精品解析：上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（A卷）

复旦大学附属中学2024—2025学年第二学期 高二年级数学期中考试A卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 1. 直线的倾斜角是________. 2. 圆的圆心坐标为________． 3. 已知向量为直线的一个法向量，则a的值为________． 4. 已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________． 5. 在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为________． 6. 双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为________． 7. 已知为圆上一动点，则的最大值为________． 8. 若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为________． 9. 已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为_________． 10. 若曲线上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为________． 11. 圆与曲线有且仅有三个公共点，则r的取值范围是________． 12. 直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是________． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 13. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 14. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 15. 某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆Γ，太阳的中心是Γ的一个焦点．若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为ρ，最小值为μ，太阳半径为r，则椭圆Γ的离心率为（ ） A. B. C. D. 16. 已知曲线Γ的对称中心为O，如果对于曲线Γ上的任意一点A，都存在Γ上另外的两点B、C，使得的垂心为O，则称Γ为“自垂曲线”．现有如下两个命题：①任意双曲线都是“自垂曲线”；②任意椭圆都是“自垂曲线”．则下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 18. 如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线l的方程为．过原点O作直线l的平行线与椭圆Γ交于M、N两点． （1）求证：直线l与椭圆Γ有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标； （2）记（1）中的公共点为P，求证：P、M、、N四个点在同一圆C上，并求圆C的一般方程． 19. 学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远． （1）P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由； （2）若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）． 20. 如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点是角α终边上的点（异于原点），设，将点P绕O逆时针旋转θ后得到． （1）求证：． （2）已知曲线是函数的图象，曲线绕原点O逆时针旋转后得到，求的标准方程； （3）已知曲线表示一个中心在原点的椭圆，Q为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点Q作直线交曲线于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交曲线于点G、H，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． （1）已知定点，，，直线l的方程为，求的值； （2）已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； （3）若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2024—2025学年第二学期 高二年级数学期中考试A卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 1. 直线的倾斜角是________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线的斜截式方程求出直线的斜率，最后根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】由可知：该直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 所以有，因为，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查了已知直线方程求直线的倾斜角，考查了直线斜率与直线倾斜角的关系，属于基础题. 2. 圆的圆心坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】化一般方程为标准方程，得到圆心坐标. 【详解】圆， 得， 得圆心坐标为. 故答案为： 3. 已知向量为直线的一个法向量，则a的值为________． 【答案】976 【解析】 【分析】根据直线法向量定义计算求参. 【详解】因为向量为直线的一个法向量， 则，所以. 故答案为：976. 4. 已知椭圆的左焦点为F，A、B为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据椭圆定义得出焦点三角形周长即可. 【详解】因为椭圆，所以，设椭圆右焦点为， 由椭圆定义得 则的周长为． 故答案为：8. 5. 在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用中点坐标公式，设出线段中点的坐标以及点的坐标，再根据点在已知曲线上，将点的坐标代入曲线方程，进而得到中点的轨迹方程. 【详解】设线段的中点为，点的坐标为. 因为是的中点，所以可得，即. 因为点在曲线上，所以将代入曲线方程可得.化简得： 故答案为：. 6. 双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】求解双曲线的渐近线方程，然后求解夹角即可． 【详解】双曲线的两条渐近线为，直线的倾斜角为，，， 所以两条渐近线的夹角的余弦值为． 故答案为：． 7. 已知为圆上一动点，则的最大值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】设，由题意直线与圆有公共点，通过圆心到直线的距离与半径的关系可以求解. 【详解】设，则在直线上， 又因为在圆上， 所以直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 所以的最大值为. 故答案为：. 8. 若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出中点弦的端点，的坐标，代入椭圆方程，再利用中点的坐标即可求出直线的斜率，从而得解. 【详解】设，，依题意，点，在椭圆上， 所以，两式相减得，， 即，变形得， 因为的中点为，所以，， 设直线的斜率为， 所以， 所以直线的方程为，化为斜截式方程为. 故答案为：. 9. 已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据抛物线定义，利用数形结合，即可求解. 【详解】依题意知抛物线的焦点，连接， 则点到直线的距离，所以， 其中的最小值，即点F到直线的距离，即， 当且仅当点P在F到直线的垂线上且P在F和之间时，等号成立，即的最小值为5． 故答案为：5 10. 若曲线上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线的对称性，只需要分析第一象限的情况，故，，根据三角函数的有界性求出最值即可 【详解】设上任意的一点， 将代入方程，方程不变， 所以曲线关于 x轴、y轴、原点以及直线对称， 不妨设，， 代入得 ， 所以， 由，得， 即 又，即， 当且仅当时，，此时曲线上的点到原点的最大距离， 即该圆半径的最大值为， 故答案为： 11. 圆与曲线有且仅有三个公共点，则r的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程求解一个交点，另两个利用导函数求出极值，根据极小值小于零时有2个零点求解即可 【详解】由， 解得或， 所以是一个公共点， 所以方程有2个不同的非零解， 令有2个不同的非零的零点， 所以， 所以，； 所以在单调递减；在单调递增； 所以在处取得极小值 ， 要保证有两个不同的非零实数解， 所以， 而， 所以， 故答案为： 12. 直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于C、D两点（从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线Γ的离心率的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，根据得出，再利用，，成等差数列，可得，利用及韦达定理进行化简可得出，即可求离心率的范围. 【详解】由题意可知，直线的斜率存在，故设直线， 设， 联立，可得， 则，， 则 ， 联立，可得， 则，， 则， 因为，所以， 即， 则， 化简得， 因为，所以，所以，即得， 因为，所以中点为的中点，所以， 因为成等差数列，所以， 又因为从左到右依次排列，所以， 所以， 则 ， 得， 与联立得，， 因，则， 又，则，则，则， 综上， 双曲线Γ的离心率的取值范围是. 故答案为： 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 13. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的标准方程可知圆心坐标与半径，比较圆心距与半径和差的大小，可得答案. 【详解】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交. 故选：C. 14. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可. 【详解】当时，，所以或， 当时，直线：，直线：，两直线不重合， 当时，直线：，即， 直线：，两直线不重合， 所以当或时，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 15. 某彗星绕太阳运动的轨道是椭圆Γ，太阳的中心是Γ的一个焦点．若该彗星在绕太阳运动的过程中，距太阳表面距离的最大值为ρ，最小值为μ，太阳半径为r，则椭圆Γ的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的焦距为，长轴长为，根据题意得到，计算可得离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，长轴长为， 则由已知可得， 两式相加可得，两式相减可得， 则，， 所以离心率. 故选：A. 16. 已知曲线Γ的对称中心为O，如果对于曲线Γ上的任意一点A，都存在Γ上另外的两点B、C，使得的垂心为O，则称Γ为“自垂曲线”．现有如下两个命题：①任意双曲线都是“自垂曲线”；②任意椭圆都是“自垂曲线”．则下列判断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据自垂曲线的概念，结合双曲线、椭圆的几何性质，判断对于曲线上的任意点A，若存在点B和点C满足题意条件，则有借助于圆锥曲线的参数方程可构造出各点的坐标，再验证各点是否在曲线上，从而判断出双曲线和椭圆是否是自垂曲线，从而得出答案. 【详解】对于命题①，设双曲线方程为，因为，所以可令（为参数且），则， 则双曲线上任意一点的坐标为， 又因为O是的垂心，则有 则可取方向向量， 方向向量, 则，， 将点B和点C满代入双曲线得，，，故点都不满足要求，故双曲线不是自垂曲线，故命题①不正确. 命题②，设椭圆方程为，因为，可令（为参数），则， 则椭圆上任意一点的坐标为， 又因为O是的垂心， 则可取方向向量， 方向向量 则， 将点B和点C满代入双曲线得，， ，故点都满足要求，所以椭圆是自垂曲线。 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是会利用双曲线和椭圆的参数方程结合向量知识，构造出点的坐标，再代入曲线加以验证即可得出结论. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． （1）求抛物线Γ的方程； （2）若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； （3）设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】（1）； （2）8 （3）证明如下： 由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【小问1详解】 抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； 【小问2详解】 直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. 【小问3详解】 略 18. 如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线l的方程为．过原点O作直线l的平行线与椭圆Γ交于M、N两点． （1）求证：直线l与椭圆Γ有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标； （2）记（1）中的公共点为P，求证：P、M、、N四个点在同一圆C上，并求圆C的一般方程． 【答案】（1） 联立Γ与l的方程， 得，该方程仅有一解． 故Γ与l有且仅有一个公共点． （2） 依题意，直线的方程为， 联立椭圆可得，即， 于是，，，． 设圆的方程为，代入、P、M，可得： ，解得， 解得，，，此时圆方程为， 将点代入上述方程，得， 所以点N也在此圆上，故P、M，，N四点共圆． 【解析】 【分析】（1）联立Γ与l的方程，求解方程组得解； （2）设圆的方程为，代入、P、M，可得圆的方程，再验证点N在圆上. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆M、半圆N拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有P、Q两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求P、Q的距离尽可能远． （1）P、Q两位同学应处在什么位置？请说明理由； （2）若要在操场边界上关于中轴线对称的两点R、S处分别放置两个音箱（R、S两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时P、Q两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）． 【答案】（1）P、Q分别在圆弧的中点，理由如下： 由题意可得 ， 当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大， 此时P、Q两点分别在圆弧的中点，距离为160米． （2）36.8 【解析】 【分析】（1）根据，当P、M、N、Q四点共线时，P、Q两点间的距离最大； （2）如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系，则A、B两点在以C、D为焦点的双曲线上，根据双曲线性质得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以所在的直线为x轴，以中轴线为y轴建立平面直角坐标系， 则，． 根据题意可得， 则C、D两点在以A、B为焦点的双曲线上，，即． 设双曲线方程为，则， 解得， 所以，即． 因此音箱距中轴线距离约为36.8时为最佳放置点． 20. 如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点是角α终边上的点（异于原点），设，将点P绕O逆时针旋转θ后得到． （1）求证：． （2）已知曲线是函数的图象，曲线绕原点O逆时针旋转后得到，求的标准方程； （3）已知曲线表示一个中心在原点的椭圆，Q为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点Q作直线交曲线于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交曲线于点G、H，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明如下： 点是角α终边上的点（异于原点），设， 则， 经过逆时针旋转θ到后，角终边与重合， 所以， ，得证． （2） （3）是，定值为 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简得证； （2）设曲线上一点为，表达出，，利用代入法求曲线的方程； （3）方法一：设长轴在x轴上的椭圆一点为，根据题意先求得，分直线旋转后斜率不存在和存在两种情况，设出直线旋转后的方程，直线旋转后的方程，联立椭圆，结合韦达定理可得； 方法二：设长轴在x轴上的椭圆一点为，根据题意先求出，故，分斜率不存在，斜率为且0和斜率存在且不为0三种情况，设出直线方程，联立，可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设曲线上一点为， 逆时针旋转后的点在的图像上， 由（1）知：，， 代入得， 化简即得曲线的方程为． 【小问3详解】 方法一：设长轴在x轴上的椭圆一点为， 逆时针旋转得到点在的图像上， 由（1）知，，满足， 于是得． 因此且， 由不等式可得，故， 由此得，所以， ，故． 点Q旋转后的坐标为． 当直线旋转后斜率不存在时，中，令得， 解得，则， 此时直线为轴，故，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，直线旋转后为， 旋转后，，． 与椭圆方程联立，即， 可得， 则由韦达定理得，， 故 ， 将代入椭圆方程中，有，， 故， 则． 方法二：设长轴在x轴上的椭圆一点为， 逆时针旋转得到点在的图像上， 由（1）知，，满足， 于是得． 因此且， 由不等式可得，故， 由此得， 又，故，当斜率不存在时，直线方程为， 中，令得， 此时、满足，故， 于是， 此时直线为，中，令， 解得，故， 此时． 当斜率为0时，直线方程为，此时同理得； 当斜率存在且不为0时，设直线，． 设，，联立与得， 故， 则联立椭圆联立得， 有， 故， 则， 故． 21. 在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． （1）已知定点，，，直线l的方程为，求的值； （2）已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； （3）若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 【答案】（1） （2） 设，，，直线， 对任意固定的a、b，要使得 ，最小， 那么由二次函数的性质可得，， 此时直线方程为， 过的重心，因此过的重心． （3）等边三角形，证明如下： 由（2）知，取最小值时，l过的重心，不失一般性， 不妨设，，，其中， 此时l的方程为，这里θ表示直线l的倾斜角， 此时 ， 此时为关于θ的函数、定义域为的函数， 令，，， 则， 若或，那么函数在上有且仅有一个最小值，这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾． 因此必须有且，即， 由得， 不妨取， 所以，，， 所以，即， 所以为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据定义及点到直线距离公式即可求解； （2）设，，，直线，根据定义得出，由二次函数的性质得，，代入直线方程即可证明； （3）不妨设，，，，l的方程为，，得出，由反证法得出，即可证明． 【小问1详解】 ，，， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $