精品解析：上海市莘庄中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

莘庄中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接代入正切型函数的周期公式运算求解. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为：. 2. 已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为_______ 【答案】1 【解析】 【分析】利用扇形的面积S，即可求得结论． 【详解】∵扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度， ∴扇形的面积S1cm2， 故答案为1 【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 3. 已知角的终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，则. 4. 已知，，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】先求得，然后利用两角差的正切公式求得正确答案. 【详解】由于，， 所以， 所以，所以. 故答案为： 5. 若，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用三角函数基本关系式，弦化切，求值计算. 【详解】. 故答案为： 6. 在中，是的三边且满足，则角A的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【详解】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 7. 将函数的图像向右平移个单位，再把所得函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解. 【详解】将函数的图像向右平移个单位可得：， 再把所得函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得， 故答案为： 8. 已知函数图像如图，则函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象得到，根据周期求出，再根据函数过点，代入求出，即可得解； 【详解】解：由图可知，，所以，解得， 所以，又函数过点，所以， 所以，，解得，，又， 所以，所以； 故答案为： 9. 在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由角的终边与角的终边关于轴对称，可得， 因为，可得， 所以. 故答案为：. 10. 已知函数是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数性质求得，再由单调性求得的范围，从而得出结论． 【详解】因为是奇函数，所以,又，所以, 因为在上单调递增．所以⊆， 于是解得，所以ω的最大值为. 故答案为： 11. 某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为________米．（结果精确到1米） 【答案】 【解析】 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 12. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由为偶函数，其图象关于轴对称，得到一个零点为，求得，得到函数的零点，转化为与的图象交点个数，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称， 因为有5个零点，所以必有一个零点为， 则，可得， 所以函数的零点， 等价于函数与的图象在上的交点个数， 由，可得， 要使得函数与的图象在上有5个交点， 则满足，解得，即实数的范围为. 故答案为：. 二、选毮题（本大题共4题，13-14题4分，15-16题5分，共18分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断. 【详解】若，则成立； 若，则或，故不一定成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14. 下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性定义、三角函数的单调性逐项判断可得答案. 【详解】对于A，，因为时， ，所以为偶函数，故A错误； 对于B，，因为时， ，所以为偶函数，故B错误； 对于C，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递增，故C正确； 对于D，，因为时， ，所以为奇函数， 时，单调递减，故D错误. 故选：C. 15. 设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由在单位圆上，得到的坐标，再根据三角函数的定义得出的值，从而求出的值，再运用两角差的正弦公式求解. 【详解】由题可知，且， 因为，可知 则， 所以 . 故选：D. 16. 函数，且，若任意，、、都能构成某个三角形的三条边，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令的值最大，根据，根据正弦函数图象进行推断． 【详解】解：令的值最大，当，，为最大值， ，，都能构成某个三角形的三条边， ，即， 当，在直线的上方时满足条件， 故的最大值为， 故选：． 三、解答题（本大题共5题，共分） 17. 已知的内角所对边的长度分别为． （1）若，求和外接圆半径的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解. 【小问1详解】 因为，则，且. 由正弦定理得（为外接圆的半径），即， 即，， 因为，所以， 因此，； 【小问2详解】 因为， 由正弦定理可得， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. 18. 已知（）. （1）的周期是，求当，方程的解集； （2）已知，，，求的值域. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得后整体代换法求解 （2）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解 【小问1详解】 的周期是，故，原方程为， 则，解得或， 故原方程的解集为或 【小问2详解】 ， ， 时，， 则， 19. 2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． （1）若，求的长；（本题结果精确到米，，） （2）以为半径作弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 【答案】（1）米 （2）当时，为最大值，最大值为. 【解析】 【分析】（1）首先求出，再由正弦定理计算可得； （2）设，利用正弦定理表示出，从而表示出，，将转化为关于的三角函数，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 在为直角三角形，，，， 所以，则， 又，所以， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以（米）. 【小问2详解】 设，则， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以当，即时为最大值，且最大值为， 即当时，为最大值，最大值为. 20. 已知函数． （1）若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； （2）若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； （3）已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，化简得到，转化为在上有两解，结合正弦函数的性质，即可求解. （3）由，求得，得到，根据，求得，把任意，总存在唯一确定的，转化为，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，其中， 因为函数的最大值为2，可得，解得， 所以， 令，可得， 当时，可得， 因为，所以函数在区间上的递增区间为. 【小问2详解】 解：当时，， 则 ， 因为在时有两解，所以在上有两解， 令，可得， 转化为与在上有两个交点， 又由， 结合正弦函数的性质，可得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：因为，解得， 所以， 因为，可得，所以， 对任意，总存在唯一确定的， 使得成立，所以， 且有且仅有唯一解， 令，则，所以， 所以，解得，所以，即实数的范围为. 21. 已知函数,． （1）若为偶函数，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若在内恰有6个零点，求的值． 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数为偶函数，所以可求参数的值. （2）问题转化为：在恒成立.再借助辅助角公式和三角函数的图象求，的最小值即可. （3）利用换元法，转化为二次方程的根和三角函数的零点问题求解. 【小问1详解】 因为是偶函数 所以， 所以. 【小问2详解】 因为对任意，不等式恒成立 在恒成立. ， 因为，所以 所以当即时，. 所以，即. 所以实数的取值范围是： 【小问3详解】 在 有6个零点 ，在 方程必有两个异号实根，不妨设 ①当时， 因为无解，有4个解. 所以有4个零点（不合题意，舍去） ②当时，， 因为有2个解，有4个解. 所以有6个零点（满足题意） ③当时， 因为有4个解，所以应恰有2个解. 所以，此时. 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莘庄中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为______． 2. 已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为_______ 3. 已知角的终边经过点，则______． 4. 已知，，则的值为________ 5. 若，则________． 6. 在中，是的三边且满足，则角A的大小为______. 7. 将函数的图像向右平移个单位，再把所得函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则________ 8. 已知函数图像如图，则函数的解析式为______． 9. 在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则_________． 10. 已知函数是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是______. 11. 某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为________米．（结果精确到1米） 12. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是_________． 二、选毮题（本大题共4题，13-14题4分，15-16题5分，共18分） 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（ ） A. B. C. D. 16. 函数，且，若任意，、、都能构成某个三角形的三条边，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，共分） 17. 已知的内角所对边的长度分别为． （1）若，求和外接圆半径的值； （2）若，求的值． 18. 已知（）. （1）的周期是，求当，方程的解集； （2）已知，，，求的值域. 19. 2025年新开局新征程，上海市闵行区＂组团式＂援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点． （1）若，求的长；（本题结果精确到米，，） （2）以为半径作弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：．则当为多少时，为最大值？并求出的最大值． 20. 已知函数． （1）若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间； （2）若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数n的取值范围； （3）已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围． 21. 已知函数,． （1）若为偶函数，求的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若在内恰有6个零点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $