精品解析：广东省东莞市万江中学等三校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题

2024-2025学年度第二学期期中三校联考 高二数学 命题人：东莞市万江中学 廖建文 审题人：东莞市万江中学 黄坚仕 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上. 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 第Ⅰ卷（非选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据常用函数的求导公式和复合函数的求导法则即可判断. 【详解】对A，，正确； 对B，，错误； 对C，，错误； 对D，，错误. 故选：A. 2. 3名同学选报4门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】有题意可知每个同学有4种不同的选法，按照分步计数原理相乘即可. 【详解】解：因为每个同学可自由选择一门，所以每个同学有4种不同的选法，所以共有种不同的选择种数. 故选：B 3. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. 120 D. 210 【答案】B 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以展开式中的系数是. 故选：B 4. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】因为随机变量的分布列为， 所以 ， 故选：D 5. 气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB，由题得，化简即得解. 【详解】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB， 由题得, 所以, 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6. 函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 为函数的极小值点 D. 为函数的极大值点 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数图象确定原函数的单调性，逐项分析即可求得结论． 【详解】由图象知，不妨设导函数与x轴负半轴的交点横坐标为， 当或时，，当或时，， 故函数在单调递减，在单调递增， 故为极小值点，2为极大值点，对照选项，故A,B,C错误,D正确. 故选：D． 7. 今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 【答案】C 【解析】 【分析】结合二项式展开式，求得正确答案. 【详解】由已知可得： 即8100除以7后余数为1，因为经过7天后还是星期二，所以经过8100天后是星期三. 故选：C． 8. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设g（x）＝，根据已知条件可得函数在定义域上单调递减，从而将不等式转化为的解集，从而可得出答案. 【详解】解：设＝， 则＝， ∵，∴， ∴，∴y＝g（x）在定义域上单调递减， ∵ ∴＝， 又＝， ∴， ∴， ∴的解集为． 故选：A． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标. 【详解】依题意，令，解得 ， 故点的坐标为和， 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有24种报名方法 B. 4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有64种不同结果 C. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有24种报名方法 D. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有24种报名方法 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查分步计数原理，其中C选项是部分平均分组再分配，列出式子即可. 【详解】4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每个同学都有3种情况，共有种，所以A错误； 4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，每个冠军有4种情况，则这三个项目的冠军共有种，所以B正确； 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，可以1,1,2部分平均分组再分配，种，所以C错误； 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，跑步项目有4种，跳高由3种，跳远有2种，根据分步乘法原理，可得一共种，所以D正确. 故选：BD 11. 关于函数，下列判断正确的有（ ） A. 在处的切线平行于轴 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得恒成立 D. 对于两个不相等的正实数，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题先求导分析的单调性与极值，再对各选项逐一验证：A 通过求导判断处切线斜率；B构造，利用导数判断单调性并结合零点存在定理；C 转化为​恒成立，分析右侧函数值域；D 由推出，再结合在上的单调性得证． 【详解】，则， 对于A，在处的切线斜率为，所以在处的切线平行于轴，A正确； 对于B，，则 ， 所以函数在上单调递减， 且，， 所以函数有且只有1个零点，B正确； 对于C，若，可得， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递减，函数无最小值， 所以不存在正实数，使得成立，C错误； 对于D，由，得， 时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，且， 令，， ， 所以在单调递减， 所以，即， 所以， 又，，在单调递增， 所以，即， 又在单调递增， 所以，D正确． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则n!＝___． 【答案】6 【解析】 【分析】由求得，由此求得. 【详解】∵， ∴，即n（n﹣1）＝， 由题意可得，，解得n≥2且n∈N*， ∴n﹣1＝，解得n＝3． ∴n!＝3×2×1＝6． 故答案为：6． 13. 甲和乙两个箱子里各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过2，从甲箱子中摸出1个球；如果点数超过2，从乙箱子中摸出1个球，则摸到红球的概率为______________． 【答案】 【解析】 【分析】结合古典概型概率计算、相互独立事件概率计算，求得摸到红球的概率. 【详解】掷一枚质地均匀的骰子，点数不超过2的概率为，从甲箱子摸到红球的概率为， 掷到点数超过2的概率为，从乙箱子摸到红球的概率为， 故摸出红球的概率P＝＝． 故答案为： 14. 已知，分别是函数和的零点，且，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】求，判断函数在上的单调性，根据函数零点及单调性可得，化简可得的值. 【详解】由题意可得，， 又，当时，，所以在上单调递减， 因为，，且， 又，所以，所以． 故答案为：1. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19各17分，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为， （2）最小值为，最大值为40 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后通过导数的正负可求出函数的单调区间， （2）由（1）可得在上递减，在上递增，然后求出，进行比较可求出函数的最值 【小问1详解】 的定义域为，， 令，解得， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 故的单调递减区间为，单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）得，当在区间上变化时，的变化情况如下表所示. 4 5 0 ＋ 40 单调递减 单调递增 所以函数在区间上的最小值为，最大值为40. 16. 在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解． 条件①：第3项与第7项的二项式系数相等； 条件②：只有第5项的二项式系数最大； 条件③：所有项的二项式系数的和为256． 问题：在的展开式中，_____． （1）求的值； （2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有项的系数的和． 【答案】（1）任选条件①②③：； （2）1． 【解析】 【分析】（1）选①，则由计算出.选②，则由第项的二项式系数最大求得.选③，则由求得. （2）化简展开式的通项公式，根据其常数项为求得，利用赋值法求得展开式中所有项的系数的和. 【详解】（1）选①：因为，所以n＝8； 选②：因为只有第5项的二项式系数最大，所以，则n＝8； 选③：因为所有项的二项式系数的和为256，则2n＝256，则n＝8； （2）二项式的展开式的通项公式为， 令，解得r＝6， 所以展开式的常数项为，得a2＝4， 又a＞0，所以a＝2， 令x＝1可得展开式的所有项的系数和为． 17. 记，为的导函数.若对，，则称函数为D上的“凸函数”.已知函数，. （1）若函数为上的凸函数，求a的取值范围； （2）若函数在上有极值，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数以及，由题意可得，令，利用导数判断其单调性，即可求得答案； （2）函数在上有极值，即在上有变号零点， 转化为在上有解，构造函数，利用导数判断其单调性，求出函数的值域，即可求得答案. 【小问1详解】 由，得，， 由于函数为上的凸函数，故， 即，令，则， 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故， 故a的取值范围为； 【小问2详解】 由，得， 函数在上有极值，即在上有变号零点， 即在上有解， 令， 令，则， 即在上单调递增， 且当x无限趋近于1时，无限接近于-1，， 故存在，使得， 且时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，由于， 故，， 而在时单调递减，故， 故，即a的取值范围为. 18. 在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A，B，C三首不同曲目中任选一首. （1）求甲、乙两班选择不同曲目的概率； （2）设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列. 【答案】（1） （2）X的分布列为： 【解析】 【分析】由题意可得从三首不同曲目中任选一首的选法，甲、乙两班选择不同的曲目的概率;(2)由题意可得的可能取值为1，2，3，利用概率公式求得分布列. 【小问1详解】 在我校歌咏操比赛中，甲班、乙班均可从A、B、C三首不同曲目中任选一首，共有种选法， 甲、乙两班选择不同的曲目共有种选法， 所以甲、乙两班选择不同曲目的概率为. 【小问2详解】 依题意可知，X的可能取值为1，2，3 ， ， ， ∴X的分布列为： 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若恒成立，求a的值； （3）求证：对任意正整数，都有（其中e为自然对数的底数）. 【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是和 （2） （3） 由（2）可知：，（当且仅当时等号成立）. 令，则，（，3，4…，n）. ∴ ， 即， 也即， 所以， 故对任意正整数，都有. 【解析】 【分析】(1)对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性即可求解； (2)将不等式等价转化为对恒成立，令，对进行分类讨论，使得即可求解； (3) 利用，（当且仅当时等号成立）对进行放缩裂项，进而即可证明. 【小问1详解】 的定义域为， ， 令得或， 当时，；当时，；当时，， ∴的单调增区间是，单调减区间是和. 【小问2详解】 由，得对恒成立. 记，， 1°若，则恒成立，在上单调递减， 当时，，不符合题意. 2°若，令，得， 当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴. 记，. 令得， 当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增. ∴，即（当且仅当时取等号）， ∴.又因为，故. 【小问3详解】 略 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中三校联考 高二数学 命题人：东莞市万江中学 廖建文 审题人：东莞市万江中学 黄坚仕 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上. 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 第Ⅰ卷（非选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 3名同学选报4门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 3. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. 120 D. 210 4. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 5. 气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为 A. B. C. D. 6. 函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递增 C. 为函数的极小值点 D. 为函数的极大值点 7. 今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（ ） A. 星期一 B. 星期二 C. 星期三 D. 星期四 8. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有24种报名方法 B. 4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有64种不同结果 C. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有24种报名方法 D. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有24种报名方法 11. 关于函数，下列判断正确的有（ ） A. 在处的切线平行于轴 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得恒成立 D. 对于两个不相等的正实数，若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则n!＝___． 13. 甲和乙两个箱子里各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过2，从甲箱子中摸出1个球；如果点数超过2，从乙箱子中摸出1个球，则摸到红球的概率为______________． 14. 已知，分别是函数和的零点，且，，则______． 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19各17分，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解． 条件①：第3项与第7项的二项式系数相等； 条件②：只有第5项的二项式系数最大； 条件③：所有项的二项式系数的和为256． 问题：在的展开式中，_____． （1）求的值； （2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有项的系数的和． 17. 记，为的导函数.若对，，则称函数为D上的“凸函数”.已知函数，. （1）若函数为上的凸函数，求a的取值范围； （2）若函数在上有极值，求a的取值范围. 18. 在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A，B，C三首不同曲目中任选一首. （1）求甲、乙两班选择不同曲目的概率； （2）设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若恒成立，求a的值； （3）求证：对任意正整数，都有（其中e为自然对数的底数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $