精品解析：海南省文昌中学2024-2025学年高二下学期段考数学试题

2024—2025学年度第二学期 高二年级数学科段考试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】由间接法以及组合数即可求解. 【详解】从个球中任取个球的取法共有种， 两个球都不是红球的取法有种， 所以取出2个球，至少有一个红球的取法种数为. 故选：B. 2. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求定义域,再对函数求导,令导函数大于零,解出不等式解集即可. 【详解】解:由题知,定义域为, 所以, 令,解得, 所以的单调增区间为:. 故选:C 3. 已知等比数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由条件结合等比数列通项公式求，由此可求结论, 【详解】数列为等比数列，设数列的公比为， 因为，， 所以， 所以，即， 故. 故选：C. 4. 的展开式中，项的系数为（ ） A. 1 B. －5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二项式定理求出的展开式中含的项和含的项即可. 【详解】由的展开式可得，含的项为， 含的项为， 则的展开式中，含的项为， 故的展开式中，项的系数为. 故选：B 5. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像算出函数在点处的切线，即可求出其在处的函数值与导数取值。 【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，所以， 又因为切线方程为，则切点坐标为，有， 所以. 故选：C 6. 甲、乙、丙、丁、戊、戌名同学相约到电影院观看电影《哪吒》，他们恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用捆绑法和插空法列式求解即可. 【详解】先将乙和丙看成一个人与丁，戊，戌排列，有种排法， 再将甲插入这四个人中间的三个空位，有种排列方式， 最后考虑乙和丙的顺序有种方式， 故共有种排列方式. 故选：D. 7. 现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应事件，根据古典概型结合组合数求，进而求条件概率. 详解】由题意可知：甲、乙两人从6个基地中各选一个进行研学有（种）情况， 至少一人选择红色教育基地研学有（种）情况， 设“甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学”，则， 甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学，有（种）情况， 设“甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学”，则， 所以． 故选：C． 8. 已知直线l分别与曲线，相切于点，，则的值为（） A. 2 B. 1 C. －2 D. －5 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得，通过指数式对数式的运算，求出的值． 【详解】由，有， 在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为，即 则有，得， 所以，可得． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求\.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下结论正确的是（ ） A. 从4本不同的书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法 B. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为480 C. 将7人分成3组，要求每组至多3人，则不同的分组方法种数是175 D. 若且，则， 【答案】BC 【解析】 【分析】由排列的概念，可判断A错误；由插空法，求得数字的个数，可得判定B正确；由组合数的公式与部分均分的求法，可判定C正确；由排列数的公式，可得判定D错误. 【详解】对于A中，从4本不同的书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法，所以A错误； 对于B中，由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数， 可得先对数字全排，再将插入5个空隙中的两个位置， 所以数字的个数为，所以B正确； 对于C中，将7人分成3组，要求每组至多3人，可得其分组有两类：和， 当分为的三组时，有种分法； 当分为的三组时，有种分法， 综上可得，共有种不同的分法，所以C正确； 对于D中，若且，则，所以D不正确. 故选：BC. 10. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. = C. = D. = 【答案】BCD 【解析】 【分析】由特殊值法将x取和1，可判断出选项B和D的正误，再结合二项式定理判断展开式各项系数的正负，可判断A和C的正误. 【详解】令，可得①， 故B正确； 令，可得②， 由①+②可得，所以， 故D正确； 由二项式定理可知，， 故， 故A错误； 的系数均为正数，的系数均为负数， 所以， 故C正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在极小值 B. C. 当时， D. 若函数有且仅有两个零点，则且 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，再利用导数求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可判断A；根据函数的单调性即可判断B；根据指数函数的性质即可判断CD. 【详解】， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 故函数在处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A正确； 当时，函数单调递增，且，所以，B错误： 当时，，易知C正确； 由得，若函数有两个零点，只需且，D正确． 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 函数在上的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最值. 【详解】， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以函数在上单调递减；在上单调递增； 所以. 故答案为： 13. 已知展开式中二项式系数和为1024，则展开式中常数项的值为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，解得，进而求得展开式中的常数项，得到答案. 【详解】由二项式展开式中二项式系数和为1024， 可得，解得，即， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 14. 已知函数，则函数在处切线方程为________；该切线与图象有三个公共点，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，求得，得到，结合导数的几何意义，求得曲线的切线方程；令，求得，得到的单调性和最小值，得到切线与在上只有1个交点，转化为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的性质，求得函数在上的值域为，进而得到的取值范围为. 【详解】当时，函数，可得， 则，即函数在处切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即； 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为， 所以与在上只有1个交点，交点坐标为. 则在上有两个不同的实数解， 即在上有两个不同的实数解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 因为函数在上单调递减，在单调递增， 又因为，所以函数在上的值域为， 要使得与的图象在上有两个不同的交点， 则满足，即实数的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列是等差数列，前项和为，满足首项与公差相等，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列 的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据，，成等比数列且列式求解，然后利用等差数列通项公式求解即可. （2）利用等差数列求和公式求出，可得，然后利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，， 由首项与公差相等，且，，成等比数列，所以， 所以，所以，解得， 所以，所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由，有， 所以， 可得 . 16. 现有一堆颜色不同，形状一样的小球在甲乙两袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球. （1）分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；（可直接用数字作答） （2）从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中取出一球；从甲袋中取出的是红球的条件下，求从乙袋中取出红球的概率；（可直接用数字作答） （3）先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率.（以字母表述解题，并计算结果） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”，事件为“两球颜色不同”，得到，结合，即可求解； （2）根据题意，利用条件概率的计算公式，即可求解； （3）设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，得到，结合全概率公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”， 事件为“两球颜色不同”，则， 则. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 若从甲袋中取出的是红球，放入乙袋中，取得红球的概率为， 所以从甲袋中取出红球的条件下，则从乙袋中取出红球的概率为. 【小问3详解】 解：设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”， 则， 则. 17. 如图，在三棱台中，底面，，，为的中点，. （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用棱台的性质结合线面垂直的判定定理可得平面，由此可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得结果. 小问1详解】 在三棱台中， ∵，，∴，，． ∵为的中点，∴，， ∴四边形为平行四边形，故． ∵，∴． ∵底面，底面，∴． ∵平面，为相交直线，∴平面， ∵平面，∴． 【小问2详解】 以为原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，； ∴，； 设是平面的法向量，则，即， 取； 设是平面的法向量，则，即， 取； ∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数有两个不同的零点. （1）求函数的极值点； （2）求实数的取值范围； （3）求证： 【答案】（1）为极小值点，无极大值点 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得出函数的单调性，结合极值点的概念，即可求解； （2）由（1）得到取得最小值，作出函数的图象，结合 两个不同的零点 ，得到，即可求得实数的取值范围； （3）不妨设 ，得到，则， 转化为证明，即证明，记，求得， 得到单调递增，结合，得到，得到，即可得证. 【小问1详解】 解：由函数，可得其定义域为，且， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以 为极小值点，无极大值点. 【小问2详解】 解：由（1）当时，取得最小值， 又当时，；当时，； 函数的图象，如图所示， 要使得 两个不同的零点 ，则满足，即. 所以实数的取值范围为 . 【小问3详解】 解：不妨设 ，由 (1) 可知，则， 要证，只需证， 又因为在上单调递增， 所以只需证， 即证， 记， 则， 当时，，单调递增， 又由， 所以，即，所以. 19. 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线与的斜率之积为定值； （3）判断三点，，是否共线？并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3），，三点共线，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知条列出有关的方程组，求出的值，可得椭圆的标准方程； （2）设点，将点的坐标代入椭圆的方程可得出与之间的关系，然后利用斜率公式，结合等量关系可证得结论； （3）设直线的方程为，可得直线的方程，与直线联立，可求出的坐标，然后求出直线的斜率，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求出点的坐标，再计算，的斜率，利用这两直线斜率相等可得结论. 【小问1详解】 根据题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 根据题意可知直线与的斜率都存在且不为零，， 设，则（）， 则， 因为点在椭圆上， 所以，所以， 所以， 所以直线与的斜率之积为定值； 【小问3详解】 ，，三点共线，证明如下： 设直线的方程为， 则直线的方程为， 所以， 所以， 所以设直线方程为， 由，得， 设，则，得， 所以， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以，，三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期 高二年级数学科段考试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，至少有一个红球的取法种数是（ ） A. 20 B. 26 C. 32 D. 36 2. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中，项的系数为（ ） A. 1 B. －5 C. 6 D. 5. 如图，已知函数的图象在点处的切线为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 甲、乙、丙、丁、戊、戌名同学相约到电影院观看电影《哪吒》，他们恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为（ ） A B. C. D. 7. 现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线l分别与曲线，相切于点，，则的值为（） A. 2 B. 1 C. －2 D. －5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求\.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下结论正确的是（ ） A. 从4本不同的书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法 B. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为480 C. 将7人分成3组，要求每组至多3人，则不同分组方法种数是175 D 若且，则， 10. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. = C. = D. = 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在极小值 B. C. 当时， D. 若函数有且仅有两个零点，则且 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 函数在上的最小值为___________. 13. 已知展开式中二项式系数和为1024，则展开式中常数项的值为______.（用数字作答） 14. 已知函数，则函数在处切线方程为________；该切线与的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知正项数列是等差数列，前项和为，满足首项与公差相等，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列 前项和. 16. 现有一堆颜色不同，形状一样的小球在甲乙两袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球. （1）分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；（可直接用数字作答） （2）从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中取出一球；从甲袋中取出的是红球的条件下，求从乙袋中取出红球的概率；（可直接用数字作答） （3）先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率.（以字母表述解题，并计算结果） 17. 如图，在三棱台中，底面，，，为中点，. （1）证明：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数有两个不同的零点. （1）求函数的极值点； （2）求实数的取值范围； （3）求证：. 19. 已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：直线与的斜率之积为定值； （3）判断三点，，是否共线？并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$