精品解析：河北省邯郸六校联考2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学（人教版）试题 内容与范围：选必二 第五章、选必三 第六章至第七章第四节 全卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中，的系数为 A. B. C. D. 3. 在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 5. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 随机变量的分布列如下，且，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 7. 袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则，且取出一红一蓝的概率为，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则（   ） A. 函数的图象关于原点对称； B. 函数的图象关于轴对称； C. 函数为单调减函数； D. 曲线在点处的切线斜率为； 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 被8整除的余数为1 D. 精确到的近似数为 11. 已知某签盒内有2支不同的礼物签、6支不同的问候签，某寝室8位室友不放回地从该签盒中依次抽签，直到2支礼物签都被取出．记事件Ai表示“第i次取出的是礼物签”，，则下列结论正确的是（ ） A. A1和A2是互斥事件 B. C. A2与A5不相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的有理项个数为______. 13. 个人站成一排，其中甲站排头或排尾的条件下，乙、丙不相邻的概率为________. 14. 任意时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）解不等式； （2）计算：；（结果用数字表示） 16. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍. （1）求n的值； （2）求的展开式中的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 17. 某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化､科技､体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立. （1）求乙同学总得分为40分的概率； （2）用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望； （3）判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大. 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，若函数在上为增函数，求实数a的取值范围. 19. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. （1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ （2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中考试 高二数学（人教版）试题 内容与范围：选必二 第五章、选必三 第六章至第七章第四节 全卷满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义对函数求导代入计算即可. 【详解】易知， 所以. 故选：A. 2. 的展开式中，的系数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为展开式中，，的系数分别为，所以的展开式中，的系数为,故选B. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 3. 在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，则，且彼此互斥，然后根据条件依次得到、、、、、的值，然后根据全概率公式公式求解即可. 【详解】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区， 记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区， 则，且彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 . 故选：A. 4. 男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 36 B. 72 C. 144 D. 288 【答案】B 【解析】 【分析】先求出第一排有2名男生，1名女生，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数. 同理可得，第一排有1名男生，2名女生，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即可得出答案. 【详解】若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站中间， 不同的排法种数为； 同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法种数为. 根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为. 故选：B. 5. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，独立事件的概率公式即可求解. 【详解】, 即，解得. 故选：D. 6. 随机变量的分布列如下，且，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质和期望可求，，从而可求方差. 【详解】根据题意可得解得 ． 故选:C． 7. 袋中有2个红球，m个蓝球和n个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X，则，且取出一红一蓝的概率为，若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式，结合超几何分布的数学期望计算可得，再根据概率公式计算取出一蓝一绿的概率即可 【详解】， ， 故，故，即， 解得，所以.故若有放回地任取2个球， 则取出一蓝一绿的概率为 故选：B 8. 已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，结合题意利用导数计算可得该函数单调性，即可将不等式转化为，从而得到，即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，即在上单调递减， 由，则，又， 即不等式等价于， 即，即有，解得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，，则（   ） A. 函数的图象关于原点对称； B. 函数的图象关于轴对称； C. 函数为单调减函数； D. 曲线在点处的切线斜率为； 【答案】AD 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义可判断AB选项；举反例可判断C选项；利用求导法则求导函数，再计算可判断D选项. 【详解】定义域为，关于原点对称， 又，得， 所以函数为奇函数，故正确，错误； ，故不是减函数，故C错误； 又，所以，故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 被8整除的余数为1 D. 精确到的近似数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】逆用二项式定理计算可判断A项，运用赋值法，令，求解可判断B项，由，结合二项式定理计算可判断C项，，结合二项式定理计算可判断D项. 【详解】对于A项，由二项式定理可知，故A项正确； 对于B项，令得①，令得②， 所以①②可得，故B项正确； 对于C项，， 由此可得被8整除的余数为，故C项错误； 对于D项， ， 所以精确到的近似数为，故D项正确. 故选：ABD. 11. 已知某签盒内有2支不同的礼物签、6支不同的问候签，某寝室8位室友不放回地从该签盒中依次抽签，直到2支礼物签都被取出．记事件Ai表示“第i次取出的是礼物签”，，则下列结论正确的是（ ） A. A1和A2是互斥事件 B. C. A2与A5不相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A选项根据题意计算，判断B选项根据题意计算，，利用相互独立事件及条件概率的计算公式判断C，D选项. 【详解】显然事件A1和事件A2可能同时发生，故A错误； 由题意知，故B正确； ，， 显然，A2与A5不相互独立，故C正确； 又，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的有理项个数为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据二项式的展开式通项分析求解即可. 【详解】的展开式通项为， 由可得. 故答案为：3. 13. 个人站成一排，其中甲站排头或排尾的条件下，乙、丙不相邻的概率为________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据题目求出甲站排头或排尾以及甲站排头或排尾且乙、丙不相邻的方法个数，再利用条件概率公式直接求解即可. 【详解】由题知，甲站排头或排尾的方法有种， 甲站排头或排尾且乙、丙不相邻的方法有种， 所以甲站排头或排尾的条件下，乙、丙不相邻的概率为. 故答案为： 14. 任意时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】同构变形得到，令，故，由单调性得到不等式，故，令，，求导，得到函数单调性和最小值，从而得到，得到答案. 【详解】， 令，则，故， ，故在R上单调递增， 所以，又，故， 令，， ，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在上取得极小值，也是最小值， 其中，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）解不等式； （2）计算：；（结果用数字表示） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于的不等式，可解出的可能取值，再结合排列数公式可解出的值； （2）利用组合数的运算性质可得出所求代数式的值. 【详解】（1）对于不等式，有，可得， 因为，所以， 即，可得，解得. 又因为，解得； （2）由题意可知： . 16. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍. （1）求n的值； （2）求的展开式中的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的关系求解即可. （2）根据二项式展开式的通项公式求得常数项即可. （3）设第项的系数的绝对值最大，列出不等式组，解出即可. 【小问1详解】 依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍， 即，即，解得. 【小问2详解】 二项式展开式的通项公式为， 令，解得，故常数项为. 【小问3详解】 设第项的系数的绝对值最大， 则，即，解得且，则， 所以系数的绝对值最大值的项为第7项. 17. 某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化､科技､体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立. （1）求乙同学总得分为40分的概率； （2）用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望； （3）判断甲乙两名同学谁获得冠军的概率大. 【答案】（1） （2）分布列： 0 20 40 60 数学期望为 （3）甲获胜概率更大 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式即可求出； （2）依题可知，，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望； （3）分别求出甲和乙获胜概率进行比较即可. 【小问1详解】 设三个项目乙获胜的事件分别为，乙同学总得分40分记为事件， 则，且 . 【小问2详解】 由题可知 甲总得分的分布列： 0 20 40 60 . 【小问3详解】 甲获胜的概率为， 乙获胜的概率为， 因为， 所以甲获胜概率更大. 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设函数，若函数在上为增函数，求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， （2） 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；（2）由题可得函数在上为增函数，在上恒成立，再利用导数求函数的最值即可. 【小问1详解】 由题意得，， 当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得， ，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 【小问2详解】 因为函数在上为增函数， 所以，在上恒成立． 即在上恒成立． 令，当时，， 所以，在上单调递增，． 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为． 19. 某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. （1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励； 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ （2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 【答案】（1）方案一 （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可； （2）根据全概率公式及条件概率公式即可得解. 【小问1详解】 若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，，， 所以， 若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则； 则，， ， 所以 因为，故选择方案一比较合适 【小问2详解】 设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，， 则，，， 所以， 故， 所以所求概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $