清单01 二元一次方程组（8个考点梳理+14题型解读）（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材冀教版

清单01 二元一次方程组（8个考点梳理+14题型解读） 清单01 二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 清单02 二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 清单03 二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 清单04 解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 清单05 由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 清单06 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 清单07 解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 清单08 三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 【考点题型一】二元一次方程的定义（） 【例1】（24-25七年级下·河北邢台·期中）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】此题主要考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数都是1的整式方程，熟练掌握二元一次方程的概念是解题的关键．根据二元一次方程的概念即可判断． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、不是方程，不符合题意； C、不是整式方程，不符合题意； D、未知数的项的次数是2，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程中，属于二元一次方程的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①④/④① 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．解题的关键是正确理解二元一次方程的定义， 根据二元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：①符合二元一次方程的定义； ②最高次项的次数是2，故不符合二元一次方程的定义； ③还有3个未知数，故不符合二元一次方程的定义； ④符合二元一次方程的定义； 故属于二元一次方程的是①④． 故答案为：①④． 【变式1-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）根据下列语句，分别设出适当的未知数，列出二元一次方程（不求解）． (1)甲数的2倍比乙数的一半少3； (2)工厂加工一批机器零件，计划完成1088个，甲先做3天后乙再加入，两人共同再做6天刚好完成． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了列二元一次方程．根据题意列出二元一次方程即可． （1）设甲数为a，乙数为b，根据甲数的2倍比乙数的一半少3列出二元一次方程即可． （2）设甲每天做x个，乙每天做y个，根据甲一共做了9天，乙做了6天，根据两人完成1088个列出二元一次方程即可． 【详解】（1）解：设甲数为a，乙数为b， 根据题意得： （2）解：设甲每天做x个，乙每天做y个， 根据题意得： 【考点题型二】二元一次方程的解（） 【例2】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）关于x，y的方程中“”处的系数印刷不清楚，已知是这个方程的一组解，则“”处的数是（   ） A． B．1 C．2 D．7 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解的定义，把方程的解代入方程，求解即可，掌握二元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：设“”为， ∵是方程的解， ∴把代入方程，得： ， 解得：， 故选：B． 【变式2-1】.（24-25七年级下·河北唐山·期中）若是方程的解，则 ． 【答案】1 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解的含义及解一元一次方程，本题属于基础题型，比较简单． 由方程的解的含义，代入方程，求解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故答案为：1． 【变式2-2】.（七年级下·河北邯郸·阶段练习）一个两位数，若它刚好等于它各位数字之和的整数倍，我们称这个两位数为本原数；把一个本原数的十位数字、个位数字交换后得到一个新的两位数，我们称这个新的两位数为本原数的奇异数． (1)一本原数刚好是组成它的两个数字之和的4倍．请写出符合条件的所有本原数； (2)一本原数刚好等于组成它的数字之和的3倍，它的奇异数刚好是两个数字之和的倍．求的值 【答案】(1)本原数为12或24或36或48； (2) 【知识点】二元一次方程的解 【分析】（1）设本原数的十位数字为，个位数字为，由题意易得，则有，然后根据、为正整数，且，可进行求解； （2）设本原来的十位数字为，个位数字为，由题意得，然后问题可进行求解． 【详解】（1）解：设本原数的十位数字为，个位数字为， 由题意得：，整理得：， 、为正整数，且，， ∴或或或， 则符合条件的所有本原数为12或24或36或48； （2）解：设本原来的十位数字为，个位数字为， 由题意得：，整理得：， 、为正整数，且，， ∴，则本原数为27，本原数的奇异数为72， 本原数的奇异数刚好是两个数字之和的倍， ， ． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键． 【考点题型三】代入消元法（） 【例3】（24-25七年级下·河北唐山·期中）下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（   ） 解： 由①得③；步骤一 把③代入②得；步骤二 去分母得；步骤三 解得，再由③得.步骤四 A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【答案】C 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定． 【详解】解： 步骤三中去分母应为：， 原解法中，去分母，等号右边漏乘2， 故选：C． 【变式3-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）在方程中，用含的代数式表示为： ． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数，求出即可．看作已知数，表示出即可． 【详解】解：， 解得：． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·河北邢台·期中）下面是两个同学解方程组时，不完整的解题过程： 甲同学：①②得，． 乙同学：由①得③，将③代入②得，，． (1)甲和乙两位同学的解题过程中，出现错误的同学是______； (2)请你对一个同学的错误解题过程改正并完善． 【答案】(1)甲和乙 (2)见解析 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题主要考查了采用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组， （1）结合加减消元法和代入消元法的求解方法逐步判断即可作答； （2）利用加减消元法和代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：甲和乙两位同学解题过程中，均出现错误： 甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错； 乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错． （2）解：甲同学：，得， 解得 将代入①，得， 解得 原方程组的解为 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， 解得 将代入①，得， 解得 原方程组的解为 【考点题型四】加减消元法（） 【例4】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知关于，的二元一次方程组，无论为何值，与的值总满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组的加减消元法；两个方程相减消去m即可求解． 【详解】解：方程组第一个方程减第二个方程，得：； 故选：C． 【变式4-1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）已知关于，的二元一次方程组有下列说法：①当时，；②当与互为相反数时，解得；③当时，；④无论为何值，与的值一定满足关系式，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的解法、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法． 根据二元一次方程的解法、加减消元法对结论进行逐一判断即可求解． 【详解】解：依题得：， 当时，， 即，①正确； 与互为相反数， 即， 将其代入原二元一次方程组可得， 解得，②正确； ， ， 即， ， ， 即，③正确； ， ， 即， ， ④正确． 综上，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 【变式4-2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）习题课上，老师展示了一位同学解方程组的解答过程： 解方程组． 解：由①得③，第一步 把③代入①得，第二步 整理得，第三步 所以可以取一切实数，原方程组无解，第四步 (1)该同学解方程组的方法是_____________消元法，从第_____________步开始出现错误． (2)请你用另一种方法解这个方程组． 【答案】(1)代入；二 (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了用代入法与加减法解二元一次方程组，掌握解法步骤是解题的关键； （1）根据代入法的步骤逐步检查即可作出判断； （2）利用加减法求解即可． 【详解】（1）解：本题是用代入法解二元一次方程组，由①变形得到③，再代入②求解；故第二步错误； 故答案为：代入；二； （2）解：， 得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为． 【考点题型五】已知二元一次方程组的解求参数（） 【例5】（23-24七年级下·河北沧州·期中）已知关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于、的方程组是解此题的关键． 把代入方程组，得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， ， 故选C． 【变式5-1】（七年级下·河北衡水·期末）已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解为，则a的值为 ； （2）若x+y＝﹣3，则a的值为 ． 【答案】 1 ﹣5 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法 【分析】（1）利用方程解的意义将方程的解代入运算即可得出结论； （2）重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y的值代入运算即可． 【详解】解：（1）∵方程组的解为， ∴2×2+（﹣1）＝2a+1， ∴2a＝2， ∴a＝1． 故答案为：1； （2）由题意得： ， 解得：， ∴2×（﹣6）+3＝2a+1， ∴2a＝﹣10， ∴a＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练应用二元一次方程组的解是解题的关键． 【变式5-2】（七年级下·河北石家庄·期末）李宁在解二元一次方程组时，发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请求出二元一次方程组的解； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题的标准答案显示，互为相反数．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2) 【知识点】相反数的定义、已知二元一次方程组的解求参数、代入消元法、加减消元法 【分析】（1）①＋②得出，求出，再代入①求出即可； （2）把代入求出，再求出，再根据方程组解的定义可得答案． 【详解】（1）解：当时，方程组为， ①＋②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2）设， ∵，互为相反数， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， ∴方程组的解是， ∴， 解得：， ∴原题中“”是． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，也考查了二元一次方程组的解，能得出关于的方程是解（2）的关键． 【考点题型六】二元一次方程组的特殊解法（） 【例6】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于x，y的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】用整体的思想，将待求解方程变形，让新方程组中方程各项系数与已知方程组一致，从而求解． 【详解】由变形得 由题意知，   ∴ 故选： A 【点睛】本题考查方程组求解中整体思想的运用，理解整体换元思想是解题的关键． 【变式6-1】（22-23七年级下·河北保定·期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题： 已知实数、满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得整式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用上面的知识解答下列问题： （1）已知、满足方程组，则的值为 ，的值为 ； （2）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 5 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1），得，再由得，则； （2）根据两个方程组的系数特点，得到，，从而确定、的值． 【详解】（1）解：， ，得， ，得， 则； （2）解：∵方程组，方程组的解是， ∴， 即：， 解得：， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握整体思想是解题关键． 【变式6-2】（七年级下·河北邯郸·阶段练习）嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下． 解：将方程②变形，得． 将①代入③，得． 解这个方程，得． 把代入①，得．所以原方程组的解为 嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题． (1)解方程组 ①把方程①代入方程②，则方程②变为______________________； ②原方程组的解为____________________； (2)解方程组 【答案】(1)①；② (2)原方程组的解为 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】（1）结合已知条件，可知把方程①代入方程②，则方程②变为，进行求解即可； （2）利用条件中给出的“整体换元法”，先将①进行变形为，再进行整体换元解方程即可． 【详解】（1）解：把方程①代入方程②，则方程②变为， 解得：， 将代入①，得， ∴原方程组的解为； （2）由题意可知：①×2得：， 将③代入②，得， 解得：， 将代入①，得， ∴原方程组的解为． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程解法中的特殊方法：整体换元法，重点在于找出“整体”进行消元，部分题型需要先进行转化，再进行整体换元． 【考点题型七】构造二元一次方程组求解（） 【例7】（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）已知单项式与能合并成一项，那么的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】由题意可得单项式与是同类项，进而可得关于m、n的方程组，求解即可得. 【详解】解：∵单项式与能合并成一项， ∴单项式与是同类项， ∴，解得； 故选：B. 【点睛】本题考查了同类项的定义和二元一次方程组的求解，正确理解题意、得出关于m、n的方程组是解题关键. 【变式7-1】（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．6 【答案】D 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】如图，根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，可得，，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，∵每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了方程组的应用，正确理解题意、根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等得出方程组是关键． 【变式7-2】（七年级下·河北·阶段练习）已知是一个二元一次方程组的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】根据已知条件，写出符合题意的方程组． 【详解】根据二元一次方程组的定义可知，符合题意的方程组可以为不唯一， 故答案可以为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义以及构造二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的定义． 【考点题型八】根据实际问题列二元一次方程组（） 【例8】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）学校计划采购一批白色和黄色乒乓球，若购买白色乒乓球3盒、黄色乒乓球2盒，共需34元；若购买白色乒乓球2盒、黄色乒乓球3盒，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（   ） A．每盒白色乒乓球比黄色乒乓球贵2元 B．白色乒乓球比黄色乒乓球多买了2盒 C．每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元 D．白色乒乓球比黄色乒乓球少买了2盒 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：由题意可知设每盒白色乒乓球为元，每盒黄色乒乓球为元，则有“”表示每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元； 故选：C． 【变式8-1】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）某工厂现有105名工人，一名工人每天可生产8个螺杆或26个螺母，2个螺母和1个螺杆为一套，现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套没有剩余，若设安排x名工人生产螺杆，y名工人生产螺母，则列出正确的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设安排个工人做螺杆，个工人做螺母，根据“工厂现有105个工人”和“一个工人每天可做8个螺杆或26个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套”列出方程组即可． 【详解】设安排个工人做螺杆，个工人做螺母， 由题意得：，即， 故选：C． 【变式8-2】（七年级下·河北秦皇岛·期中）某乡镇私营和集体共有50家创汇企业，其中私营企业数比集体企业数的2倍少10家，问该乡镇私营企业和集体企业各有多少家？设私营企业有家，集体企业有家，根据题意可列方程组是 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据私营企业数+集体企业数，私营企业数=集体企业数的2倍，列方程组即可． 【详解】根据题意列方程组得 故答案为： 【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，解题的关键是找等量关系． 【考点题型九】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)（） 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元．已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（   ） A．元、元 B．元、元 C．元、元 D．元、元 【答案】C 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，正确列出方程组是解题的关键. 设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、元，根据题意列方程组，解方程组即可得到答案. 【详解】解：设调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、元， 根据题意列方程组得：， 解得：， 调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为元、元， 故选：C. 【变式9-1】（22-23七年级下·河北保定·期末）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件和被墨水污染的第一个方程，并求解这道应用题． 应用题：小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，  ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，同样的空调两台，共花费7200元，求“五一”前同样的电视和同样的空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台x元，同样的空调每台y元，根据题意，得    解决问题： (1)被墨水污染的第一个方程是：________；被墨水污染的条件是：________； (2)求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 【答案】(1)；同样的空调每台降价400元． (2)“五一”前同样的电视每台2500元，同样的空调每台3000元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据方程②可找出表示每台空调在“五一”促销活动中的售价，进而可得出被墨水污染的条件为同样的空调每台降价400元，根据小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，可得出； （2）根据题意解方程组即可． 【详解】（1）解：设“五一”前同样的电视每台元，空调每台元，方程②为， 表示每台空调在“五一”促销活动中的售价， 被墨水污染的条件是：同样的空调每台降价400元． 小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元， 被墨水污染的第一个方程是：． 故答案为： ；同样的空调每台降价400元． （2）设“五一”前同样的电视每台x元，同样的空调每台y元，根据题意，列方程组 得， 解得， 答：“五一”前同样的电视每台2500元，同样的空调每台3000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式9-2】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）某班部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．由班长统计后去商店购买，班长和售货员的对话信息如图所示： (1)根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，求足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个（）和跳绳b根，且恰好花费1800元，已知足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ (3)若（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的相同，为了使销售获利最多，应选择那种购进方案？ 【答案】(1)足球和跳绳的单价分别为100元，20元 (2)共有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根 (3)应该选择方案一，购进足球18个，跳绳24根 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设足球和跳绳的单价分别为元，由题意得，，计算求解即可； （2）由题意知，，当全买足球时，可买足球的数量为，则，对的取值进行求解讨论即可； （3）对（2）中的方案分别计算利润，然后比较即可． 【详解】（1）解：设足球和跳绳的单价分别为元， 由题意得，，解得， ∴足球和跳绳的单价分别为100元，20元； （2）解：由题意知，， 当全买足球时，可买足球的数量为， ∴， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； ∴共有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根； （3）解：方案一的利润为：（元）， 方案二的利润为：（元）， ∵， ∴应该选择方案一，购进足球18个，跳绳24根． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．理解题意并正确的列等式是解题的关键． 【考点题型十】几何问题(二元一次方程组的应用)（） 【例10】（七年级下·河北保定·期末）如图，在长为30米，宽为20米的长方形花园里，原有两条面积相等的小路，其余部分绿化.现在为了增加绿地面积，把公园里的一条小路改为绿地，只保留另一条小路，并且使得绿地面积是小路面积的4倍，则x与y的值分别为（    ） A．3，2 B．5，4 C．6，5 D．6，4 【答案】D 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据两条小路面积相等，改造后绿地面积是小路面积的4倍，列出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组在生活中的应用，理解题意，结合图形，找出等量关系，是解题的关键． 【变式10-1】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为，则小长方形的周长为 ． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形并结合题意得出二元一次方程组，解方程组即可得出的值，从而即可得解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意得， 解得：， ∴小长方形的周长为， 故答案为：． 【变式10-2】（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．    【答案】64 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据长方形的长、宽关系得出关于x、y的方程组，解方程组求出x、y后，再用大长方形的面积减去8个小长方形的面积求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，根据题意得 解得， ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、找准相等关系列出方程组是解题关键． 【考点题型十一】图表信息题(二元一次方程组的应用)（） 【例11】（22-23七年级下·河北邢台·期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量克．根据这两个等量关系式可列一个方程组，进行求解即可． 【详解】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克． 由题意列方程组得：， 解方程组得：． 即：每块巧克力的质量是20克． 故选：B． 【点睛】题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程组是关键． 【变式11-1】（七年级下·河北邯郸·期中）科技馆门票价格规定如下表． 购票张数 1﹣50张 51﹣100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有 人，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 元． 【答案】 56 347 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】设七年级②班有x人，七年级①班有y人，由题意：七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元，列出方程组，解方程组即可，再求出购买103张票的总钱数，即可求解． 【详解】解：设七年级②班有x人，七年级①班有y人， 由题意得：， 解得：， ∴七年级②班有56人， 1377-10×103=347（元）． 即如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省347元， 故答案为：56，347． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【考点题型十二】古代问题(二元一次方程组的应用)（） 【例12】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？设井深为尺，绳子长为尺，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了古代问题的列二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题的关键；根据“将绳三折测之，绳多四尺”，即绳长的减去4尺等于井深，得方程；根据“将绳四折测之，绳多一尺”，即绳长的减去1尺等于井深，得方程；由此即得结果． 【详解】解：由题意得：； 故选：D 【变式12-1】（2025·河北石家庄·三模）《九章算术》中有这样一题：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．问家数、牛价各是多少．下列说法正确的是（   ） A．设有x家，则牛价为钱 B．设有x家，则可列方程为 C．设有x家，则牛价为y钱，则可列方程组为 D．设有x家，牛价为y钱，则可列方程组为 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用)、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．设有x家，牛价为y钱，由每7家共出钱，会差钱，每9家共出钱，又多了钱，列方程即可． 【详解】解：设有x家，牛价为y钱， 根据题意可列方程为，故A选项，B选项错误； 则可列方程组为，故C选项错误，D选项正确； 故选：D． 【变式12-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）设合适的未知数，列出二元一次方程组： (1)一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大． (2)《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半面钱亦五十，问甲乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？” 【答案】(1) (2) 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意正确列方程组即可． （1）设，根据平角的定义和的度数比的度数大列方程组即可； （2）设甲的钱数为，乙的钱数为，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50”列方程组即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得； （2）解：设甲的钱数为，乙的钱数为， 根据题意，得． 【考点题型十三】其他问题(二元一次方程组的应用)（） 【例13】（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）对于题目：“小丽同学带11元钱去买钢笔和笔记本（两种文具都买），钢笔每支3元，笔记本每本1元，那么钢笔能买多少支？”，甲同学的答案是1支，乙同学的答案是2支，丙同学的答案是3支，则正确的是（    ） A．只有甲的答案对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、乙、丙答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙答案合在一起也不完整 【答案】C 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设买钢笔支，笔记本本，依题意，，根据是正整数，即可求解． 【详解】解：设买钢笔支，笔记本本，依题意， ， ∵是正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【变式13-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 a 超过10吨不超过15吨的部分 b 超过15吨的部分 已知佳琪家2024年3月份用水11吨，交水费元；4月份用水14吨，交水费75.2元． (1)求a，b的值． (2)佳琪家5月份交水费元，则佳琪家5月份用水多少吨？ 【答案】(1)a的值是4，b的值是6 (2)佳琪家5月份用水量18吨 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得佳琪家本月用水量为多少吨． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得， 即a的值是4，b的值是6；． （2）设佳琪家5月份用水x吨， 根据题意知，15吨的水费为：， ∵， ∴佳琪家5月份计划用水超过了15吨． ∴． 解得， 即佳琪家5月份用水量18吨． 【考点题型十四】三元一次方程组的应用（） 【例14】（24-25七年级下·全国·单元测试）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中，且均为整数， 根据题意得，， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； ②当时，， ∴ ∵，且均为整数， ∴当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：C． 【变式14-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 【答案】287 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，设原来的三位数的百位数字为x、十位数字为y、个位数字为z，则原来的三位数表示为：，新数表示为：，故根据题意列三元一次方程组即可求得． 【详解】解：设原来的三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 根据题意，得， 解得， 故原来的三位数是287． 故答案为：287． 【变式14-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 【答案】上坡路是，平路是，下坡路是 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，先设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是．结合小明从家到学校的路程是，保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用，进行列式，再解出，即可作答． 【详解】解：设小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 由题意，得， 解得， 故小明从家到学校的上坡路是，平路是，下坡路是． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 二元一次方程组（8个考点梳理+14题型解读） 清单01 二元一次方程的定义 （1）二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 清单02 二元一次方程组的定义 （1）二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数． ③每个方程都是一次方程． 清单03 二元一次方程组的解 （1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 清单04 解二元一次方程组 （1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解． （2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 清单05 由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 清单06 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 清单07 解三元一次方程组 （1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2）解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 清单08 三元一次方程组的应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 【考点题型一】二元一次方程的定义（） 【例1】（24-25七年级下·河北邢台·期中）下列方程是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列方程中，属于二元一次方程的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【变式1-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）根据下列语句，分别设出适当的未知数，列出二元一次方程（不求解）． (1)甲数的2倍比乙数的一半少3； (2)工厂加工一批机器零件，计划完成1088个，甲先做3天后乙再加入，两人共同再做6天刚好完成． 【考点题型二】二元一次方程的解（） 【例2】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）关于x，y的方程中“”处的系数印刷不清楚，已知是这个方程的一组解，则“”处的数是（   ） A． B．1 C．2 D．7 【变式2-1】.（24-25七年级下·河北唐山·期中）若是方程的解，则 ． 【变式2-2】.（七年级下·河北邯郸·阶段练习）一个两位数，若它刚好等于它各位数字之和的整数倍，我们称这个两位数为本原数；把一个本原数的十位数字、个位数字交换后得到一个新的两位数，我们称这个新的两位数为本原数的奇异数． (1)一本原数刚好是组成它的两个数字之和的4倍．请写出符合条件的所有本原数； (2)一本原数刚好等于组成它的数字之和的3倍，它的奇异数刚好是两个数字之和的倍．求的值 【考点题型三】代入消元法（） 【例3】（24-25七年级下·河北唐山·期中）下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（   ） 解： 由①得③；步骤一 把③代入②得；步骤二 去分母得；步骤三 解得，再由③得.步骤四 A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【变式3-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）在方程中，用含的代数式表示为： ． 【变式3-2】（24-25七年级下·河北邢台·期中）下面是两个同学解方程组时，不完整的解题过程： 甲同学：①②得，． 乙同学：由①得③，将③代入②得，，． (1)甲和乙两位同学的解题过程中，出现错误的同学是______； (2)请你对一个同学的错误解题过程改正并完善． 【考点题型四】加减消元法（） 【例4】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）已知关于，的二元一次方程组，无论为何值，与的值总满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）已知关于，的二元一次方程组有下列说法：①当时，；②当与互为相反数时，解得；③当时，；④无论为何值，与的值一定满足关系式，其中正确的是 ．（填序号） 【变式4-2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）习题课上，老师展示了一位同学解方程组的解答过程： 解方程组． 解：由①得③，第一步 把③代入①得，第二步 整理得，第三步 所以可以取一切实数，原方程组无解，第四步 (1)该同学解方程组的方法是_____________消元法，从第_____________步开始出现错误． (2)请你用另一种方法解这个方程组． 【考点题型五】已知二元一次方程组的解求参数（） 【例5】（23-24七年级下·河北沧州·期中）已知关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式5-1】（七年级下·河北衡水·期末）已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解为，则a的值为 ； （2）若x+y＝﹣3，则a的值为 ． 【变式5-2】（七年级下·河北石家庄·期末）李宁在解二元一次方程组时，发现系数“”印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请求出二元一次方程组的解； (2)张老师说：“你猜错了，我看到该题的标准答案显示，互为相反数．”通过计算说明原题中“”是几？ 【考点题型六】二元一次方程组的特殊解法（） 【例6】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则关于x，y的二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23七年级下·河北保定·期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题： 已知实数、满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得整式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用上面的知识解答下列问题： （1）已知、满足方程组，则的值为 ，的值为 ； （2）已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【变式6-2】（七年级下·河北邯郸·阶段练习）嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下． 解：将方程②变形，得． 将①代入③，得． 解这个方程，得． 把代入①，得．所以原方程组的解为 嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题． (1)解方程组 ①把方程①代入方程②，则方程②变为______________________； ②原方程组的解为____________________； (2)解方程组 【考点题型七】构造二元一次方程组求解（） 【例7】（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）已知单项式与能合并成一项，那么的值分别是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．6 【变式7-2】（七年级下·河北·阶段练习）已知是一个二元一次方程组的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组 . 【考点题型八】根据实际问题列二元一次方程组（） 【例8】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）学校计划采购一批白色和黄色乒乓球，若购买白色乒乓球3盒、黄色乒乓球2盒，共需34元；若购买白色乒乓球2盒、黄色乒乓球3盒，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（   ） A．每盒白色乒乓球比黄色乒乓球贵2元 B．白色乒乓球比黄色乒乓球多买了2盒 C．每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元 D．白色乒乓球比黄色乒乓球少买了2盒 【变式8-1】（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）某工厂现有105名工人，一名工人每天可生产8个螺杆或26个螺母，2个螺母和1个螺杆为一套，现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套没有剩余，若设安排x名工人生产螺杆，y名工人生产螺母，则列出正确的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（七年级下·河北秦皇岛·期中）某乡镇私营和集体共有50家创汇企业，其中私营企业数比集体企业数的2倍少10家，问该乡镇私营企业和集体企业各有多少家？设私营企业有家，集体企业有家，根据题意可列方程组是 ． 【考点题型九】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)（） 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨，乙地降价元．已知销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（   ） A．元、元 B．元、元 C．元、元 D．元、元 【变式9-1】（22-23七年级下·河北保定·期末）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件和被墨水污染的第一个方程，并求解这道应用题． 应用题：小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，  ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，同样的空调两台，共花费7200元，求“五一”前同样的电视和同样的空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台x元，同样的空调每台y元，根据题意，得    解决问题： (1)被墨水污染的第一个方程是：________；被墨水污染的条件是：________； (2)求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 【变式9-2】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）某班部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．由班长统计后去商店购买，班长和售货员的对话信息如图所示： (1)根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，求足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个（）和跳绳b根，且恰好花费1800元，已知足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，求该商店老板有哪几种购进方案？ (3)若（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的相同，为了使销售获利最多，应选择那种购进方案？ 【考点题型十】几何问题(二元一次方程组的应用)（） 【例10】（七年级下·河北保定·期末）如图，在长为30米，宽为20米的长方形花园里，原有两条面积相等的小路，其余部分绿化.现在为了增加绿地面积，把公园里的一条小路改为绿地，只保留另一条小路，并且使得绿地面积是小路面积的4倍，则x与y的值分别为（    ） A．3，2 B．5，4 C．6，5 D．6，4 【变式10-1】（23-24七年级下·河北廊坊·期末）如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为，则小长方形的周长为 ． 【变式10-2】（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．    【考点题型十一】图表信息题(二元一次方程组的应用)（） 【例11】（22-23七年级下·河北邢台·期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（    ）    A． B． C． D． 【变式11-1】（七年级下·河北邯郸·期中）科技馆门票价格规定如下表． 购票张数 1﹣50张 51﹣100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有 人，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 元． 【考点题型十二】古代问题(二元一次方程组的应用)（） 【例12】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？设井深为尺，绳子长为尺，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025·河北石家庄·三模）《九章算术》中有这样一题：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．问家数、牛价各是多少．下列说法正确的是（   ） A．设有x家，则牛价为钱 B．设有x家，则可列方程为 C．设有x家，则牛价为y钱，则可列方程组为 D．设有x家，牛价为y钱，则可列方程组为 【变式12-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）设合适的未知数，列出二元一次方程组： (1)一副三角板按如图方式摆放，且的度数比的度数大． (2)《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半面钱亦五十，问甲乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？” 【考点题型十三】其他问题(二元一次方程组的应用)（） 【例13】（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）对于题目：“小丽同学带11元钱去买钢笔和笔记本（两种文具都买），钢笔每支3元，笔记本每本1元，那么钢笔能买多少支？”，甲同学的答案是1支，乙同学的答案是2支，丙同学的答案是3支，则正确的是（    ） A．只有甲的答案对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．甲、乙、丙答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙答案合在一起也不完整 【变式13-1】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：水价计费=自来水销售费用+污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 a 超过10吨不超过15吨的部分 b 超过15吨的部分 已知佳琪家2024年3月份用水11吨，交水费元；4月份用水14吨，交水费75.2元． (1)求a，b的值． (2)佳琪家5月份交水费元，则佳琪家5月份用水多少吨？ 【考点题型十四】三元一次方程组的应用（） 【例14】（24-25七年级下·全国·单元测试）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【变式14-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ． 【变式14-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）小明从家到学校的路程是，其中有一段上坡路，一段平路和一段下坡路．如果保持上坡路每小时行，平路每小时行，下坡路每小时行，那么小明从家到学校要用，从学校到家要用．小明从家到学校的上坡路，平路，下坡路分别是多少千米？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$