精品解析：2025年广东省阳市揭东区九年级中考一模数学卷

2025年初中学业水平考试第一次模拟考 数学科试题 温馨提示：请将答案写在答题卡上．考试时间：120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面哪个数最小（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小．根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最小的数是， 故选：B． 2. 学校会议室的圆桌如图所示，则它的俯视图为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求简单组合体的俯视图，根据从上往下看得到的图形为俯视图，即可得解，也考查空间想象能力． 【详解】解：从上向下看，可得俯视图： ， 故选：A． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法、合并同类项、单项式乘多项式、完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂乘法、合并同类项、单项式乘多项式、完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、和不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列语句中，不是命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线不平行 C. 延长AB到C使BC=AB D. 两点之间线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A. 相等的角是对顶角是命题； B. 两条直线不平行是命题； C. 延长AB到C使BC=AB不是命题； D. 两点之间线段最短是命题； 故选C. 【点睛】本题考查的是命题的概念，一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 5. 现有一组数据：．若该组数据的中位数是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：、当的值为时，数据为，，，，，， ∴数据的中位数为，不合题意； 、当的值为时，数据为，，，，，， ∴数据的中位数为，不合题意； 、当的值为时，数据为，，，，，， ∴数据的中位数为，不合题意； 、当的值为时，数据为，，，，，， ∴数据的中位数为，符合题意； 故选：． 6. 使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求出不等式的解集，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∴解集在数轴上表示如图， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件． 7. 如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°， ∴∠A=30°， ∵点D为边AC的中点，BD=2 ∴AC=2BD=4， ∴BC=， 故选：C． 【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 8. 如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴ 故选C． 9. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据时间=路程÷速度，结合乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟（小时），即可得出关于x的分式方程． 【详解】15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10. 观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法．由可得：，，则可得，则可得 ，再利用 ，进行计算即可． 【详解】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：将5146000000用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 分式方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出方程的解，再检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 13. 有四张正面分别标有数字，，3，5的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机一次性抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：列表如下： 3 5 3 5 ∴共有12种可能结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的有8种， ∴抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的概率． 故答案为：． 14. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，与交于点G，则的度数是________． 【答案】54 【解析】 【分析】连接，根据正五边形的中心角得，，结合圆周角定理得，再运用直角三角形的两个锐角互余列式计算，即可作答．本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵五边形是的内接正五边形，是的直径， ∴，， ∵， ∴， 则在中，， 故答案为：54． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，坐标与图形变化—平移，正确表示出点C和点F是解题的关键． 根据题意可知，，，设，即可表示出点C和点F的坐标，利用函数的图象经过点C和点F，代入列出关于a的方程，进行求解即可． 【详解】解：由平移可得，， 设 ∵点， ∴则中点坐标为： ∴， ∵函数的图象经过点C和点F， ∴ 解得： ∴ 故答案为：6． 三、解答题一（第16题6分，第17题，第18题7分，共20分） 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，． （1）作的平分线，交于点P；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，过点Р作于点D，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作法，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握尺规作图法，灵活运用角平分线的性质和勾股定理是解题的关键． （1）以顶点为圆心画圆，交于两点，分别以这两点为圆心，再以相同半径画弧线，得两个弧线的交点，连接点与两弧线交点，延长交于点，则就是这个角的平分线． （2）过点P作于D，根据角平分线的性质得，利用勾股定理得，证明，得到，设，则，，在中，利用勾股定理，解方程即可求解． 【小问1详解】 如图所示：点P即为所求； 作法：以顶点为圆心画圆，交于两点，分别以这两点为圆心，再以相同半径画弧线，得两个弧线的交点，连接点与两弧线交点，延长交于点，则就是这个角的平分线． 【小问2详解】 如图，过点P作于D， ∵， ∴， ∵平分，, ∴， 在中，， 在和中， ∵， ∴， ∴． 设，则，， 在中，，即， 解得， 答：的长为6． 四、解答题二（每小题9分，共27分） 19. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】(1)首先设四、五月份销售量平均增长率为x，然后列出方程即可得解； (2)首先设商品降价m元，然后列出方程即可得解. 此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键. 【小问1详解】 设四、五月份销售量平均增长率为x， 则, 解得（舍去） 所以四、五月份销售量平均增长率为． 【小问2详解】 设商品降价m元， 则, 解得（舍去） 所以商品降价5元时，商场获利2250元． 20. 项目式学习【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区，总投放240把雨伞．小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用，而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明和同学们展开了研究． 【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情况，人流量进行数据收集，数据如表1，表2： 表1：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 经过放置区的师生人数 80 110 70 90 使用共享雨伞的人数 6 8 7 6 表2：雨天经过放置区的平均人流量 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 人流量（单位：人） 280 330 200 225 【问题解决】 （1）经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是多少？ （2）请设计一个合理投放方案，应对该校师生使用共享雨伞的需求． 【答案】（1）经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是； （2）投放方案是教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把 【解析】 【分析】本题主要考查了统计与概率，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由表格直接代入公式求解即可； （2）先计算4个放置区使用共享雨伞平均人数，从而得到雨天使用的平均人数，进而根据比例求解即可． 【小问1详解】 解：由表1可知，经过饭堂的师生有70人，使用共享雨伞的有7人， ∴经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是． 答：经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是； 【小问2详解】 解：4个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是： 教学楼： 图书馆： 饭堂： 宿舍楼： ∴雨天使用共享雨伞的平均人数约为：， ∴教学楼： 图书馆： 饭堂： 宿舍楼： ∴投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把． 答：投放方案是：教学楼63把，图书馆72把，饭堂60把，宿舍45把． 21. 如图，已知在四边形中，，均与垂直，，为的直径，点E为上一点，连接交于点F，连接并延长与交于点G，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若当，的半径为，求的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由为的直径可得，再由得到，即可得，即可求证； （2）由得，进而得，作直径，可得，即可根据求解； 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ， ∵的半径为， ， ， ， ， ， 作于点，则， ， ， ． 【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，平行线的性质，切线的判定，三角函数，解直角三角形，三角形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键． 五、解答题三（每小题14分，共28分） 22. 【问题情境】 如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？ 直接写出结论：______（不用证明）． 【变式探究】 如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求长． 【拓展应用】 如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】问题情境：先根据特殊角三角函数得出，再证明，根据相似三角形对应边成比例可得； 变式探究：过点F作，同（1）可证，根据相似三角形对应边成比例可得，求出，再证四边形是矩形，即可求解； 拓展应用：过点F作交的延长线于点M，交于点K．则，再结合平行四边形的性质、平行线的性质，证明，再证，推出，再证，，代入可得的值． 【详解】解：问题情境： 三角板中，， ． 四边形是矩形， ， ， 由题意知， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 变式探究： 如图，过点F作，垂足为H， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 拓展应用： 如图，过点F作交的延长线于点M，交于点K． ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， ， ， 即， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线解析式和的值； （2）如图1，点为第一象限抛物线上的点，连接．当时，求点的坐标； （3）如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点分别为的边上的动点，且，记的最小值为．求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得出抛物线解析式，再利用正切的定义计算即可得出的值； （2）解直角三角形得出，结合题意得出，证明，得出，设点坐标为，则，，带入计算即可得出答案； （3）作，且使，连接FH，证明得出，，从而得出共线时，的值最小．作于点，证明，设，则，从而得出，求得，再计算出的长，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，， ， 解得：， 抛物线解析式为：， 与轴交于、两点， 时，，解得：，， ， ，， 在中，． 【小问2详解】 解：过点作轴，交于点，过点作轴，交轴于点， ，，， ， 由（1）可得，，即， ， ， ， 轴，轴， ，， ， 又， ， ， 设点坐标为，则，， ， 解得：（舍），， 点坐标为； 【小问3详解】 解：如图，作，且使，连接FH， ，， ， ，， ， ，， 共线时，的值最小． 作于点， ，， ， ， ， ． 设，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ，， 在中，． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平考试第一次模拟考 数学科试题 温馨提示：请将答案写在答题卡上．考试时间：120分钟，满分120分． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面哪个数最小（ ） A. 0 B. C. D. 2. 学校会议室的圆桌如图所示，则它的俯视图为（ ） A B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列语句中，不是命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线不平行 C. 延长AB到C使BC=AB D. 两点之间线段最短 5. 现有一组数据：．若该组数据的中位数是，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　） A B. C. 2 D. 4 8. 如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（ ） A. B. C. D. 9. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 2024年“五一”假期，我市实现旅游总收入51.46亿元．将5146000000用科学记数法表示为______． 12. 分式方程的解为________． 13. 有四张正面分别标有数字，，3，5的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机一次性抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的概率是________． 14. 如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，与交于点G，则的度数是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A，O分别与点C，D对应，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为______． 三、解答题一（第16题6分，第17题，第18题7分，共20分） 16. 解不等式组：． 17. 计算：． 18. 如图，在中，． （1）作的平分线，交于点P；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，过点Р作于点D，若，求的长． 四、解答题二（每小题9分，共27分） 19. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 20. 项目式学习【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区，总投放240把雨伞．小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用，而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明和同学们展开了研究． 【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞情况，人流量进行数据收集，数据如表1，表2： 表1：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 经过放置区师生人数 80 110 70 90 使用共享雨伞的人数 6 8 7 6 表2：雨天经过放置区的平均人流量 放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼 人流量（单位：人） 280 330 200 225 【问题解决】 （1）经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是多少？ （2）请设计一个合理的投放方案，应对该校师生使用共享雨伞的需求． 21. 如图，已知在四边形中，，均与垂直，，为的直径，点E为上一点，连接交于点F，连接并延长与交于点G，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若当，的半径为，求的面积． 五、解答题三（每小题14分，共28分） 22. 【问题情境】 如图1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别落在、、上，你发现线段与有什么数量关系？ 直接写出结论：______（不用证明）． 【变式探究】 如图2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得顶点E、F、G分别在边上，若，，求的长． 【拓展应用】 如图3，小明把三角形放置到平行四边形中，使得顶点E、F、G分别落在边上，若，，，求出的值． 23. 如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线解析式和的值； （2）如图1，点为第一象限抛物线上的点，连接．当时，求点的坐标； （3）如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点分别为的边上的动点，且，记的最小值为．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$