的最大值； （3）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，记，其中表示这个数中最大的数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届河南开封高三高考热点模拟测试卷数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，再求并集即可. 【详解】，， 所以. 故选：A 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的四则运算化简得出再结合复数的几何意义得出复数对应的点确定象限即可. 【详解】 在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于在第四象限. 故选:D． 3. 下表为2017—2023年某企业两轮电动车的年产量（单位：万辆），其中2017—2023年的年份代码分别为1—7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年产量万辆 31 33 38 44 已知与具有线性相关关系，且满足经验回归方程，则的值为（ ） A. 146.5 B. 164.8 C. 179.5 D. 197.8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，又因为点在经验回归直线上，得出即可计算求解. 【详解】由表中数据得，因为点在经验回归直线上， 所以，所以. 故选：B. 4. 已知向量满足，，且.若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积关系，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】因为且，所以，且， ， ， 则，解得. 故选：A 5. 已知为等比数列，且，，记为的前项和，则（ ） A. 127 B. 128 C. 63 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得和，即可求解公比和首项，由等比求和公式即可求解. 【详解】设的公比为，由，得， 又，故.又，所以， 从而，所以，， 故选：C. 6. 已知函数是偶函数，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接由偶函数得到，化简求解即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， ， ，， ，， ，所以. 故选：C． 7. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. 【详解】 如图作垂直于准线，垂足为，可知设， 直线的斜率为得， ， 则，由勾股定理得：， 即，化简得：，解得， 再设过焦点的直线为与抛物线联立消元得： ，设交点， 则， 而， 当时，解得，此时， 当时，解得，此时， 故选：D. 8. “筝形”是指以一条对角线所在直线为对称轴的四边形.已知“筝形”ABCD以AC所在直线为对称轴，且，若点平面ABCD，且，，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在四棱锥中，连接AC，BD交于点E，过S作平面ABCD于点O，设，利用余弦定理结合，可求得，进而求得，可求体积. 【详解】在四棱锥中，连接AC，BD交于点E，过S作平面ABCD于点O， 由及直线AC为四边形ABCD的对称轴知点O在直线AC上，连接BO，DO，如图所示. 易得，因为， 所以，所以. 设，因为， 由题意可知，所以，则. 在中，. 在中，. 易得，所以， 所以.，所以， 所以，令， 则， 所以， 整理得，所以，所以， 解得或，所以或（舍去），，所以， 所以，，， ，所以. 易知平面SAC，所以四棱锥的体积. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据作差法即可求解AD,举反例即可求解B，根据不等式即可求解C. 【详解】选项A：由可得，由可得，故，故A正确． 选项B：当，时，满足，且，但，，不等式不成立，故B错误． 选项C：因为，所以，故，故C正确． 选项D：由可得，且，故，即，故D正确． 故选：ACD 10. 某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立周年”为主题的知识测试，随机抽取了名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． 根据图中数据，下列结论正确的是（ ） A. 这名学生成绩的极差介于至之间 B. 这名学生成绩的平均数小于中位数 C. 从名学生中随机抽取一名，其成绩不低于分的概率估计为 D. 从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于分的条件下，恰有一名学生成绩在内的概率估计为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据极差定义直接求解即可知A错误；根据频率分布直方图估计平均数和中位数的方法可求得B正确；根据频率分布直方图可知成绩不低于分对应的频率，知C正确；根据条件概率公式可求得D正确. 【详解】对于A，，， 这名学生成绩的极差介于至之间，A错误； 对于B，这名学生成绩的平均数； ，这名学生成绩的中位数为， 这名学生成绩的平均数小于中位数，B正确； 对于C，这名学生中成绩不低于分的学生所占比例为， 从名学生中随机抽取一名，其成绩不低于分的概率估计为，C正确； 对于D，记“从该校学生中随机抽取两名，这两名学生成绩都不低于分”为事件，“这两名学生中恰有一名学生成绩在内”为事件， 由选项C可知：，， ，D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法： （1）众数：最高小长方形底边中点对应的横坐标； （2）中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； （3）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和． 11. 函数的部分图象如图所示，∥轴，下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. C. 在上单调递增 D. 将的图象向右平移个单位长度后得的图象，则为偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象与题意可求出一条对称轴，从而求出周期，则可求出，再将代入函数中可求出的值，然后逐个分析判断. 【详解】因为∥轴，所以的一条对称轴为， 所以由图象可知，所以，所以A正确， 所以，得， 所以， 因为的图象过点，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以B正确， 所以， 由，得，则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，所以C正确， 将的图象向右平移个单位长度后得，， 所以为奇函数，所以D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知第一象限内的点，分别在双曲线的渐近线与双曲线的渐近线上，若为坐标原点且，则两双曲线的离心率之积为______． 【答案】 【解析】 【分析】双曲线的几何性质可知渐近线为，的渐近线，两者关于对称，由，可得，由离心率公式代入即可求解. 【详解】双曲线的渐近线与双曲线的渐近线， 它们关于直线对称， 因为，所以，所以， 由及，得， 所以两双曲线的离心率之积为． 故答案为： 13. 若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求的导函数，再将函数在区间上存在单调递减区间转化为在区间上有解，再根据参数分离，构造函数，结合函数在区间的单调性即可求解实数的范围． 【详解】，则， 函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解， 即在区间上有解， 又，则， 所以在区间上有解， 所以，，令，， 则， 令，则在区间恒成立， 所以在上单调递减，所以， 即，所以，所以实数的取值范围是． 故答案为：． 14. 某批零件的尺寸服从正态分布，且满足，零件的尺寸与8的误差不超过4即合格，从这批产品中抽取件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质每个零件合格的概率合格零件件数为0或1的概率判断函数的单调性求的最小值． 【详解】因为服从正态分布，， 所以，所以，所以， 所以，即每个零件合格的概率为． 因为合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1， 且合格零件件数为0或1的概率为， 所以，即． 令，所以，即， 所以在上单调递减，而，， 所以不等式的解集为，所以的最小值为4． 故答案为：4. 【点睛】方法点睛：正态曲线的特点： （1）曲线位于轴上方，与轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线对称； （3）曲线在处达到峰值； （4）曲线与轴之间的面积为1； （5）当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移； （6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2）或12 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合三角恒等变换计算；（2）运用余弦定理，结合面积公式计算即可. 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 又，，， 又，，，. 【小问2详解】 由余弦定理， 可得，解得或. 当时，的面积为； 当时，的面积为. 综上可知，的面积为或12. 16. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （2）若函数有两个不同的极值点，求证：． 【答案】（1） （2） 由（1）可知：，且，令，可得， 由函数有两个不同的极值点，等价于有2个实根， 则，解得：， 由韦达定理可得：，则， 由， 因，则，，故． 【解析】 【分析】（1）由函数在上单调递增，借助于导函数推得在上恒成立.利用参变分离法即可求得参数范围； （2）由函数有两个极值点，可推得有2个实根，利用韦达定理可将化简为，由判别式大于0即可证明. 【小问1详解】 在上连续不断，且， 由在上单调递增，因，则在上恒成立， 即在恒成立， 因在上单调递增，则， 故，即； 【小问2详解】 略 17. 如图，在三棱锥中，，是正三角形，是的中点，是的中点，且． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）取中点，连接， ，为正三角形，为中点， ，，又平面，， 平面，又平面，； ，为正三角形，为中点， ，，又平面，， 平面，又平面，， 分别为中点，，又，， ，平面，平面， 平面，； ，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，根据等腰三角形三线合一性质、平行关系和线面垂直的判定可证得平面，平面，由线面垂直性质可得，，根据线面垂直的判定定理可得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：平面，平面，两两互相垂直， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，， 即二面角的正弦值为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，到的焦点的最大距离为，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，判断点与曲线的位置关系； （3）若椭圆的右顶点为，经过点的直线与交于两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）点在曲线上 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质得，根据椭圆的定义得，求解即可； （2）椭圆方程的坐标联立椭圆方程与得解． （3）当直线的斜率不存在时不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程联立椭圆与直线的方程求两点的横坐标间的关系直线的斜率直线的方程得解． 【小问1详解】 因为到的焦点的最大距离为， 所以， 又，所以， 即，所以，解得，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知椭圆的方程为， 所以，． 因为，设， 所以， 所以，解得， 因为， 所以点在曲线上． 【小问3详解】 当直线斜率不存在时，， 则，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的斜率为， 因为直线经过点， 所以直线的方程为， 联立，消去得， 由于直线过椭圆内的点，故必有， 设，，由韦达定理得，， 所以 ． 因为为椭圆的右顶点，所以， 由点到直线的距离公式得点到直线的距离为， 所以的面积为． 因为的面积为，所以， 整理得，所以，或（舍去）， 所以， 所以直线的方程为或． 【点睛】方法点睛：设直线与圆锥曲线的交点坐标为，，为直线斜率且，则； ． 19. 若数列中且对任意的恒成立，则称数列为“数列”. （1）若数列为“数列”，写出所有可能的； （2）若“数列”中，，求的最大值； （3）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，记，其中表示这个数中最大的数，求的最小值. 【答案】（1）或或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用“数列”的定义，得到关于的不等式组，列出所有满足条件，即可得解； （2）利用“数列”的定义，推得，进而得到，解得；再取，推得符合题意，由此得解； （3）利用“数列”的定义，结合（2）中结论推得；再取特殊例子证得成立，从而得解. 【小问1详解】 依题意，因为数列1，，，7为“数列”， 则，注意到， 故所有可能的，为或或. 【小问2详解】 一方面，注意到：， 对任意的，令， 则且，故对任意的恒成立（★）， 当时，注意到， 得， 此时， 即，解得，故； 另一方面，取， 则对任意的，，故数列为“数列”， 此时，即符合题意. 综上，的最大值为. 【小问3详解】 当时， 一方面：由（★）式，， 则， 此时有 ， 故， 另一方面，当，，，，，，，时， ， 取，则，，， 且， ， 此时， 综上，的最小值为. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $