精品解析：2025年广东省中山市中山纪念中学教育集团九年级 二模数学试题

2024-2025学年第二学期学科素养调研 九年级数学试卷 一、单选题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30 分． 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 《哪吒之魔童闹海》自上映以来，已创造多项纪录，2025年2月17日，该电影总票房（含预售）突破120亿元，进入全球影史票房榜前10名．数据120亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 8. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于两点，分别，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点．作直线．直线即为所求． 下列说法正确的是（ ） A. 乙的作法正确，甲的作法错误 B. 甲和乙的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲和乙的作法都正确 10. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，其中红球有2个，这些球除颜色外其他都相同，随机摸出1个球，摸出的是红球的概率是___________． 13. 如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为____________ ． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_______________． 15. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为_______． 三、解答题(一):本大题共 3小题，每小题 7 分，共 21 分． 16. 先化简，再求值，其中． 17. 如图，在中，，点D在的延长线上． （1）作的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：． 18. 口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题 9分，共 27 分． 19. 为落实“首课思政”育人工作，某校开展“读好书”育人工程，计划开展主题鲜明的读书周、读书月、读书节等多种形式的活动，鼓励学生争当“读书达人”．为了了解该校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该校九年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）： 根据以上信息回答下列问题： （1）求值，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数； （3）学校提倡每人每周课外阅读时间不低于4小时，该校有学生3200人，请你估算该校达到学校要求标准的学生有多少人？ 20. 2024年全国青少年U系列自由式小轮车冠军赛在四川广安成功举办，思思深受赛事氛围感染，特意购置了一辆小轮车并开始训练．小轮车如图1所示，该车的车轮半径为（含轮胎），图2是该车的车架示意图，已知立管，且与上管垂直，下管比上管长，座管可以伸缩，点在同一条直线上，后下叉与地面平行，且与立管所成的夹角为，即． （1）求下管的长． （2）当座垫离地面的距离为时，思思骑行更舒服，问此时应将座管调为多长？（结果精确到，参考数据） 21. 下面是先锋小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“相似扇形”的研究报告 先锋小组 研究对象：相似扇形 研究思路：类比研究相似三角形，按“概念—性质—判定—应用”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究内容： 【概念理解】圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，其半径的比叫做相似比，如图1，分别以线段AB，为直径作半圆O与半圆，即可得到一对相似扇形，其相似比为． 【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为k，则弧长之比为①______； 关于面积：两个相似扇形的相似比为k，则面积之比为②______． …… 【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论： 半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形．为说明这一结论正确，分析如下： 如图2，已知扇形与扇形，，只要说明， 即可判断扇形与扇形是相似扇形． …… 任务： （1）补全材料中“性质探索”中空缺的部分：①______；②______； （2）根据材料中“判定探索”的分析思路，写出推理过程； （3）如图3，已知扇形，点P是上的一点，扇形与扇形相似，且点P在的垂直平分线上，若的长为l，则的长为______．（用含l的代数式表示） 五、解答题三:本大题共 2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． （2）M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与探究 如图1，正方形的对角线上有两点，，且，连接，，，． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由． 发现探索：（2）如图2，隐去对角线，将图1中的四边形绕点逆时针旋转，得到四边形，连接，．若，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 深入探索：（3）在（2）的条件下，请直接写出当点落在直线上时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期学科素养调研 九年级数学试卷 一、单选题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30 分． 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义：相反数是只有符号不同的两个数；熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：D． 2. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式的计算，掌握整数的混合运算法则是关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式的计算进行判定即可求解． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 4. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 《哪吒之魔童闹海》自上映以来，已创造多项纪录，2025年2月17日，该电影总票房（含预售）突破120亿元，进入全球影史票房榜前10名．数据120亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：亿， 故选：C． 6. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及将解集表示在数轴上，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，再将不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解，得， 解，得， 该不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 故选：D． 7. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 8. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程． 设长为步，则宽为步，根据题意，列方程． 【详解】解：设长为步，则宽为步， 由题意可得：， 故选：A． 9. 对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于两点，分别，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点．作直线．直线即为所求． 下列说法正确的是（ ） A. 乙的作法正确，甲的作法错误 B. 甲和乙的作法都错误 C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲和乙的作法都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． 【详解】解：对于甲的作法： 连接 ． 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； 故选：D． 10. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图，由圆内接正六边形可算出．若利用圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．利用圆内接正十二边形的性质求出，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接边点O作， 在正十二边形中，， ， ，， ， ， 故选：C 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，其中红球有2个，这些球除颜色外其他都相同，随机摸出1个球，摸出的是红球的概率是___________． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键． 根据简单的概率计算公式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，摸出的是红球的概率是， 故答案为：． 13. 如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、直角三角形锐角互余、圆周角定理及推论，如图所示，连接，首先由切线得到，然后求出，最后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 是的切线，切点是， 在中， 圆周角与圆心角所对的弧是， ． 故答案为：． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，， ∴． 故答案为： 15. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式的确定等，过点C作轴，由正方形的性质得出，再利用各角之间的关系得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作轴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点C代入反比例函数可得：， 故答案为：． 三、解答题(一):本大题共 3小题，每小题 7 分，共 21 分． 16. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键，先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，约分即可，再把代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 17. 如图，在中，，点D在的延长线上． （1）作的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：． 【答案】（1）根据角的平分线的基本作图，画图如下： 则即为所求． （2）证明：∵， ∴， ∵的平分线， ∴ ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据角的平分线的基本作图，规范求作即可． （2）利用角的平分线定义，等边对等角，三角形外角性质，平行线的判定，证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握性质和作图是解题的关键． 18. 口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 【答案】建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】解：设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； ∴， 答：建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷． 四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题 9分，共 27 分． 19. 为落实“首课思政”育人工作，某校开展“读好书”育人工程，计划开展主题鲜明的读书周、读书月、读书节等多种形式的活动，鼓励学生争当“读书达人”．为了了解该校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该校九年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）： 根据以上信息回答下列问题： （1）求值，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数； （3）学校提倡每人每周课外阅读时间不低于4小时，该校有学生3200人，请你估算该校达到学校要求标准的学生有多少人？ 【答案】（1）60，补全条形统计图如图所示： （2） （3）800人 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，熟练掌握条形统计图和扇形统计图是解题的关键； （1）根据统计图可知课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为，然后可求m，进而可画条形统计图； （2）由（1）可直接进行求解； （3）由题意可得课外阅读时间不低于4小时的人数，然后可求所占百分比，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为， 其所占的百分比为， 课外阅读时间为2小时的有15人， ， ∴课外阅读3小时的人数为：人； 【小问2详解】 解：扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：解：（人）； 答：估算该校达到学校要求标准的学生有800人． 20. 2024年全国青少年U系列自由式小轮车冠军赛在四川广安成功举办，思思深受赛事氛围感染，特意购置了一辆小轮车并开始训练．小轮车如图1所示，该车的车轮半径为（含轮胎），图2是该车的车架示意图，已知立管，且与上管垂直，下管比上管长，座管可以伸缩，点在同一条直线上，后下叉与地面平行，且与立管所成的夹角为，即． （1）求下管的长． （2）当座垫离地面的距离为时，思思骑行更舒服，问此时应将座管调为多长？（结果精确到，参考数据） 【答案】（1） （2）此时应将座管调为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、三角函数等知识，读懂题意，数形结合是解决问题的关键． （1）设下管的长为，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）由题意得：，，在中，由，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 设下管的长为，则， ， 在中，由勾股定理可得，则， ， 答：下管的长为； 【小问2详解】 解：由题意得：，， 在中，， ， ， 答：此时应将座管调为． 21. 下面是先锋小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“相似扇形”的研究报告 先锋小组 研究对象：相似扇形 研究思路：类比研究相似三角形，按“概念—性质—判定—应用”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究内容： 【概念理解】圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，其半径的比叫做相似比，如图1，分别以线段AB，为直径作半圆O与半圆，即可得到一对相似扇形，其相似比为． 【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为k，则弧长之比为①______； 关于面积：两个相似扇形的相似比为k，则面积之比为②______． …… 【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论： 半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形．为说明这一结论正确，分析如下： 如图2，已知扇形与扇形，，只要说明， 即可判断扇形与扇形是相似扇形． …… 任务： （1）补全材料中“性质探索”中空缺的部分：①______；②______； （2）根据材料中“判定探索”的分析思路，写出推理过程； （3）如图3，已知扇形，点P是上的一点，扇形与扇形相似，且点P在的垂直平分线上，若的长为l，则的长为______．（用含l的代数式表示） 【答案】（1），； （2） 证明：∵， ∴， 解得：， ∴扇形与扇形是相似扇形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据两个相似扇形的性质可得答案； （2）由，再代入弧长公式即可得到结论； （3）先证明，，可得，设，，可得，再进一步解答即可. 【小问1详解】 解：类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为k，则弧长之比为； 关于面积：两个相似扇形的相似比为k，则面积之比为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵扇形与扇形相似， ∴， ∵，， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∵的长为l， ∴, ∴； 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，弧长，扇形面积的计算，一元二次方程的解法，理解题意是关键. 五、解答题三:本大题共 2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标及直线的函数表达式． （2）M为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，过点M作于点D，当线段最长时，求点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接．在y轴上是否存在一点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，； （2）点M的坐标为； （3）存在，点P的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先求出点、、的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点M作轴交于点E，由题意可得点M的坐标为，点E的坐标为，在中，，，解直角三角形并结合二次函数的性质即可得解； （3）作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N，则，设，由勾股定理求出，再由，求出即可得解． 【小问1详解】 解：当时，， 解得，． 点A在点B的左侧， A，B两点的坐标分别为，． 当时，， 点C的坐标为． 设直线的函数表达式为， 把，代入，得， 解得， 直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点M作轴交于点E， 点B的坐标为，点C的坐标为， ，． 在中，根据勾股定理可得． 为直线下方抛物线上一点，其横坐标为m，轴交于点E， 点M的坐标为，点E的坐标为， ． 轴， ， ． 在中，，， ， 当时，线段最长， 点M的坐标为 【小问3详解】 解：存在，点P的坐标为或． 如图，作的垂直平分线交x轴于点F，连接，则，过点M作轴于点N， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 点M的坐标为，A，B两点的坐标分别为，， ，， ，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， ， ， 当时，， ， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 综合与探究 如图1，正方形的对角线上有两点，，且，连接，，，． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并说明理由． 发现探索：（2）如图2，隐去对角线，将图1中的四边形绕点逆时针旋转，得到四边形，连接，．若，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 深入探索：（3）在（2）的条件下，请直接写出当点落在直线上时的度数． 【答案】（1）四边形是菱形， 理由为： 如图1，连接交于O， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； （2）猜想：，理由： 如图2，连接、，连接交于O， 由旋转性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴； （3）的度数为或 【解析】 【分析】（1）连接交于O，先利用正方形的性质，结合已知证明四边形是平行四边形，进而利用菱形的判定可得结论； （2）连接、，连接交于O，由旋转性质和相似三角形的判定证明，利用相似三角形的对应边成比例得到，根据已知条件，结合菱形的性质得到，， ，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得到，进而可求解； （3）根据题意分当点在延长线上时和当点在延长线上时两种情况，分别利用旋转性质和菱形的性质，结合等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）根据题意，可分两种情况： 当点在延长线上时，如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是菱形； 由旋转性质得，，， ∴， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图，连接， 同理，由旋转性质得，，， ∴， ∴， ∴； 综上，当点落在直线上时，的度数为或． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $