精品解析：北京交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年北京交大附中高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故选：B 2. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得，，，将其代入即可求解. 【详解】由，得，，，代入原式得． 故选：A 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用向量的夹角公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4. 已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周长和面积列方程组求得扇形的半径和弧长，代入求角公式即可得解. 【详解】设扇形的半径为r，所对弧长为l，则有解得故． 故选：A 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：若，则，故不充分； 当时，无意义，故不必要， 故选：D 6. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数周期，再由函数平移的性质结合余弦函数的诱导公式可得. 【详解】函数周期，所以函数的图象向右平移个周期可得. 故选：D 7. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由与垂直求出，再求出的坐标，利用坐标的模长公式可得答案. 【详解】由已知得，；由与垂直得，， 即，可得. 因为，所以. 故选：A. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 C. ，都有 D. 函数的单调递减区间为， 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解. 【详解】由图知，，即， 所以，由题意，根据为下降零点， 则，则， 又因为，所以， 所以的解析式为：， 对A，，故A正确； 对B，将的图象向右平移个单位，得的图象，故B错误； 对C，由三角函数的性质知，，所以，都有，故C正确； 对D，由，得， 所以函数的单调递减区间为，故D正确. 故选：B. 9. 关于函数，下列选项正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 在区间上单调递减 C. 的最小值为2 D. 在区间上有两个零点 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦函数的性质和函数奇偶性的定义验证选项A；利用导数判断函数在区间内的单调性判断选项B；特殊值法检验选项C；分段讨论去绝对值求零点判断选项D. 【详解】由得，的定义域为，关于原点对称， 由，则为偶函数，故A不正确； 当时，，， 因为，所以，，，所以， 所以在区间上单调递增，故B不正确； 因为，故C不正确； 当时，，，此时无零点； 当时，函数无意义； 当时，，，此时无零点； 当时，函数无意义； 当时，，， 令，得，得，得； 当时，函数无意义； 当时，，，此时无零点； 当时，函数无意义； 当时，，， 令，得，得，得， 综上所述：在区间上有两个零点和，故D正确． 故选：D． 【点睛】方法点睛： 求函数在区间内的零点个数，由函数解析式中含绝对值，根据角的正负和角所在的象限，分类讨论，去掉绝对值，通过求值域最值或解方程，判断零点是否存在. 10. 如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（ ） ①； ②； ③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则； ④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是 A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可判定①，由线性运算及数量积运算可判定②，根据平面相机本定理可判定③，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可判定④. 【详解】对于①，由题意，，，， 故，正确； 对于②，，错误； 对于③，， ， ， 因为E，O，F三点共线，所以， 即，解得，，错误； 对于④，以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， ，，， 设，， 因为， ， 所以，， 所以当时，有最小值为；当时，有最大值为， 即的取值范围是，正确； 故选：A 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知向量 ，则 _____. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合数量积运算计算求解. 【详解】因为向量  ，则 ， 所以. 故答案为：1. 12. 已知，则______；若且，则的取值为______. 【答案】 ①. ②. 0，， 【解析】 【分析】先化简，接着将代入即可求解；令结合即可求出的取值. 【详解】由题 ， 故， 令，即， ， 或， 即或，又， 所以. 故答案为：； 13. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域． 【详解】， 则，解得， 所以， 即函数的定义域为. 故答案为： 14. 梯形中，已 （1）______ （2）若点分别是边上的动点，则的最大值是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算即可求解；设，，，，求出的坐标，由平面向量数量积的坐标运算，结合一次函数的最值的求法，即可求解． 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，所以，， 则. 设，，，， 因为，，，， 则，， 则，因为，则， 当且仅当，时取等号，即的最大值是 故答案为：，. 15. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是______. ①每一个直角三角形的面积为 ② ③ ④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据大小正方形的面积可得边长，由锐角三角函数以及边角关系可求，且，，进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，逐个命题判断即可. 【详解】对于①，4个直角三角形的面积之和为，故每个直角三角形的面积为，故①正确； 对于②③，由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2，可得， ，由于，互余，所以，，所以，故②错误，③正确； 对于④，因为，，且，， 所以， 故，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在平面直角坐标系中，已知向量. （1）求的值； （2）求的值； （3）求值； （4）求的值. 【答案】（1）2 （2） （3）5 （4） 【解析】 【分析】1由已知可得：，则，然后求解即可； （2），然后分子分母同时除以求解即可； （3），然后分子分母同时除以求解即可； （4），然后分子分母同时除以求解即可． 【小问1详解】 已知向量， 则，则，则，故； 【小问2详解】 ，分子分母同时除以可得： ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 17. 已知函数. （1）填写表格，并用“五点作图法”在平面直角坐标系上作出函数在上的图象； 0 x 1 0 （2）直接写出它的对称轴和对称中心； （3）设，求不等式的解集. 【答案】（1） 因为， 0 0 1 0 0 画出函数在上的图象如下所示： （2）对称轴为，，对称中心为，. （3）， 【解析】 【分析】（1）根据五点作图法完善表格，画出函数图象； （2）由正弦函数的性质计算可得； （3）由，结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 令，，则，， 所以的对称轴为，， 令，，则，， 所以的对称中心为，； 【小问3详解】 由，可得，， 解得，， 故不等式的解集为，. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求函数的最小值，并求取最小值时x的集合； （3）求函数的单调增区间； （4）求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2）最小值为，x的取值集合为 （3）单调递增区间为 （4） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角及辅助角公式进行化简，再结合正弦函数的周期公式求解. （2）结合正弦函数的最值及取得最值的条件求解. （3）结合正弦函数的单调性求解. （4）结合正弦函数最值及取得最值的条件求解． 【小问1详解】 依题意，， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 当，即时，函数取得最小值， 此时x的取值集合为； 【小问3详解】 由，得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问4详解】 当时，，，， 因此，所以函数的值域为. 19. 已知向量，函数. （1）求并化简； （2）已知在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在， 条件①：； 条件②：当时，取到最小值； 条件③：. （i）求的值； （ii）若函数在区间上单调递减，求实数m的最大值； （3）当时，在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）若选条件①：由（1）知，， 因为是图象的对称轴，所以，不可能满足， 因此不可能选择条件①； 若选条件②：因为在区间上单调递增， 且是图象的对称轴，当时，取到最小值， 所以周期，且， 又，所以，所以， 所以，，即，， 因为，所以 若选条件③：因为在区间上单调递增， 且是图象的对称轴，， 而，所以区间恰为函数的半个周期，即， 又，所以， 因为是图象的对称轴，所以， 所以，，即，， 因为，所以 （ii）； （3） 【解析】 【分析】（1）结合向量数量积的坐标运算法则与三角恒等变换公式，化简求解即可； （2）（i）若选条件①：根据题意可得，不可能满足； 若选条件②或③：先求得函数的最小正周期，从而知的值， 再利用，求出的值即可； （ii）结合正弦函数的单调性列不等式，求解即可； （3）结合正弦函数的单调性列不等式，求解即可． 【小问1详解】 因为向量，函数， 所以； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，， 因为，所以， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 故实数m的最大值为 【小问3详解】 当时，， 若，则， 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得，， 又，所以当时，；当时，；当时，无解， 综上，的取值范围为 20. 若两个集合和之间存在一一对应关系，则称和等势，记为．例如：若集合为整数集，集合为偶数集，因为存在和之间的一一对应关系，所以． （1）判断集合和集合是否等势，并说明理由； （2）已知全集，，，集合中的元素个数记为． ①若存在集合和之间的一一对应关系，使得，求； ②集合满足，，且，求满足条件的集合的个数． 【答案】（1）和等势，理由： 因为集合之间存在一一对应关系， 所以和等势； （2）①或；②个 【解析】 【分析】（1）举例说明即可； （2）①由题意可得，分类讨论即可； ②根据题意易得，再分，，，四种情况讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为， 所以， 所以， 即， 当时， 因为，所以， 此时，满足； 当时， 因为，所以， 此时，满足； 当时， 因为，所以， 此时，不满足； 当时， 因为，所以， 此时，不满足； 综上所述，或； ②因为集合， 由，得， 又， 若， 则，与矛盾，舍去； 若， 则，与矛盾，舍去； 若， 则， 由，得， 故， 由于，得， 故， 所以或； 若， 同理可得或， 综上所述，满足条件的集合有个. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义，充分理解等势的定义，是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京交大附中高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象 C. ，都有 D. 函数的单调递减区间为， 9. 关于函数，下列选项正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 在区间上单调递减 C. 的最小值为2 D. 在区间上有两个零点 10. 如图，在中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（ ） ①； ②； ③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，则； ④若是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是 A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知向量 ，则 _____. 12. 已知，则______；若且，则的取值为______. 13. 函数的定义域为______. 14. 梯形中，已 （1）______ （2）若点分别是边上的动点，则的最大值是______. 15. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是______. ①每一个直角三角形的面积为 ② ③ ④ 三、解答题：本题共5小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在平面直角坐标系中，已知向量. （1）求的值； （2）求的值； （3）求值； （4）求的值. 17. 已知函数. （1）填写表格，并用“五点作图法”在平面直角坐标系上作出函数在上的图象； 0 x 1 0 （2）直接写出它的对称轴和对称中心； （3）设，求不等式的解集. 18. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求函数的最小值，并求取最小值时x的集合； （3）求函数的单调增区间； （4）求函数在区间上的值域. 19. 已知向量，函数. （1）求并化简； （2）已知在区间上单调递增，且是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在， 条件①：； 条件②：当时，取到最小值； 条件③：. （i）求的值； （ii）若函数在区间上单调递减，求实数m的最大值； （3）当时，在区间上单调递增，求的取值范围. 20. 若两个集合和之间存在一一对应关系，则称和等势，记为．例如：若集合为整数集，集合为偶数集，因为存在和之间的一一对应关系，所以． （1）判断集合和集合是否等势，并说明理由； （2）已知全集，，，集合中的元素个数记为． ①若存在集合和之间的一一对应关系，使得，求； ②集合满足，，且，求满足条件的集合的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $