精品解析：广东省广州市天河中学2024-2025学年高二下学期期中基础考试数学试卷

广州市天河中学高中部2024学年第二学期基础考试 高二数学试卷 命题人：段贵胜 审题人：聂迎青 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，共40分． 1. 曲线在处的切线经过点，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求导，由导数几何意义得到函数在处的切线斜率，结合两点间斜率公式得到方程，求出实数的值. 【详解】，由导数几何意义知， 在处的切线斜率为， 当时，切线经过点，故有，解得. 故选：C． 2. 已知等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列通项公式及前n项和公式结合，可得，又，据此可得答案. 【详解】设等比数列的公比为q，， 则， 故 故选：D （选择性必修二教参P152第5题改编） 3. 已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由已知，函数的定义域为，所以， 由在定义域内单调递减，所以在上恒成立， 即，可转化为在上恒成立，所以． 因为，所以，所以． 因此实数的取值范围是． 故选：D． （选修性必修三P27第7题改编） 4. 如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. 96 B. 144 C. 480 D. 600 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可. 【详解】第一步涂陕西有4种选择，第二步涂湖北有3种选择，第三步涂安徽有3种选择，第四步涂江西有2选择，第五步涂湖南有2种选择， 所以共有种涂色方案. 故选：B （2023山东烟台月考卷试题改编） 5. 已知，该函数在时有极值0，则（ ） A. 4 B. 7 C. 11 D. 4或11 【答案】C 【解析】 【分析】根据和求出的值，再检验是否在处取极值即可. 【详解】容易得， 因在处取极值， 则且， 解得或， 当时，， 则在上单调递增，则无极值，不符合题意； 当时，， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极小值，符合题意， 故，则. 故选：C （创新新设P26训练2改编） 6. 从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算即可. 【详解】从5，6，7，8，9中任取两个不同的数有种取法。 事件A=“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：共4种取法，故， 事件B=“取到的两个数均为偶数”所包含的基本事件有共1种取法， 故，所以. 故选：C. 7. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 8. 函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可构造函数，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，结合，即可求得答案. 【详解】令，则， 由于当时，，故此时， 则在上单调递减， 由于函数是定义在上的奇函数， 则，即为上的偶函数， 则在上单调递增， 而，故， 故当或时，，当或时，， 由可得或，解得或， 故不等式的解集为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，并得出其单调性、奇偶性，由此即可顺利得解. 二、多选题：本大题共3小题，共18分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答. 【详解】因，则，A正确； 展开式的通项，，当为奇数时，，当为偶数时，， 则，B正确； ，而，则，C不正确； ，而，则，D正确. 故选：ABD （2025湖南省单元测） 10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 D. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解可判断A；先把5人分为4个组再安排到4项工作求解可判断B；利用分类加法计数原理求解可判断C；利用分类加法计数原理求解可判断D. 【详解】对于A，若每人都安排一项工作，则每人选择一项工件有4种选法， 所以不同的方法数为种，故A正确； 对于B，若每项工作至少有1人参加，则有一项工作有2人，其余3项工作各1人， 先将5人分成4个组种分法，再安排这4个组的人各负责一项工作有种， 由分步计数原理有，故B错误； 对于C，因为每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作， 故需从丙、丁、戊中选1人或2人从事司机工作， 若安排丙、丁、戊中1人从事司机工作有，若安排丙、丁、戊中2人从事司机工作有， 故不同安排方案的种数是，故C正确； 对于D，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人， 把5名同学分按3，1，1分组安排有种安排方法， 把5名同学分按2，2，1分组安排有种安排方法， 故这5名同学全部被安排的不同方法数为种，故D错误. 故选：AC. 11. 在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. C. 曲线关于点对称 D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.根据函数在点处的切线经过点，利用点斜式求解判断；B.根据的图象过点及，设(其中)，然后再利用，求解判断；C.由B得到判断；D. 由B结合，有，判断. 【详解】因为直线的斜率为，所以的方程为，即，所以A正确. 因为的图象过点及，所以有两个零点0，4，故可设(其中)，则，由，，得，，所以，故B正确. 由选项B可知，，所以曲线关于点对称，故C正确. 当时，有，，所以，故D不正确. 故答案为：ABC. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的性质，还考查了运算求解能力，属于中档题. 三、填空题：本大题共3小题，共15分． （选修性必修二P41综合应用第7题改编） 12. 数列满足，首项为，则数列的通项公式________． 【答案】 【解析】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】因为，所以， 则数列是以为首项，以1为公差的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 13. 若直线与函数的图象相切，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用导数的几何意义即可求得答案. 【详解】由题意，可得， 因为直线与函数的图象相切，故设切点为， 则，故，则， 故， 故答案为：1 （选择性必修二教参P152第8题改编） 14. 已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，得，，令，利用导数得到函数的单调性与极值，即可求解. 【详解】由函数在区间上有两个零点，令， 即，得，. 记，，则. 当时，当时， 由此可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，，且当时，. 要使得在上有两个零点，则， 则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共8小题，共77分． （选修性必修三P38第5题改编） 15. 已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为． （1）求和的值及展开式中项的系数； （2）求的展开式中的常数项． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）二项式系数和为即可求出，再令可得各项系数和，即可求出，写出展开式的通项，利用通项求出项的系数； （2）由，利用（1）中的通项计算可得. 【小问1详解】 因为的展开式中所有项的二项式系数和为，所以，解得； 所以，令可得，解得； 所以展开式的通项为：， 令，解得， 所以项的系数为； 【小问2详解】 ， ①当即时，； ②当即时，； 所求的常数项为． （原创题） 16. 已知数列的前项和为，． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）数列的前项和为，，， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 所以，所以， 所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列， 所以，所以， ， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据化简结合等比数列定义证明，再结合等比数列前n项和公式分组求和计算求解； （2）先应用对数运算律化简，再应用错位相减法计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 设数列的前项和为， ， ， ， ， ， ， 所以. 17. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 【答案】（1）V（r）=（300r﹣4r3） （0，5） （2）当时，函数为增函数；当，函数为减函数.当时该蓄水池的体积最大 【解析】 【分析】（1）先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积，进而得出总造价，依条件得等式，从中算出，进而可计算，再由可得；（2）通过求导，求出函数在内的极值点，由导数的正负确定函数的单调性，进而得出取得最大值时的值. 【详解】（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元 ∴蓄水池的总建造成本为元 所以即 ∴ ∴ 又由可得 故函数的定义域为 （2）由（1）中， 可得（） 令，则 ∴当时，，函数为增函数 当，函数为减函数 所以当时该蓄水池的体积最大 考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数. 18. 已知函数，，. （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. （2）. 【解析】 【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得. （2）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在，上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. 【小问2详解】 由，得， 由，得，当时，不等式显然成立， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增，则； 当时，设， 则方程有两根，，于是， 当时，，则，在上单调递减， 又，则当时，，不满足条件， 所以的取值范围是. （选修性必修二P104拓广探索第19题改编） 19. 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）已知函数有两个零点，， ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）①； ②证明如下： 由①知，，则， 要证明，即证明， 不妨设， 因为，所以， 又，函数在上单调递增， 此时需证明， 当，时， 可得， 因为，即证明， 设，函数的定义域为， 则 ， 所以在单调递增，则， ，所以， 所以， 即，命题得证. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程； （2）①首先判断函数的单调性，以及极值，根据函数的零点个数判断，再通过构造函数，根据函数的单调性，以及零点，求解不等式的解集；②根据函数的单调性，转化为证明，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 当时，， 则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ①函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，在上单调递增，所以不可能有2个零点； 当时，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，当时，， 所以要满足函数有2个零点，只需， 即， 整理得， 设，函数的定义域为， 则，所以在定义域上单调递增， 且，则不等式的解集为， 所以的取值范围为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市天河中学高中部2024学年第二学期基础考试 高二数学试卷 命题人：段贵胜 审题人：聂迎青 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，共40分． 1. 曲线在处的切线经过点，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. （选择性必修二教参P152第5题改编） 3. 已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （选修性必修三P27第7题改编） 4. 如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ） A. 96 B. 144 C. 480 D. 600 （2023山东烟台月考卷试题改编） 5. 已知，该函数在时有极值0，则（ ） A. 4 B. 7 C. 11 D. 4或11 （创新新设P26训练2改编） 6. 从5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则（ ） A. B. C. D. 7. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 8. 函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. （2025湖南省单元测） 10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 D. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 11. 在直角坐标系内，由，，，四点所确定的“型函数”指的是三次函数，其图象过，两点，且的图像在点处的切线经过点，在点处的切线经过点.若将由，，，四点所确定的“型函数”记为，则下列选项正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. C. 曲线关于点对称 D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，共15分． （选修性必修二P41综合应用第7题改编） 12. 数列满足，首项为，则数列的通项公式________． 13. 若直线与函数的图象相切，则__________. （选择性必修二教参P152第8题改编） 14. 已知函数在区间上有两个零点，则的取值范围是________． 四、解答题：本大题共8小题，共77分． （选修性必修三P38第5题改编） 15. 已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为． （1）求和的值及展开式中项的系数； （2）求的展开式中的常数项． （原创题） 16. 已知数列的前项和为，． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和． 17. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 18. 已知函数，，. （1）讨论的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. （选修性必修二P104拓广探索第19题改编） 19. 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）已知函数有两个零点，， ①求实数的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $