精品解析：广东省深圳市红岭中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试 高二数学 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图象在点处的切线斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是85%，乙厂产品的合格率是90%．在该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ） A. 86% B. 87% C. 88% D. 89% 3. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 4. 设随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.6 则（ ） A. 0.95 B. 0.85 C. 0.75 D. 0.65 5. 设等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 30 6. 若，则（ ） A. 28 B. 56 C. 112 D. 120 7. 函数 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．少选得部分分，多选或错选得0分，全部选对得6分． 9. 已知数列满足，记分别为数列的前项和，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 直线是曲线的切线 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记数列的前项和为，若，则_____． 13. 的展开式中的系数为_____．（用数字作答） 14. 已知函数．若，则的单调递减区间为_____；若是增函数，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）求使成立的的取值集合. 16. 图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 17. 设为坐标原点，当点在曲线上运动时，点满足，记的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知，和是上相异的两点，分别记直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点． 18. 某社团由名男生、名女生组成，现举办社团活动，要从这人中随机抽取人参加比赛，比赛共有三项，对于被抽中的人，每人参赛的情况相互独立，概率如下表所示： 参加一项的概率 参加两项的概率 参加三项的概率 女生 男生 规定：每参加项比赛，社团的积分增加分． （1）在抽取的人中至少有名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率； （2）求该社团最终的积分为分的概率； （3）若学校提出两种奖励方案，供参加比赛的社团自行选择． 方案一：每个社团奖励“参与奖”元； 方案二：对参赛的社团最终获得的积分按“积分元”的方式兑换奖金． 为使最终获得奖励金额的期望最大，该社团应选择哪种方案？并说明理由． 19. 曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．记，定义曲线在点处的曲率为． （1）比较曲线在点和处弯曲程度的大小； （2）若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在、处的曲率均为． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭中学2024—2025学年度第二学期第一学段考试 高二数学 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的图象在点处的切线斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率. 【详解】函数，求导得，则， 所以所求切线的斜率为3. 故选：D 2. 已知某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是85%，乙厂产品的合格率是90%．在该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为（ ） A. 86% B. 87% C. 88% D. 89% 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算得解. 【详解】该市场随机购买一个灯泡，是合格品的概率为. 故选：B 3. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】甲有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法，根据分步乘法计数原理计算即可． 【详解】由题意得，甲只选一门，有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法， 故不同的报名学习方式有种， 故选：C． 4. 设随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.6 则（ ） A. 0.95 B. 0.85 C. 0.75 D. 0.65 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质求出，再利用互斥事件的概率公式求解. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：A 5. 设等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出数列的公比，进而求出前4项即可. 【详解】由成等差数列，得，而，则， 等比数列的公比，则， 所以. 故选：C 6. 若，则（ ） A. 28 B. 56 C. 112 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求出，再利用组合性质求解. 【详解】由，得，解得， 所以 . 故选：B 7. 函数 的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，结合函数的特值可得结果. 【详解】由，则 当 时，，则， 所以函数在上单调递增，排除选项A，C 又 ，排除除选项B 故选： 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性以及特值是解决本题的关键．比较基础． 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再由，即可得解. 【详解】令，， 则，因为，所以，所以， 则，所以， 所以，所以在上单调递减， 所以，即，即，即， 又，， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．少选得部分分，多选或错选得0分，全部选对得6分． 9. 已知数列满足，记分别为数列的前项和，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造常数列求出数列判断A；利用等差数列前项和公式求解判断B；利用裂项相消法求和C；由单调性判断D. 【详解】对于A，数列中，由，得，因此数列是常数列， ，，A正确； 对于B，数列为等差数列，，显然是递增数列， 当时，，B错误； 对于C，，， 因此，C正确； 对于D，当时，，而数列是递增数列， 则，因此，D正确. 故选：ACD 10. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】令即可判断A，令、再解方程组，即可判断B、C，将式子两边对求导，再令，即可判断D. 【详解】因为， 对于A：令，可得，故A正确； 对于B、C：令得，， 令得，， 所以，，故B、C错误； 对于D：由， 两边对求导可得， 令可得，故D正确. 故选：AD 11. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 直线是曲线的切线 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】分段利用导数说明函数的单调性，即可判断A，令，求出的值，即可判断B，结合A判断C，令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】因为， 对于A：当时，所以在上单调递增， 当时，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则是的极大值点，故A正确； 对于B：令，解得，又， 点在直线上，所以是函数在点处的切线，故B正确； 对于C：由A可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又，，所以，则， 所以，即， 即，故C错误； 对于D：因为，所以， 令，， 则， 所以在上单调递增，又，所以恒成立， 所以当时，，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记数列的前项和为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用前项和与项的关系求出通项公式即可. 【详解】数列中，，当时，， 整理得，而，即， 因此数列是首项为2，公比为的等比数列，， 所以. 故答案为： 13. 的展开式中的系数为_____．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 由可得或， 因此，展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 已知函数．若，则的单调递减区间为_____；若是增函数，则_____． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】把代入，利用导数求出函数的单调递减区间；利用导数结合单调性列出恒成立的不等式，再由的根相等求解. 【详解】当时，函数的定义域为R， 求导得，由，得， 所以的单调递减区间为； 函数是增函数，则，恒成立， 而，因此，恒成立， 的零点满足，当且仅当的根相等时，恒成立， 因此，令，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，即有唯一解1，所以. 故答案为：；1 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）求使成立的的取值集合. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组，求出首项及公差即可. （2）由（1）的结论，求出前项和并化简不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， 由，得，整理得， 显然，则由，解得， 所以满足条件的n的取值集合为. 16. 图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 翻折前，是边长为的等边三角形， 因为，，． 由余弦定理得． 因为，所以，折叠后有． 在四棱锥中，连接，如下图所示： 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. （2）存在，且 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 翻折前，翻折后，则有，又平面， 以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 过作交于点， 设，则，，， 易知，，，所以. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得. 所以，满足，符合题意. 所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时. 17. 设为坐标原点，当点在曲线上运动时，点满足，记的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）已知，和是上相异的两点，分别记直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） 由题意点坐标适合，即点在曲线上， 若直线的斜率为时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 需满足，即， 设、，则，，  因为，， 所以， 所以，将，代入得， 即， 所以直线的方程为，即， 所以直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）设点、，根据题意得出，将点的坐标代入曲线得出，结合化简得出点的轨迹方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，设、，可得根与系数的关系式，结合化简可得参数之间的关系，进而利用直线方程求得定点坐标. 【小问1详解】 设点、，因为，即， 可得，即， 因为点在曲线上，即，即，即. 【小问2详解】 略 18. 某社团由名男生、名女生组成，现举办社团活动，要从这人中随机抽取人参加比赛，比赛共有三项，对于被抽中的人，每人参赛的情况相互独立，概率如下表所示： 参加一项的概率 参加两项的概率 参加三项的概率 女生 男生 规定：每参加项比赛，社团的积分增加分． （1）在抽取的人中至少有名男生的前提下，求有女生参加比赛的概率； （2）求该社团最终的积分为分的概率； （3）若学校提出两种奖励方案，供参加比赛的社团自行选择． 方案一：每个社团奖励“参与奖”元； 方案二：对参赛的社团最终获得的积分按“积分元”的方式兑换奖金． 为使最终获得奖励金额的期望最大，该社团应选择哪种方案？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）方案二更有利，理由如下： 对于方案二，设参加比赛的社团最后获得的奖金为，则所有可能取值为、、、、. 则， ， ， ， . 所以， 即获得的奖励金额的期望大于，故方案二更有利. 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式结合古典概型概率计算公式即可求解； （2）根据题意，“积分为分”说明“总共参加了场比赛”即“人都是男生，且都参加了三项比赛”，分步计算概率，相乘即可； （3）针对方案二，进行积分的可能取值和相应概率计算，再根据数学期望公式得到，与方案一比较即可得出结论. 【小问1详解】 根据题意，设“抽取的人至少有名男生”为事件，设“有女生参加比赛”为事件， 则，， 利用条件概率公式，可得. 【小问2详解】 根据题意，该社团最终的积分为分，说明抽取的人都是男生，且人都参加了三项比赛， 所求概率. 【小问3详解】 略 19. 曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．记，定义曲线在点处的曲率为． （1）比较曲线在点和处弯曲程度的大小； （2）若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在、处的曲率均为． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） 曲线在点处的曲率小于其在点处的曲率. 曲线在点处的弯曲程度小于其在点处的弯曲程度. （2）（i）； （ii）由得， 不妨设，由（i）可知，先证明， 即证，即证， 令，即证，构造函数，其中， 则对任意的恒成立， 所以函数在上为增函数，则， 故当时，，所以，， 由基本不等式可得，故结论成立. 【解析】 【分析】（1）根据曲率的定义可求出曲线在点、处曲率，比较大小即可； （2）（i）分析可知有两个不同的解、，参变量分离可知有两个不同的解，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围；（ii）由方程组得，设，先证，结合分析将所证不等式等价变形为即证，令，即证，构造函数，结合函数的单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 设，其中，则，， 所以，，，， 所以在点处的曲率为. 在点处的曲率为， 所以曲线在点处的曲率小于其在点处的曲率. 曲线在点处的弯曲程度小于其在点处的弯曲程度. 【小问2详解】 （i）因为，其中， 则，， 因为函数的图象上存在两个不同的点、， 使得曲线在、处的曲率均为． 即有两个不同的解、，即有两个不同的解、， 所以， 令，得，令，得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以，，作出直线与函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，即当时，直线直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $