精品解析：河南省焦作市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试卷

2024－2025学年九年级第三次质量检测试卷 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（ ） A. 皮秒 B. 皮秒 C. 皮秒 D. 皮秒 3. 如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 世界是物质的，物质都是由化学元素组成的，其中化合物是由两种或两种以上不同元素组成的纯净物．在化学元素“”“”“”“”中，任意选择两种化学元素，可以组成化合物(氯化钠)的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在学习四边形的性质时，张老师用四根长度相等的木条制作了正方形木框，并置于平面直角坐标系中，其中点A与原点O重合，点分别在x轴、y轴上．张老师利用四边形的不稳定性，将正方形木框压扁，得到四边形．若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线是东西方向的海岸线，北侧是海面，南侧是陆地．信号塔位于码头南偏西方向上，位于码头南偏东方向上．已知信号塔的信号覆盖面是以为半径的圆形，之间的距离为，则海面上被信号覆盖区域（阴影部分）的面积约为（ ）（结果精确到．参考数据：） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若的周长为20，，则边的长可能是 __________（写出一个即可）． 12. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值及范围为___________ 13. 某实验中学迎来50年校庆，校史馆要招募一名优秀讲解员，小明经历了笔试、试讲和面试三轮测试终于如愿以偿当选讲解员．他的笔试、试讲和面试成绩分别为90分、98分、96分．综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，那么小明的综合成绩为___________ 14. 小明在物理课上学习了“区间测速”的知识：利用雷达、高清摄像头等现代化手段记录受监测的机动车在两监控点之间的路段（测速区间）所用的时间（如图），再根据测速区间的长度 计算出机动车的平均速度．在某段高速公路的测速区间上，若平均车速为，则需用时．小明查阅资料，了解到这段高速公路的车速不得超过，且不得低于．小明爸爸在限速范围内开车匀速通过这段高速公路的测速区间，则他的行驶时间（）的取值范围为_____________ 15. 如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是___________ ，此时的长为_____ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 2025年央视春晚中出现了许多“河南面孔”，如“确山铁花”“豫剧《花木兰》”“少林功夫”等非物质文化遗产．某校为了解七、八年级学生对非物质文化遗产的了解程度，组织了一次非物质文化遗产知识测试（百分制），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，分成四组：A．，B．，C．，D．）， 部分信息如下： 信息一：七年级10名学生的成绩是：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100． 信息二：八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，93，93． 信息三：八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图所示． 信息四：七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表． 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91.8 m n 46.96 八年级 91.8 93 98 41.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________ （2）学校准备从成绩较稳定的年级中选择若干名学生参加下一阶段的活动，请判断学校会从哪个年级中选择，并说明理由． （3）已知七、八年级共有600名学生参加了此次非物质文化遗产知识测试，估计该校参加此次测试成绩为优秀（）的学生总人数． 18. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交于点E，交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）． （2）求的值． 19. 如图，在中，，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．已知，． （1）求k的值； （2）过点D作轴于点E，点P是x轴上一点，若以A，D，E，P为顶点的四边形的面积为18，求点P的坐标． 20. 新年前夕，国家主席习近平通过中央广播电视总台和 互联网，发表二○二五年新年贺词，其中提到：“我们因地制宜培育新质生产力，新产业新业态新模式竞相涌现，新能源汽车年产量首次突破1000万辆，集成电路、人工智能、量子通信等 领域取得新成果．”随着新能源汽车的发展，某市计划引进一批新能源公交车投入运营．新能源公交车有两种车型，若购买A型公交车30辆，B型公交车10辆，共需2600万元；若购买A型公交车20辆，B型公交车30辆，共需3600万元． （1）求购买A型和B型新能源公交车每辆分别需要多少万元． （2）交通管理部门调研发现：A型新能源公交车适合支线道路运营，B型新能源公交车适合主干道运营．若本批次计划购买两种新能源公交车共80辆，且支线道路运营车辆不超过主干道运营车辆为，请问分别购买多少辆两种新能源公交车可使得政府投入的费用最少？并求出最少费用． 21. 小明利用曲柄连杆结构制作了一个挖掘机模型，如图（1）所示，图（2）是其主要构件的简化示意图，其中，且是固定结构，点P为上一点，且．半径为的与相切于点的长度固定，且．随着的左右滚动，的一端M绕着P运动，点C为延长线上一点，且的长度均为． （1）当时，四边形的形状是 ． （2）如图（3），连接，当时，与相切于点N₁，求此时的长度． （3）将从图（3）中所示的位置向左滚动至与相切，如图（4）所示，此时与相切于点，求的度数．（结果精确到．参考数据：） 22. 跳 台滑雪是 一 项极具挑战性和观赏性的运动项目，被 形容为“勇敢者的游戏” ．跳台滑雪的技术动作包括助滑、起跳、空中飞行和着陆，要求运动员在高速下落 的过程中完成一系列高难度动作，展现出优美的姿态和极佳的平衡能力，其中在空中飞行过程呈现优美 的抛物线形．如图 ，为着陆坡，为跳台，且点D为起跳点，点B为运动员空中飞行后的着陆点（点A，B，C，D 在同一竖直平面内，且点C，D在同一竖直方向上） ． 以点A 所在的水平线为x轴 ， 所 在 的 直 线 为y轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度为1m），已 知 点B到跳台的水平距离为．起跳后在距跳台水平距离15m处达到最大高度58.5 m． （1）求此运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式． （2）求在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离． 23. 【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年九年级第三次质量检测试卷 数学 （满分120分，考试时间100分钟） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（ ） A. 皮秒 B. 皮秒 C. 皮秒 D. 皮秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此求解即可； 【详解】解：1秒毫秒，1毫秒皮秒， 秒皮秒， 秒皮秒， 故选：B． 3. 如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，掌握几何体三种视图之间的关系是解答本题的关键． 依据俯视图即可确定出左视图共有列，以及每列上的小正方体个数分别为、，由此，即可得到答案． 【详解】解：由俯视图和小正方形中的数字可知，该几何体从左到右有三列，第一列有个小正方体，第二列有个小正方体，则该几何体的左视图是 ， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘，完全平方公式，同底数幂相除，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘运算法则计算并判断A；根据完全平方公式计算并判断B；根据同底数幂相除运算法则计算并判断C；根据合并同类项法则计算并判断D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，直线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、几何图形中角的计算，熟练掌握相关定义是解题的关键．由对顶角相等得，再由角的和差关系得出的度数． 【详解】解：如图， 与是对顶角，， ， ， 故选C． 6. 计算的结果为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算，牢记分式加减的运算法则是解题的关键． 根据分式加减的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故选：B． 7. 如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质、圆的内接四边形性质，根据弧中点的定义可得进而得到，然后根据三角形内角和定理可得，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵点A是中优弧的中点， ∴ ∴， ∴， 又∵C为劣弧上一点， ∴， 故选：D． 8. 世界是物质的，物质都是由化学元素组成的，其中化合物是由两种或两种以上不同元素组成的纯净物．在化学元素“”“”“”“”中，任意选择两种化学元素，可以组成化合物(氯化钠)的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，根据题意作出列表是解题关键．根据题意作出列表，结合列表即可获得答案． 【详解】解：根据题意，列表如下， － － － － 由表格，可知共有12种等可能的结果，其中可以组成化合物（氯化钠）的结果有2种， 所以，可以组成化合物的概率． 故选：A． 9. 如图，在学习四边形的性质时，张老师用四根长度相等的木条制作了正方形木框，并置于平面直角坐标系中，其中点A与原点O重合，点分别在x轴、y轴上．张老师利用四边形的不稳定性，将正方形木框压扁，得到四边形．若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，坐标与图形．过点作轴，根据题意得：，轴，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴， 根据题意得：，轴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：D 10. 如图，直线是东西方向的海岸线，北侧是海面，南侧是陆地．信号塔位于码头南偏西方向上，位于码头南偏东方向上．已知信号塔的信号覆盖面是以为半径的圆形，之间的距离为，则海面上被信号覆盖区域（阴影部分）的面积约为（ ）（结果精确到．参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，，再利用解直角三角形求出，，，然后将扇形面积减去三角形面积求得阴影部分面积． 【详解】解：过点作于点， 则，， ∴阴影部分的圆弧所对的圆心角等于，， ∵，之间的距离为6.25km， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴海面上被信号覆盖区域（阴影部分）的面积约为（）， 故选：B ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，扇形面积公式，垂径定理，解直三角形，利用平行线的性质求角度，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若的周长为20，，则边的长可能是 __________（写出一个即可）． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据三角形三边关系定理求得边的取值范围． 根据三角形三边关系定理，先确定边的取值范围，再写出答案即可． 【详解】解：∵的周长为， ， ， ， ， ， ， ∴边的长可能为 8 ， 故答案为：8． 12. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值及范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】对于一元二次方程，判别式，当时，方程有实数根，据此代入数值计算，即可作答．本题考查了根据一元二次方程的根情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，在方程中，，，， ∵有实数根， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 某实验中学迎来50年校庆，校史馆要招募一名优秀讲解员，小明经历了笔试、试讲和面试三轮测试终于如愿以偿当选讲解员．他的笔试、试讲和面试成绩分别为90分、98分、96分．综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，那么小明的综合成绩为___________ 【答案】分 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数的计算，根据加权平均数的定义求解即可． 【详解】解：小明的综合成绩为分． 故答案为：分 14. 小明在物理课上学习了“区间测速”的知识：利用雷达、高清摄像头等现代化手段记录受监测的机动车在两监控点之间的路段（测速区间）所用的时间（如图），再根据测速区间的长度 计算出机动车的平均速度．在某段高速公路的测速区间上，若平均车速为，则需用时．小明查阅资料，了解到这段高速公路的车速不得超过，且不得低于．小明爸爸在限速范围内开车匀速通过这段高速公路的测速区间，则他的行驶时间（）的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式与行程问题，理解数量关系，正确列式求解是关键． 根据速度与时间得到路程，当速度过时，，当速度为时，，由此即可求解． 【详解】解：平均车速为，则需用时， ∴路程为：， 当速度过时，， 当速度为时，， ∴ 故答案为： ． 15. 如图，在正方形中，，点E是延长线上一点，且，点F为线段上一动点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是___________ ，此时的长为_____ ． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】由题意可得是等腰直角三角形，得出，可得当时，最小，即最小，只要利用勾股定理和等面积法求出即可求出的最小值；作辅助线如图，可得四边形是矩形，推出，，等面积法求出，勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质得出，，进而可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，最小，即最小，如图， ∵正方形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 此时， 过点G作，，垂足分别为H、I，过点F作于P，如图， ∵，， ∴，， 同理可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线、熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查乘方，零次幂，整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）分别算出乘方，零次幂，绝对值的值，再根据有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式，完全平方公式计算展开，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 2025年央视春晚中出现了许多“河南面孔”，如“确山铁花”“豫剧《花木兰》”“少林功夫”等非物质文化遗产．某校为了解七、八年级学生对非物质文化遗产的了解程度，组织了一次非物质文化遗产知识测试（百分制），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，分成四组：A．，B．，C．，D．）， 部分信息如下： 信息一：七年级10名学生的成绩是：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100． 信息二：八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，93，93． 信息三：八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图所示． 信息四：七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表． 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 91.8 m n 46.96 八年级 91.8 93 98 41.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________ （2）学校准备从成绩较稳定的年级中选择若干名学生参加下一阶段的活动，请判断学校会从哪个年级中选择，并说明理由． （3）已知七、八年级共有600名学生参加了此次非物质文化遗产知识测试，估计该校参加此次测试成绩为优秀（）的学生总人数． 