湖北省新八校协作体2025届高三下学期5月模拟考试数学试题

2025年高三5月壮行考试 数 学 全卷满分150分,考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答 题区域均无效。 3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把对应题目所选答案的标号涂黑:非选择题用黑色签字笔直 接答在答题卡上对应的答题区域内。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1 知A=ixeZly=ln(-x2}+2x+8)),B=(vyly=2’,xeR,则AB=() A.(-2,4) B.(0.4) C. (-1,0.1.2.3) D. (1,231 2. 已知复数:满足/2022+2-i-z(i是虚数单位),复数:在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 己知数列(a.),满足a,=6,对vm,neN',都有a..=a.+a.成立,S.为数列(a)的前n 项和,则S。=() A. 55 B. 60 C.100 D. 110 某科技公司研发部有40名员工,市场部有60名员工.统计两个部门员工参与机器人项目开 发的周均时长(单位:小时),得到研发部样本数据的平均值为30小时,方差为18,市场部 样本数据的平均值为25小时,方差为12.则该科技公司参与机器人项目研发的周平均时长; 和方差2的值分别为() B. 7=27 A. x-27.5 2=15 2_15 C. x=27 。2-20.4 D. r-9.5 =30 数学试卷(共4页)第1页 A.0 B.1 C.-1 D. 2 已知mn7是同一个平面内的三个向量,则“m.(i7)=(m·n):7”是“m/”的() A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知圆锥的母线长为6,其内切球和外接球球心重合,则该圆锥外接球的表面积为( A. 48r B. 36t C. 24r D. 12n 8. 1与x轴,y轴分别交于C,D两点,且AD-2DB.DB-BC,则双曲线E的离心率为( ) B. D A.4 C.2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9. 已知数列(a)的前n项和为S.,且S.-3”+r,下列说法正确的是( ) A. 当r-3时,数列(a.)是递增数列 B. 若数列(a.)是等比数列,则r--1 C. 数列(a)一定是等比数列 D. 数列(a)一定是等比数列 10. 函数y=tanx与y=cosx,xe[0,4r]有n个交点,坐标分别为(x,y).,(x,y) (x<x<.<x.),下列说法正确的是() A. sing-#5-1 B.n=4 2 D. (t)-60 $1. 设样本空间O=x,×,.,x×),每个样本点等可能出现.已知事件A=&,x,,) B={,x,x,x),事件C需同时满足以下两个条件:①P(ABC)=P(A)P(B)P(C). ②P(AC)*P(A)P(C),下列说法正确的是( ) A. 事件C可以为x,x,x×,x B. 事件(ABC)可能包含2个样本点 C. 事件(AC)可能包含1个样本点 D. 事件C的可能情况数是16个 数学试卷(共4页)第2页 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12. 已知抛物线y?=2px(p>0)的焦点关于其准线对称点坐标为(-3,0),则p的值为__ 14. 锐角A4BC中,角A.B.C所对的边为a,b,c,A=2B,a+b-3,则边c的取值范围是 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=x?-alnx(a>0). (1)求函数f(x)的单调区间: 16.(15分) 如图,四 锥P-ABCD中,PA1底面ABCD,AD1PB,PA=AC-2. BC=1.AB=$. (1)证明:AD//平面PBC; ,求AD的长 5 17. (15分) (1)若CD=3,求AD的长; (2)若 B=2/D,3BC=4CD,求AD的长 数学试卷(共4页)第3页 18.(17分) 某人工智能公司开发了一款图像识别模型,测试时从两个测试集(A和B)中随机抽取1张 再次测试会动态调整规则:若某 (1)首次测试时,随机抽取一张图片,模型识别正确的概率 (2)已知首次测试模型识别错误,求该图片来自测试集A的概率 (3)连续测试3次(第一次为首次测试,每次测试后根据测试结果调整测试集选择概率). 记X为这3次测试中识别正确的次数,求X的分布列及数学期望 19.(17分) 2 ##-。 对于平面上的 ×+x2-- 2r /(,y) 点P(x.y),以及A(x,y),B(x,y),若 2 ,则称A,B关于点P“f-共辄”, y_- /(,y) 它们互为“f-共辄点”;如果A,B还满足同时在圆E上,则称A.B为点P的“E.-共辄点 (1)已知点A(2.2),P(3.1),若A,B关于点P“f-共辄”,求点B的坐标; (2)对圆外任意点P,证明:点P的“E.一共辄点对”必存在 (3)若点P在直线x=4上运动,M(2.0),且A,B为点P的“E.-共辄点对”,求AMAB 面积的最大值. 数学试卷(共4页)第4页数学答案（共 8 页）第 1 页 2025年高三 5月壮行考试 数学参考答案 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.【答案】D 【解析】因为 2 2 8 0 2 4x x x       , { | 2 4}, { | 0}, { | 0 4} {1, 2,3}A x Z x B y y A B x Z x            答案选 D. 2. 【答案】B 【解析】 2025 2 2 ( 1) 2i z i z iz i z i z i           所以 2 1 3 1 2 2 iz i i       ，选 B. 3.【答案】D 【解析】当 1m  时，得到 11n na a a   ，所以{ }na 是以 1a 为首项，以 1a 为公差的等差数列，所 以 1na na ，因为 3 6a  ，所以 1 2a  ，所以 10 110S  .答案选 D. 4. 【答案】C 【解析】平均值 40 6030 25 27 100 100 x      方差 2 2 240 60[18 (30 27) ] [12 (25 27) ] 20.4 100 100 s        ,答案选 C. 5. 【答案】A 【解析】函数的定义域为 ( 1,1) 容易证明： 1ln( ) 1 xy x    是偶函数，因此 1( ) (2 ) ln( ) 1 xf x x a x     是奇函数，可以得到 2y x a  是奇函数，易得实数 a的值为 0.答案选 A. 6.【答案】C 【解析】当 0n    时， ,m l   可以是任意向量，因此是不充分条件； 当m l   时，若 0l    ，显然 ( ) ( )m n l m n l           成立；当 0l    ，因为m l   ，所以m kl  ，因 数学答案（共 8 页）第 2 页 此 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )m n l kl n l k n l l m n l kl n l k l n l                               ，因此 ( ) ( )m n l m n l           成立. 因此是必要条件.答案选 C. 7.【答案】A 解析： 因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到 30OSA OAS OAH       所以外接球半径 32 , 3 3 2 3 2 R OA OS OH R SH R       因此圆锥外接球的表面积为 48 .因此答案选 A. 8.【答案】D 【解析】 如图所示，设 1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( ,0), (0, )A x y B x y C x D y ， 直线 :AB y kx m  ， 因为DB BC   ，所以 B是 CD的中点， 因此 0 2 0 2 2 2 xx yy       ，且 0 0 1 2 yk x    2 ,AD DB   所以 1 0 1 2 2 0(0 , ) 2( 0, )x y y x y y     ，因此 1 0 1 0, 2x x y y   因为 ,A B在双曲线上，所以 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 4 1, 1 4 4 x y x y a b a b     ， 数学答案（共 8 页）第 3 页 两式相减得 22 0 2 2 0 5 5 4 yb a x   ，即 2 2 2 3 2 a be a    . 答案选 D. 二､ 选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.【答案】BD 【解析】因为 3nnS r  ，所以 1 1 1 3 , 1 2 3 , 2n nn n S r n a S S n         当 3r  时， 1 2 6a a  ，所以数列{ }na 不是递增数列； 数列{ }na 是等比数列，则3 2 1r r     ； 因为 2 1 2 2 3 n na   ，所以数列 2{ }na 一定是等比数列；当 1r   时，数列 2 1{ }na  不是等比数列. 因此答案选：BD. 10.【答案】ABD 解析：通过作出两个函数的图像可以得到 B选项正确，且 4个点两两关于点 3( ,0) 2  对称， 因此 D选项正确，C选项错误.因为 2 2 1 1 1 1 1 1 5 1tan cos , sin cos 1 sin sin 2 x x x x x x        ,A正确. 答案选 ABD. 11.【答案】ACD 解析：容易验证 A成立 因为 ( ) ( ) ( ) ( ),P ABC P A P B P C 所以 | | | | | | | | 4 | | | | 8 8 8 8 ABC A B C ABC C     ( ) ( ) ( ), | | 2 | |P AC P A P C C AC   因此 | |ABC 的可能取值为 0，1，2 当 | | 0ABC  时，C  ；当 | | 2ABC  时，C  ，不符合条件②， 因此 | | 1ABC  ，所以 4C  ，又因为 | | 0 4AC  或 时， | | 1ABC  因此 AC 的可能取值 1，3，且 2 5{ , }AB x x 当 1AC  且 2x C 时，此时 1 5 8, ,x x x C ，事件 C可能情况有 4种； 数学答案（共 8 页）第 4 页 当 1AC  ，且 5x C 时，事件 C可能情况有 4种； 当 3AC  且 2x C 时，此时 5x C ，事件 C可能情况有 4种； 当 3AC  且 5x C 时，此时 2x C ，事件 C可能情况有 4种； 因此事件 C的总可能情况有 16种. 答案：ACD 三､ 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12.【答案】2 解析：焦点坐标 ( ,0) 2 p ，准线方程 2 px   ，焦点关于准线方程对称点的坐标为 3( ,0) 2 p  因此 3 3, 2 2 p p     . 13.【答案】 2 3 【解析】因为 ( ) ( 2 ) 1P a P b     ，所以 2 4a b  ， 2 3 2 2 3 1 4 3( ) (8 ) 2 3 4 4 a b b a a b a b a b          ，取等条件为 2 3 2, 3 3a b    2 3 a b  的最小值为2 3 . 14．【答案】 (3 2 3,3 3 3)- - 【解析】因为 2 , sin sin 2 2sin cos 2 cosA B A B B B a b B= \ = = Þ = 由 3a b+ = 得， 3 2cos 1 b B = + ， 所以 33 3sin sin3 (3sin 4sin ) sin (2cos 1)sin (2cos 1)sin bc C B B B B B B B B = = = - + + 化简得： 6cos 3c B= - ，锐角 ABC 中， 6 4 B < < 因此边 c的取值范围是 (3 2 3,3 3 3)- - . 四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.解析：(1) 定义域  ，0 ， ( ) 2 af x x x    ,令 ( ) 0f x  解得 2 ax  当0 2 ax  时， ( ) 0f x  ，函数单调递减；当 2 ax  时， ( ) 0f x  ，函数单调递增； 数学答案（共 8 页）第 5 页 所以 ( )f x 的单调递减区间为 (0, ) 2 a ，递增区间为 ( , ) 2 a  …………….............…………….6分 (2)由已知可得 (1) 2 1f a    ，所以 1a  ，由(1)可知，函数 ( )f x 在 2(0, ) 2 单调递减，在 2( , ) 2  上单调递增，因此函数 ( )f x 的最小值为 2 1 2 1 1 1 1 3( ) ln ln 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 4 f       e ，得证. …….13分 16. 解析：(1)由 PA^底面ABCD，因此 PA AD^ ，因为 AD PB^ ，PA ∩PB=P，所以 AD PBA平面^ ；…................................................3分 底面 ABCD中， 2 1 3AC ,BC ,AB= = = ，因此 2 2 2AC BC AB= + ，得到 AB BC^ ， 由 PA^底面 ABCD，因此 PA BC^ ，PA∩AB=A，所以 BC PBA平面^ ，…….............................................................…….6分 因此 BC AD ， AD PBC平面Ë ，所以 AD PBC平面 .….....................……….7分 (2)以 A为坐标原点，AB为 x轴，AD为 y轴，AP为 z轴，设 AD t= 因此点的坐标为 (0,0,0), ( 3,1,0), (0,0, 2), (0, , 0)A C P D t ………........................................….8分 易得平面 PAB的法向量为 1 0 1 0n ( , , )  = 3 1 2 0 2PC , , ,PD ,t,   = - = -（ ） （ ），设平面 PCD的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z  所以 2 2 2 2 2 3 2 0 2 0 x y z ty z        ，令 2 2y = ，得 2 2( 3( 1), 2, ) 3 n t t   ………...........................….11分 因此 1 2 1 2 2 5 5 n n n n       ，化简得： 27 8 1 0t t   所以 11 7 t 或= 因此AD的长为 11 7 或 .…………........................................................................................................15分 数学答案（共 8 页）第 6 页 17. 解析：(1) 因为 1 cos 2 b c B a  ，所以 1 1sin sin cos sin sin cos sin 2 2 B C B A B C B    因为 1sin 0 cos , (0, ), 2 3 B C C C      ， ..........................................................………….3分 ACD 中，由余弦定理可得 19.AD  ..........................................................................………….6分 (2)由第一问可得： 2, 3 3 D CAD B CAB       ，已知 2B D   所以 2CAB CAD   ......................................................................................................………….8分 因此 ABC 中由正弦定理可知： sin sin AC BC B BAC    ， ACD 中由正弦定理可知： sin sin AC CD D CAD    ，因为3 4BC CD 所以3cos 4cos ,CAD D   ........................................................................................………….11分 因为 3 D CAD    ，得 5 3tan 9 D  5sin 52 D  ， ACD 中由正弦定理： sin sin AD AC ACD D    计算得： 2 39 5 AD  ....................................................................................................………….15分 18. 解析：(1)设事件 C为“首次识别正确”，A为“选择测试集 A”，B为“选择测试集 B”， 由全概率公式： ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P C P A P C A P B P C B    4 2 1 1 3 3 1 2 1 2( | ) ( | ) 5 3 5 3 5 5 2 5 4 5 P C A P C B         ， 代入得： 1( ) 2 P C  ；………….………….………….………….………….………….…………….4分 (2)由公式 1 2 ( ) ( ) ( | ) 22 5( | ) 1 5( ) ( ) 2 P AC P A P C AP A C P C P C      ；………….………….………….8分 (3)选择 A的概率为 1 2 时，识别正确的概率为 1 2 ，识别错误的概率为 1 2 ； 选择 A的概率为 1 3 时，识别正确的概率为 7 15 ，识别错误的概率为 8 15 ； 数学答案（共 8 页）第 7 页 选择 A的概率为 2 3 时，识别正确的概率为 8 15 ，识别错误的概率为 7 15 ；……………….…….10分 X的可能取值为 0，1，2，3 1 7 7 49( 0) 2 15 15 450 P X      1 8 7 1 8 8 1 7 8 176( 1) 2 15 15 2 15 15 2 15 15 450 P X            1 8 7 1 8 8 1 7 8 176( 2) 2 15 15 2 15 15 2 15 15 450 P X            1 7 7 49( 3) 2 15 15 450 P X      ………….………….………….………….………….………….16分 X 0 1 2 3 P 49 450 176 450 176 450 49 450 49 176 176 49( ) 0 1 2 3 1.5 450 450 450 450 E X          连续测试三次，识别正确次数的期望为 1.5 .………….………….………….………………….17分 19. 解答：（1）由题意, 2 20 0 0 0 9 13, ) 1 4 4 ( 4 xf y yx     , 故 0 01 2 1 2 8, 13 8 824 13 13 13 x yx x y y    故 2 2 2 18, 13 13 yx    ,即 2 , )1 13 8( 13 B  .………….………….………….……….…………….4分 （2）设 0 0 1 1 2 2, ), ( , ), ( , )(P y A B xx x y y ,并记 2 20 0 0 0, )( 4 xf f yx y   .则 0 0 1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 2 2 2 2xx y x f y xx f x f y yy f y                  因此,有 2 22 2 1 11 1 2 2 2 2 2 20 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 12 2 4 44 4 2 2 4 4 16 16( ) 4( 4) 4 4 x yx y x y x x y y f f f f f x y y f x y x                    数学答案（共 8 页）第 8 页 从而 2 2 0 0 0 1 0 1 2 4 016 4 16x y x f x yy f     ,即 0 1 0 14 4x yx y  .………….………….…………….8分 因此只要证明方程组 2 2 0 0 4 44 4x x y y x y       有解即可. 令 0 0 0 0, 2 2,,X x Y y X x Y y    ,故只要证明方程组 2 2 0 0 4 4 X Y X X Y Y       有解即可. , ), , ) 又 1 1 2 2( , ), ( , )1 1MA ty y MB ty y      注意到P在椭圆外,故 x0 2  4y0 2  4 ,即 X 0 2 Y0 2  4 . 考虑直线 X0X Y0Y  4和圆 X 2 Y 2  4的位置关系,容易得到方程组有解, 故存在点 A,B使 得它们关于点 P构成“ E f 共轭点对”.………….………….………….………….………….11分 (3)设 P(4, t), A(x1 y1 B(x2 y2 ,故由 (2)可知直线 AB的方程为 x  ty 1,代入椭圆方程联立 可得 (t2  4)y2  2ty 3  0 .………….………….………….………….………….…………….13分   ,故 2 1 2 2 1 2 1 2( 1 1 2 3| ( 1) 1) | | | 2 2 4 tty y yS t y yy t         ………….………….………..……….15分 令 2 3 3u t   ,故 2 2 2 2 3 11 S u u u u      ,当 0t  时取得等号.………….…………….17分 综上, MAB 面积的最大值为 3 2 . ) )