精品解析：上海市上海中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

上海中学高二期中数学试卷 2025.04 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线的倾斜角是________． 2. 直线的一个法向量可以是________． 3. 圆的圆心坐标是________． 4. 抛物线的焦点到准线的距离是______. 5. 双曲线的一条渐近线方程为，则________． 6. 一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是________． 7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有________条． 8. 直线与圆在第一象限有交点，则的范围是________． 9. 两圆和的公共弦长为________． 10. 在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为________． 11. 如图，已知，为双曲线的左、右焦点，，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为________. 12. 平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为________． 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 14. 设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 曲线，公共点的个数（ ） A. 没有 B. 有，且为奇数个 C. 有，且为偶数个 D. 有，但不能确定几个 16. 在直角坐标系中，已知点A，B分别是定直线和上的动点，若的面积为定值S，则线段的中点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 18. 已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程． 19. 已知点，，动点满足． （1）求动点的轨迹方程； （2）若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 20. 椭圆中，动弦长为． （1）请写出椭圆的参数方程； （2）求面积的取值范围． 21. 如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； （3）求的最小值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学高二期中数学试卷 2025.04 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 直线的倾斜角是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线倾斜角定义可得结果. 【详解】易知直线是垂直于轴的竖线，因此倾斜角是. 故答案为： 2. 直线的一个法向量可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意根据所给的直线方程利用直线的法向量的意义即可得出，从而可以得出结果         【详解】直线化为，斜率为，一个法向量可以是. 故答案为：.(答案不唯一) 3. 圆的圆心坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得出圆心坐标. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心坐标为. 故答案为：. 4. 抛物线的焦点到准线的距离是______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据的几何意义即可求出． 【详解】因为，所以，即焦点到准线的距离是5． 故答案为：5． 5. 双曲线的一条渐近线方程为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】写出双曲线的标准方程，利用双曲线的渐近线方程直接求解即可. 【详解】由题意，双曲线的标准方程为，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，所以，则， 所以. 故答案为：. 6. 一个顶点是，长轴长是短轴长2倍的椭圆标准方程是________． 【答案】或 【解析】 【分析】依题意分别讨论椭圆焦点在轴，轴上时的长轴、短轴的长，代入标准方程即可. 【详解】当是短轴端点时，可知椭圆焦点在轴上， 此时短轴长为，长轴长，即， 所以椭圆方程为； 当是长轴端点时，可知椭圆焦点在轴上， 此时长轴长为，短轴长，即， 所以椭圆方程为； 故答案为：或. 7. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若、的横坐标之和为5，则直线最多有________条． 【答案】 【解析】 【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，根据已知条件，求得参数之间的关系，结合一元二次方程根的情况，即可判断结果. 【详解】抛物线的焦点， 设直线方程为，，， 联立，整理可得， 则，所以，解得：， 当时，无解，此时直线不存在； 当时，，此时直线只有条； 当时，此时直线有条； 故当时，直线条数为条；当时，直线条数为条；当时，直线条数为条， 所以直线最多有条. 故答案为： 8. 直线与圆在第一象限有交点，则的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程可得其所过定点，由圆的方程可得其与坐标轴正半轴的交点，由题意可直观想象直线的位置，进而可得斜率的范围，可得答案. 【详解】由直线，整理可得，则直线过定点， 由圆，则圆与坐标轴正半轴的交点分别为与， 由题意可得直线在点与连线与点与连线之间， 由直线斜率为，则或，解得或. 故答案为：. 9. 两圆和的公共弦长为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 10. 在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】联立的平分线直线方程和边上的高所在直线方程可求出点坐标，利用角平分线的性质结合点关于直线的对称点的计算可求出直线的方程，再利用边上的高所在直线的斜率以及点坐标求出直线的方程，联立求解即可得到点的坐标. 【详解】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 11. 如图，已知，为双曲线的左、右焦点，，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义、对称性，以及平行四边形的性质和圆的直径性质，结合勾股定理列方程即可求解. 【详解】设，则. 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：. 连接，则有，. ∵点在以为直径的圆周上，∴. ∵四边形为平行四边形，∴，∴. 在中，由勾股定理可知，即， 整理得：，∴，. 在中，由勾股定理可知，即， ∴. 故答案为：. 12. 平面直角坐标系中，已知圆与圆交于点、两点，其中．两圆半径之积为，若两圆均与直线和轴相切，则直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设两个圆的方程为，依题意可得且，根据圆过点得到，设的倾斜角为，则，令，则，代入前述方程，利用韦达定理求出，最后由二倍角公式计算可得. 【详解】由题意设两个圆的方程为， 依题意可得且． 因为两圆均过点，所以①， 设的倾斜角为，则，． 令，则．将其代入式①整理得． 由韦达定理可得，从而（负值已舍去）， 所以， 故直线的方程为． 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 13. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要 【答案】B 【解析】 【分析】 先化简条件“方程表示焦点在轴上的椭圆”，结合的范围进行判定. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得； 因为，反之不成立，所以“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的必要非充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把复杂的已知条件进行化简，结合推出关系可以进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养. 14. 设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：曲线的普通方程为，曲线为圆，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，，因此与直线平行且距离为的两条直线只有一条与圆相交，因此圆上有两点符合题意．故选B． 考点：直线与圆的位置关系． 15. 曲线，公共点的个数（ ） A. 没有 B. 有，且为奇数个 C. 有，且为偶数个 D. 有，但不能确定几个 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的方程可得圆心与半径，由半径的值不能确定，可得答案. 【详解】由曲线，则曲线为圆，即圆心为，半径为，如下图示， 易知曲线与曲线共同过原点，由半径不能确定，则交点个数不能确定. 故选：D. 16. 在直角坐标系中，已知点A，B分别是定直线和上的动点，若的面积为定值S，则线段的中点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】设，由于的面积为定值，可得出为定值，设，设线段的中点为M，因为，即可得出线段的中点的轨迹为双曲线. 【详解】设， 则. 由于的面积为定值且为定值，从而为定值，设. 设线段的中点为M，则，， 故为定值， 从而线段的中点的轨迹为双曲线. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，可求出对称后的圆的方程. 【详解】易知圆的圆心为， 设圆心关于直线对称的点坐标为， 可得，解得， 即圆的圆心坐标为，对称后半径不变， 所以圆的方程为. 18. 已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程． 【答案】或 【解析】 【分析】设出直线与直线的交点坐标，根据给定条件列式探求两个交点坐标间的关系，求出直线方程作答. 【详解】设直线与直线分别交于点， 则，两式相减得：，而， 即，解得或， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 所以直线l的方程为或. 19. 已知点，，动点满足． （1）求动点的轨迹方程； （2）若动点的轨迹上存在两点关于直线对称，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义和之间的关系即可求出轨迹方程； （2）当时，符合题意，时，设是轨迹上关于对称的两点，设直线方程为，中点为，根据该中点在直线上以及在直线上，可得①式，联立直线与双曲线，结合韦达定理以及根的判别式，可得②③式，三个式子联立即得相关的不等式，求解即可. 【小问1详解】 由题知，点到两定点之间距离之差的绝对值为， 所以动点的轨迹为以为焦点的双曲线， 其中焦距，实轴长， 所以， 所以动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 当时，直线，符合题意； 当时，设是轨迹上关于对称的两点， 则，设直线方程为，中点为， 则，又， 可得，① 联立，可得， 则该方程必有两个不同的根， 即， 可得，② 又，，③ 联立①③，可得，， 代入②，解得， 解得或，所以或或， 综上，的取值范围为. 20. 椭圆中，动弦长为． （1）请写出椭圆的参数方程； （2）求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）整理椭圆方程，结合同角三角函数的平方式，可得答案； （2）利用参数方程设出动点坐标，根据两点距离公式以及三角函数的恒等式，写出直线方程，根据点到直线距离，结合三角函数面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由，则，令，则. 【小问2详解】 设，，， 则， 所以， 所以， 从而，由， 可得，则 又直线的方程为， 所以点到的距离， 所以. 21. 如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； （3）求的最小值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）最小值， 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义可直接求出，可得抛物线的标准方程； （2）联立直线和抛物线方程并利用焦点弦公式可求得，可得圆的面积为； （3）依题意分别求得的坐标，得出的表达式并利用基本不等式可求得结果，可得此时点的坐标. 【小问1详解】 依题意由焦点到准线的距离为2可知， 所以抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，设, 易知直线的方程为， 联立，整理可得， 所以， 因此可得， 即以线段为直径的圆直径为16，可得圆面积 【小问3详解】 设，重心． 令，，则． 由于直线过，故直线方程为， 代入，得，故，即， 所以． 又由于，及重心在轴上，故， 得，． 所以直线方程为，得． 由于在焦点的右侧，故． 从而． 令，则， 可得． 当时，取得最小值，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $