浙江省杭州高级中学临平学校2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

杭高临平高一5月检测卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D D D C C ACD AC 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，则由题意得，，解方程组，再根据圆柱的体积公式求解即可． 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， ∵圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是24， ∴，解得， ∴圆柱的体积为， 故选:D． 【点睛】本题主要考查圆柱的表面积公式与体积公式，属于基础题． 2．A 【分析】根据直观图与原图的关系分析求解即可； 【详解】由图可知，所以四边形的面积为； 根据轴不变，轴减半的原则，的坐标为：    四边形周长为 所以四边形周长与面积的数值之比为, 故选：A. 3．C 【分析】根据给定条件，利用弧长公式用圆锥底面圆半径表示其母线，再利用球与圆锥体积公式列式计算. 【详解】设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为， 由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则， 所以球的体积与圆锥的体积之比为. 故选：C 4．D 【分析】由题意可知，过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如图所示时，此时正方体的棱长最长，再根据图中的几何关系即可求出此结果． 【详解】因为圆锥的高和母线长分别为和， 则圆锥的底面半径为， 过圆锥的顶点和正方体底面对角线作圆锥的轴截面，如下图所示：    此时正方体的棱长最大，设正方体的棱长为，则 作垂直地面于，则 因为，所以， 即即，所以. 故选：D. 5．D 【分析】根据异面直线夹角的定义，在图中明确夹角，根据正四棱台的几何性质以及体积公式，求得夹角所在的直角三角形的边长，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【详解】连接，过作平面，其中垂足为，连接，如下图：    在正四棱台中，易知，， 则，所以， 因为平面，平面，所以，， 易知，所以， 因为，，所以，则， 故， 因为分别为的中点，所以， 则异面直线与的夹角为， 因为平面，平面，所以， 在正方形中，，同理可得， 在等腰梯形中，易知， 在正四棱台中，上下底面面积分别为，， 正四棱台的体积， 则，解得 在中，，. 故选：D. 6．D 【分析】取的中心，连接，即可得到平面，且与棱均相切的球的球心在上，连接并延长交于，连接，过作，交于点，设球的半径为，则，设，再利用勾股定理得到方程求出，即可得解. 【详解】取的中心，连接，则平面，且与棱均相切的球的球心在上. 连接并延长交于，则为的中点，，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 过作，交于点，设球的半径为， 则，因为，，所以，，， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设，则， 因为，从而， 所以（负值已舍去），所以； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 7．C 【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据可得，进而可得出答案. 【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面， 因为，平面，平面， 所以， 因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分， 所以，， 所以且， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到是解决本题得关键. 8．C 【分析】连接，由，，可证平面，利用线面垂直的性质即可证明． 【详解】解：如图，连接，在长方体中，平面，平面，所以， 又，即矩形为正方形， ， ，平面， 平面， 平面， ，故C正确． 对于A：与为异面直线，故A错误； 对于B：因为，显然与平面相交，故与平面相交，即B错误； 对于D：设，连接，不妨令， 所以，，，所以与不相似，故与不垂直，故与平面不垂直，故D错误. 故选：C． 9．B 【分析】A选项可以利用三线合一证明垂直关系， B选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断. C选项先通过类似A选项的证明得到线线垂直，结合AC的结论得到线面垂直后判断， D选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明， 【详解】不妨设棱柱的高为，. B选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误； A选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），A选项正确； C选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），结合A选项，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，故，C选项正确； D选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由平面，平面，故//平面，D选项正确. 故选：B 10．AC 【分析】对于A选项，当点为中点时，利用向量证明即可；对于B选项，当点位于点时，此时线面角为，大于；对于C选项，当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于D选项，先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可. 【详解】对于A选项，当点为中点时，所以，故A正确； 对于B选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故B错误； 对于C选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例，此时，故C正确；对于D选项，若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使， 在棱上取中点，则，， 则点的轨迹由圆弧构成，且其所在圆的半径依次为， ，圆心角依次为， 圆弧的长分别为，故点的轨迹的长为，故D错误； 故选：AC. 11．ACD 【分析】对于，由平面平面，证明；对于B，当时平面，是直线与平面所成的角，利用三角形边长求正弦值即可；对于C，当三棱锥体积取得最大值时，是三棱锥的高，由求值即可；对于D，将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，当三点共线时， 的最小值为，利用余弦定理求解. 【详解】对于：当平面平面时，， 证明如下：因为平面平面，平面平面， ，平面，则平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B：当时，等腰直角中，点为棱的中点，有， ，平面，则平面， 平面，有平面平面，由A选项知平面， 所以是直线与平面所成的角； 由，有，，，， ，则，故B错误； 对于C：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面， 即是三棱锥的高，，故C正确； 对于D：当时，因为为的中点，所以，则， 又因为的中点，所以， 又，所以，所以， 如图将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内， 则当三点共线时，最小，即的最小值为， 在中，， 则， 所以在中，由余弦定理得， 所以的最小值为，故D正确， 故选：ACD. 【点睛】方法点睛： ‌立体几何中的翻折问题通常涉及将一个平面图形按照特定要求折叠成三维空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，解决这类问题需要掌握以下技巧： 1. 同时画出折前和折后的图形：在解决问题时，同时画出折前和折后的图形有助于理解翻折过程和图形变化，这对于判断线段和角度的关系非常关键. 2. 寻找不变量：在翻折过程中，有些量是不变的，如角度和距离，注意这些不变量可以帮助简化问题. 3. 利用‌空间向量：空间向量是一个有效的工具，适用于解决立体几何中的探索性问题，通过坐标运算，可以简化“是否存在”这类问题的解决过程. 4. 将空间问题转化为平面几何问题：通过截面、展开、射影等手段，可以将空间中分散的条件集中在同一平面上，从而更容易解决问题. 12． 【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果. 【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以， 因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为， 因此圆锥的侧面积为． 【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解． 13．/ 【分析】根据扇形的弧长计算可得圆锥的高，结合勾股定理和圆锥外接球体积计算，即可求解. 【详解】设该圆锥的底面半径为，高为． 由扇形圆心角为，半径为， 得圆锥底面圆周长为，解得． 因为扇形半径为，所以，所以． 易知球心在圆锥的高所在的直线上． 设球的半径为，则， 即，解得， 所以球的体积为． 故答案为：． 14． 1 【分析】由题可证平面，若平面，则l与平面所成的角为0，若过B的直线l与平面相交于点R，在平面中，过B作直线，与平面相交于点为S，可得为在平面内的射影，为直线l与平面所成的角，求出的范围，得解. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 将四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即为长方体的外接球， 可得四棱锥的外接球的球心O为的中点，∴， 连接，，交点为Q，因为底面为正方形，所以， 又平面，且平面，所以， 又，平面，平面，所以平面，即平面， 若平面，则l与平面所成的角为0． 如图，若过B的直线l与平面相交于点R，在平面中，过B作直线，与平面相交于点为S， 因为平面，且平面，所以， 又，，且，，平面，所以平面， 故过B且与垂直的直线与平面的交点的轨迹为直线，又平面，所以， 又，且，所以平面，又平面， 所以，又平面，所以为在平面内的射影， 即为直线l与平面所成的角，且， 在中，，，由射影定理求得 ， 而，当且仅当重合时，等号成立， 故，∴． 综上，直线l与平面所成夹角的取值范围为. 故答案为：1；. 15．(1)见解析； (2)见解析. 【分析】（1）先根据中位线的性质证明出，进而根据线面平行的判定定理证明出线面平行； （2）连接，易证，从而平面，由（1）知平面，从而证明出平面平面． 【详解】（1）在中，，分别是与的中点， 所以． 又 平面，平面, 所以平面； （2）连接，因为是的中点，是的中点， 所以且， 故四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． 又由（1）得平面， 因为，所以平面平面． 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）在正方体中，平面， ∵平面，∴， 又四边形为正方形，∴， 又，平面，∴平面， 又平面，∴. （2）与（1）中证明同理可证，又，平面 ， ∴平面． 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件证得，再利用线面平行的判定推理作答. （2）利用等体积求法出三棱锥的体积作答. 【详解】（1）在正四棱柱中，四边形为矩形，则为的中点， 又为的中点，则有，而平面，平面， 所以平面． （2）在正四棱柱中，，，的面积， 所以求三棱锥的体积． 18．（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）取中点N，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明． 【详解】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面， 平面平面， ∴， （2）线段存在点N，使得平面，理由如下： 取中点N，连接，， ∵E，N分别为，的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面， 取AP中点F,连结EF,BF，，且， 因为，， 所以，且， 所以四边形BCEF为平行四边形， 所以. 又面PAB，面PAB，所以平面； 又， ∴平面平面， ∵M是上的动点，平面， ∴平面PAB， ∴线段存在点N，使得MN∥平面． 19．（1）见解析;（2）. 【详解】（1）由可得， 易得四边形是矩形，∴， 又平面，平面，∴， 又，平面，∴平面， 又平面，∴平面平面 （2）四棱锥的体积为， 要使四棱锥的体积取最大值，只需取得最大值. 由条件可得， ∴，即， 当且仅当时，取得最大值36. 分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，由，可得 ，令可得， 同理可得平面的一个法向量为， 设平面与平面所成二面角为， . 由于平面与平面所成角为锐二面角，所以余弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭高临平高一5月检测卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（    ）    A． B． C． D． 3．已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（    ） A．2 B．3 C． D． 4．21世纪以来，中国钢铁工业进入快速发展阶段，某工厂要加工一种如图所示的圆锥体容器，圆锥的高和母线长分别为和，该容器需要在圆锥内部挖出一个正方体槽，则可以挖出的正方体的最大棱长为（    ）    A． B． C． D． 5．《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷中，，其体积为，E，F分别为AB，BC的中点，则异面直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 6．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（    ） A． B． C． D． （7题） （8题） 8．如图，在长方体中，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B．平面 C． D．平面 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 9．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．//平面 C． D．//平面 10．如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（    ） A．存在点，使得 B．直线与平面所成的最大角为 C．若不共面，则四面体的体积的最大值为 D．若，则点的轨迹的长为 11．如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥．设，点分别为棱的中点，为线段上的动点．下列说法正确的是（    ） A．在翻折过程中存在某个位置，使 B．当时，与平面所成角的正弦值为 C．在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2 D．当时，的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 13．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形．若该圆锥的顶点及底面圆周都在球的表面上，则球的体积为 ． 14．四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则该四棱锥外接球半径为 ；直线l与平面所成夹角的范围为 ． 四、解答题（第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，是的中点．求证：(1)平面； (2)平面平面． 16．如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线．求证：(1)； (2)平面． 17．如图，在正四棱柱中，底面的边长为2，侧棱，是棱的中点，F是与的交点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 18．如图所示，在四棱锥中，平面，，E是的中点． （1）求证：； （2）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由． 19．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，，点在线段上，且，，平面． （1）求证：平面平面； （2）当四棱锥的体积最大时，求平面与平面所成二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$