【答案】（1），， （2） 八年级，理由如下： 因为八年级的方差41.4小于七年级的方差46.96，方差越小，数据越稳定， 所以学校会从八年级中选择． （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形图，求中位数，众数，利用方差作决策，利用样本估计总体： （1）求出组占比，利用360度乘以占比，求出，根据中位数和众数的确定方法求出的值； （2）利用方差作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：八年级成绩在组的占比为， ． 七年级10名学生成绩从小到大排列为80，82，86，89，92，96，96，98，99，100， ∴中位数，众数． 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 七年级成绩优秀（）的有6人，八年级成绩优秀（）的有人，七、八年级抽取的20名学生中成绩优秀的有人， 所以估计该校参加此次测试成绩为优秀的学生总人数为人． 18. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，交于点E，交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）． （2）求的值． 【答案】（1） 如图即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作垂直平分线的方法作图即可； （2）连接，根据作图可得垂直平分，得出，即可得，求出，设，则，勾股定理求出，得出，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 根据作图可得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、求角的正切等知识点，解题的关键是正确作出图象． 19. 如图，在中，，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．已知，． （1）求k的值； （2）过点D作轴于点E，点P是x轴上一点，若以A，D，E，P为顶点的四边形的面积为18，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法求函数的解析式，正切的定义． （1）先根据正切的定义求得，则，进而得，即可求出k的值； （2）根据反比例函数解析式求出，进而得，，设，分两种情况：当在右侧时；当在左侧时；分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，则， ∵是的中点， ∴， 把代入得； 【小问2详解】 解：把代入得， ∴， ∴，， 设， 当在右侧时，， 解得； 当在左侧时， ， 解得． ∴点的坐标为或． 20. 新年前夕，国家主席习近平通过中央广播电视总台和 互联网，发表二○二五年新年贺词，其中提到：“我们因地制宜培育新质生产力，新产业新业态新模式竞相涌现，新能源汽车年产量首次突破1000万辆，集成电路、人工智能、量子通信等 领域取得新成果．”随着新能源汽车的发展，某市计划引进一批新能源公交车投入运营．新能源公交车有两种车型，若购买A型公交车30辆，B型公交车10辆，共需2600万元；若购买A型公交车20辆，B型公交车30辆，共需3600万元． （1）求购买A型和B型新能源公交车每辆分别需要多少万元． （2）交通管理部门调研发现：A型新能源公交车适合支线道路运营，B型新能源公交车适合主干道运营．若本批次计划购买两种新能源公交车共80辆，且支线道路运营车辆不超过主干道运营车辆为，请问分别购买多少辆两种新能源公交车可使得政府投入的费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）购买A型新能源公交车每辆需要60元，购买B型新能源公交车每辆需要80元； （2）购买A型新能源公交车16辆、B型新能源公交车64辆可使得政府投入的费用最少，最少费用为6080万元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组和一元一次不等式的解法、一次函数的增减性是解题的关键． （1）分别设购买A型和B型新能源公交车每辆的价格为未知数，根据题意列二元一次方程并求解即可； （2）设购买A型新能源公交车m辆，则购买B型新能源公交车辆，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，设投入的费用为w元，写出w关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时w的值最小，求出其最小值及此时的值即可． 【小问1详解】 解：设购买A型新能源公交车每辆需要a元，购买B型新能源公交车每辆需要b元． 根据题意，得 ， 解得， 答：购买A型新能源公交车每辆需要60元，购买B型新能源公交车每辆需要80元； 【小问2详解】 解：设购买A型新能源公交车m辆，则购买B型新能源公交车辆， 根据题意，得， 解得， 设投入的费用为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵， ∴当时w的值最小，， （辆）． 答：购买A型新能源公交车16辆、B型新能源公交车64辆可使得政府投入的费用最少，最少费用为6080万元． 21. 小明利用曲柄连杆结构制作了一个挖掘机模型，如图（1）所示，图（2）是其主要构件的简化示意图，其中，且是固定结构，点P为上一点，且．半径为的与相切于点的长度固定，且．随着的左右滚动，的一端M绕着P运动，点C为延长线上一点，且的长度均为． （1）当时，四边形的形状是 ． （2）如图（3），连接，当时，与相切于点N₁，求此时的长度． （3）将从图（3）中所示的位置向左滚动至与相切，如图（4）所示，此时与相切于点，求的度数．（结果精确到．参考数据：） 【答案】（1）正方形 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知、根据“四条边都相等的四边形是菱形”得：四边形是菱形，由已知、根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出结论； （2）过点作于点，过点作于点，由已知、根据垂直的定义可知：、，在中，由边角关系得：、，在中，由勾股定理得，从而得到，由已知、根据切线的性质“切线垂直于过切点的半径”知：，根据“由三个角是直角的四边形是矩形”得：四边形是矩形，从而得到：、、，在中，由勾股定理得，进而得出结论； （3）过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，从而得到、，由（2）知：，从而，在 中，，在中，，从而得到 ， ，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时，四边形的形状是正方形，理由如下： ， ∴四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点，如图： 则， ∵， ∴， 在中，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵半径为 的与相切， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ， 即此时的长度为； 【小问3详解】 解：将从已知图（3）中所示的位置向左滚动至与相切，则， 连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由（2）知：， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】该题考查了正方形的判定，菱形的性质和判定，勾股定理，切线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，求弧长等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 跳 台滑雪是 一 项极具挑战性和观赏性的运动项目，被 形容为“勇敢者的游戏” ．跳台滑雪的技术动作包括助滑、起跳、空中飞行和着陆，要求运动员在高速下落 的过程中完成一系列高难度动作，展现出优美的姿态和极佳的平衡能力，其中在空中飞行过程呈现优美 的抛物线形．如图 ，为着陆坡，为跳台，且点D为起跳点，点B为运动员空中飞行后的着陆点（点A，B，C，D 在同一竖直平面内，且点C，D在同一竖直方向上） ． 以点A 所在的水平线为x轴 ， 所 在 的 直 线 为y轴，建立平面直角坐标系（1个单位长度为1m），已 知 点B到跳台的水平距离为．起跳后在距跳台水平距离15m处达到最大高度58.5 m． （1）求此运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式． （2）求在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离． 【答案】（1） （2）最大竖直距离为18 m 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得：，则，可得抛物线的顶点为，再设顶点式求解即可； （2）先求出，求出直线的表达式为，设运动员空中飞行时到着陆坡的竖直距离为，则，再求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∵起跳后在距跳台水平距离15m处达到最大高度58.5m， ∴抛物线的顶点为， ∴设运动员空中飞行路线所在抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 当时，， ∴ ， 设直线的表达式为， 将分别代入， 得： 解得： 故直线的表达式为， 设运动员空中飞行时到着陆坡的竖直距离为， 则， ∵ ∴当时，h最大，最大值为18， 答：在空中飞行时，运动员到着陆坡的最大竖直距离为18 m． 23. 【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． （1）已知点M，N是线段的勾股分割点，若，则___________． 【探究证明】 （2）如图（2），在中，，M，N在线段上，且．求证：点M，N是线段的勾股分割点． 【拓展应用】 （3）如图（3），在中，圆心角，P是上一动点，连接，分别作的垂直平分线，分别交直线于点C，D，已知，当是以为底边的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）或； （2）证明：， ， 将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，． ∵，， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴在中，，即， ∴点，是线段的勾股分割点． （3）或 【解析】 【分析】（1）分是直角三角形的斜边和直角边两种情况，分运用由勾股分割点的求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，得到，在中，，即，即可得到点，是线段的勾股分割点； （3）分点P在上方和下方两种情况讨论，连接，当点P在上方，根据题意易得都是等腰三角形，同理（2）可证点C，D是线段的勾股分割点，得到，证明，推出，设，则，利用勾股定理即可建立一元二次方程求解即可，点P在下方，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵点，是线段的勾股分割点， ∴分两种情况： 当为斜边时，． 当为斜边时，． ∴或； 故答案为：或； （2）略 （3）解：如图，当点P在上方时，连接， ∵点在上， ∴是的内接三角形， ∴分别在的垂直平分线上， ∵， ∴都是等腰三角形， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵圆心角， ∴， 由（2）同理可证点C，D是线段的勾股分割点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则． ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 当点P在下方时，如图， ∵， ∴， 同理得点A，B是线段的勾股分割点， ∴， 同理上一种情况得， 设，则， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，正确添加辅助线、构造全等三角形解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $