精品解析：上海市松江一中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

松江一中2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的面积是______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用扇形面积公式求扇形面积即可. 【详解】扇形弧长为，则扇形面积为. 故答案为： 2. 已知，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用诱导公式计算可得. 【详解】解：因为，所以 故答案为：. 3. 把化成的形式，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 4. 函数的单调递增区间为______ 【答案】， 【解析】 【分析】利用正切函数的单调性，求得该函数的单调递增区间 【详解】， 令 求得 则函数的单调递增区间为， 故答案为， 【点睛】本题主要考查了三角函数单调递增区间的求解，根据正切函数的性质是解决本题的关键． 5. 在中，是的三边且满足，则角A的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【详解】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 6. 函数，的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式中被开方数非负及正弦函数性质可得答案． 【详解】由，得， 因为，所以， 所以的定义域为. 故答案为：. 7. 函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，求出函数的周期及，进而求出，再逆用五点法求出，即可得到结论． 【详解】由图象得，，即周期，即， 所以，又，所以函数的解析式为. 8. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变化规律，结合三角函数的奇偶性、诱导公式，求得的值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象， 根据所得函数为奇函数，可得 ，即，因为，令，可得， 故答案为： 9. 已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】问题化为在上单调递增，且，结合正弦函数的图象及相关性质列不等式求参数范围. 【详解】由，则， 由题意在上单调递增，且， 所以，则，故， 综上，，则，故. 故答案为： 10. 如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是________． 【答案】. 【解析】 【分析】易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分，算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案. 【详解】第一次是以为旋转中心， 以为半径旋转， 此次点走过的路径是. 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是. 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是. 故答案为:. 11. 设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出函数在，依题意时的值域包含，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】当时， 因为对于任意，都存在，使得， 所以当时的值域包含， 又， 所以，则的最小值为. 故答案为： 12. 已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定在区间上有最大值，且，因此在区间上的最大值为. 然后按在处或处取最大值分类讨论，数形结合，进而可得结果. 【详解】依题意可知，在区间上有最大值必然为，且，所以在区间上的最大值为. （1）若在处取最大值，即，解得，此时，所以适合题意； （2）若在处取最大值，即，解得，此时，所以适合题意. 综上可知，的取值集合是. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点在于确定在区间上有最大值，且，进而可得在区间上的最大值为. 二、选择题（13，14每题4分，15，16每题5分，共18分） 13. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解. 【详解】函数、的最小正周期为，AC不是； 函数是偶函数，D不是，是奇函数，且最小正周期为，B是. 故选：B 14. “”是“函数 的一个对称中心是”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件必要条件的定义，结合正切函数的性质，作出判断． 【详解】当时,此时，的图像关于中心对称， 当函数的图像关于中心对称时，，此时不一定为， 所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件. 故选：A． 15. 设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】分析得当且时，恰好取到半个周期的值，即1013个不同的值． 【详解】， 当且时，恰好取到半个周期内的值，且单调递减， 所以在半个周期内有个不同的值， 再根据对称性得在1个周期内有个不同的值， 由集合中元素的互异性得，集合中的元素个数为， 故选：B． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知、.有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P，点P的纵坐标y关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是（ ） A. 关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称 B. 关于直线成轴对称，且以2π为周期 C. 以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心 D. 夹在之间，且关于点(π,0)成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设写出在一个周期内的解析式并画出该周期的图象，数形结合判断各项的正误即可. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时； 当时，； 综上，在一个周期内的， 在一个周期内的图象如下： 由图知：以2π为周期，没有对称中心和对称轴，值域为. 故选：C 三．解答题 17. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点， （1）求的值； （2）若角满足，求的值. 【答案】（1）；（2） 或 . 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果； （2）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】（1）由角的终边过点，可得， 所以. （2）由角的终边过点，可得， 由，得. 由，得， 所以或. 18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝acos C． (1)求角A的大小； (2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据已知，利用正弦定理，求出，求出角A的大小；（2）由余弦定理的推论，求出边长c，由b=2c 求出边长b，由三角形面积公式求出面积． 试题解析：　(1)根据正弦定理，由(2b－c)cos A＝acos C， 得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A， 即2sin Bcos A＝sin(A＋C)， 所以2sin Bcos A＝sin B， 因为0<B<π，所以sin B≠0， 所以cos A＝，因为0<A<π，所以A＝. (2)因为a＝3，b＝2c，由(1)得A＝， 所以cos A＝＝＝， 解得c＝，所以b＝2. 所以S△ABC＝bcsin A＝×2××＝. 19. 一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且． （1）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】（1）； （2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可，即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【小问1详解】 在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即； 当点 在点 时，角 最小，此时 ； 当点 在点 时，角 最大，此时 ； 故此函数的定义域是 . 【小问2详解】 由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可， 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 20. 已知的最小正周期为. （1）化简函数的表达式，并求出的值； （2）若不等式在上有解，求实数m的取值范围； （3）将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可得到结果； （2）由正弦型函数的单调性，即可得到，再将不等式化简，代入计算，即可得到结果； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求得λ的取值范围. 【小问1详解】 依题意， 又因为的最小正周期为，则，即， 所以. 【小问2详解】 当时，，则， 所以，即， 因为不等式在上有解， 即在上有解， 即，即. 【小问3详解】 由（2）及已知，，因为偶函数， 则， 解得，又，即有，， 于是， 由可得，， 而函数的周期， 依题意，对于在上 均有不少于6个且不多于10个根，则有，即，解得， 所以正实数λ的取值范围是. 21. 定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． （1）记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； （2）记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）写出解析式，解方程即可； （2）由题意求得，可分类讨论去掉绝对值符号，并化简函数式，然后作出函数的图象，结合函数图象可得结论； （3）写出，利用辅助角公式得出（的值），然后利用二倍角的正切公式、商数关系化简函数式，利用函数单调性和不等式的性质得出其取值范围． 【小问1详解】 由题意，，， ， 又，所以或，即所求集合为； 【小问2详解】 由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，， 由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； 【小问3详解】 由题意，其中，， 易知时，， ， ，同理， ， ， 时，函数是增函数，因此， 从而，即． 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是利用新定义“伴随函数”得出函数的表达式，然后利用三角函数性质求解．对于函数一般借助辅助角公式进行变形，即，其中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江一中2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的面积是______ 2. 已知，则_____________. 3. 把化成的形式，则_________． 4. 函数的单调递增区间为______ 5. 在中，是的三边且满足，则角A的大小为______. 6. 函数，的定义域为__________. 7. 函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为________． 8. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则__________. 9. 已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是________． 10. 如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是________． 11. 设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为______. 12. 已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是___________. 二、选择题（13，14每题4分，15，16每题5分，共18分） 13. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ） A. B. C. D. 14. “”是“函数 的一个对称中心是”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 15. 设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（ ） A. 1012 B. 1013 C. 2023 D. 2024 16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知、.有一封闭图形ABCDEF，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC、CD、EF、FA.角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P，点P的纵坐标y关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是（ ） A. 关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称 B. 关于直线成轴对称，且以2π为周期 C. 以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心 D. 夹在之间，且关于点(π,0)成中心对称 三．解答题 17. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点， （1）求的值； （2）若角满足，求的值. 18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝acos C． (1)求角A的大小； (2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积． 19. 一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且． （1）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 20. 已知的最小正周期为. （1）化简函数的表达式，并求出的值； （2）若不等式在上有解，求实数m的取值范围； （3）将函数图像上所有的点向右平移（）个单位长度，得到函数，且为偶函数.若对于任意的实数a，函数，与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围. 21. 定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． （1）记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； （2）记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $