2024-2025学年第二学期高二年级单元测试A卷第八章 成对数据的统计分析（人教A版2019选必三 全国通用）

2024-2025学年第二学期高二年级单元测试A卷第八章 成对数据的统计分析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列四个图中，两个变量具有负相关关系的是（   ） A． B． C． D． 2．有一散点图如图所示，在，，，，这5个点中去掉后，下列说法错误的是（    ）    A．相关系数变大 B．残差平方和变大 C．变量，正相关 D．解释变量与预报变量的相关性变强 3．小王经营了一家小型餐馆，自去年疫情管控宣布结束后的第1天开始，经营状况逐步有了好转，该店第一周的营业收入数据（单位：百元）统计如下： 天数序号x 1 2 3 4 5 6 7 营业收入y 11 13 18 ※ 28 ※ 35 其中第4天和第6天的数据由于某种原因造成模糊，但知道7天的营业收入平均值是23，已知营业收入y与天数序号x可以用经验回归直线方程拟合，且第7天的残差是，则的值是（    ） A．10.4 B．6.2 C．4.2 D．2 4．有以下四个命题，其中正确的是 A．由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，若某人数学成绩优秀，则他有的可能物理成绩优秀 B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 C．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位 D．线性回归方程对应的直线至少经过样本数据点中的一个点 5．现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图： 根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（    ） A．样本中的女生数量多于男生数量 B．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量 C．样本中的男生偏爱两理一文 D．样本中的女生偏爱两文一理 6．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 甲班 10 乙班 30 附：（）， 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．甲班人数少于乙班人数 B．甲班的优秀率高于乙班的优秀率 C．表中的值为15，的值为50 D．根据表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” 7．某类汽车在今年1至5月销量y（单位：万辆），如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 5 4.5 4 3.5 2.5 若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．样本的相关系数为负数 B． C．当时，残差的绝对值为0.1 D．可预测当时销量约为1.5万辆 8．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（    ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A．百只 B．百只 C．百只 D．百只 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，其中满足关系式：，则（    ） A． B．数据的平均数为 C．若数据，则 D．若，数据不全相等，则样本点的成对样本数据的样本相关系数为 10．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，，，绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法正确的是（    ） A．变量与具有负的相关关系 B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为0.1 11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（　　） 临界值表： P（） 0.050 0.010 3.841 6.635 附：. A．30人 B．54人 C．60人 D．75人 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为．据此计算出在样本处的残差为，则表中m的值 ． x 3 4 5 6 y 2 3 4 m 13．某医疗机构为了了解肝病与酗酒是否有关,对成年人进行了一次随机抽样抽查,结果如下表: 患肝病 未患肝病 合　计 酗　酒 30 170 200 不酗酒 20 280 300 合　计 50 450 500 从直观上你能得到的结论是 ,得到患肝病与酗酒有关系的判断有 的把握. 14．在新冠疫情政策改变后，某社区统计了核酸检测为阳性的人数，用表示天数，表示每天核酸检测为阳性的人数，统计数据如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 根据散点图判断，核酸检测为阳性的人数关于天数的回归方程适合用来表示，则其回归方程为 . 参考数据：设，，， 参考公式：对于一组数据，，….其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①：②分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值： 日期（天） 1 2 3 4 5 用户（人） 13 22 45 55 68 模型①的残差值 模型②的残差值 (1)残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由； (2)求出（1）中所选模型的回归方程． （参考公式：，，参考数据：，） 16．近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市年的家庭平均教育支出，得到如下表格.（附：年份代码分别对应的年份是）.经计算得，，，. 年份 教育支出占家庭支出比例（百分比） (1)计算样本的相关系数，并判断两个变量的相关性强弱；（精确到） (2)建立关于的线性回归方程；（精确到） (3)若年该市某家庭总支出为万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？ 附：（i）相关系数：；（ii）线性回归方程：，其中，. 17．2019年的“金九银十”变成“铜九铁十”，国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．如图是该地某小区2018年11月至2019年1月间，当月在售二手房均价（单位：万元平方米）的散点图．（图中月份代码1~13分别对应2018年11月~2019年11月） 根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值： 0．000591 0．000164 0．006050 （1）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好； （2）某位购房者拟于2020年4月购买这个小区平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）． 若购房时该小区所有住房的房产证均已满2但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题： （i）估算该购房者应支付的购房金额；（购房金额房款税费，房屋均价精确到0．001万元平方米） （ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．（精确到1平方米） 附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格（计税价格房款）进行征收的． 房产证满2年但未满5年的征收方式如下：首套面积90平方米以内（含90平方米）为；首套面积90平方米以上且140平方米以内（含140平方米）；首套面积140平方米以上或非首套为． 参考数据：，，，，，，，． 参考公式：相关指数． 18．某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有“难度系数“和“区分度“两个指标中，难度系数，区分度. （1）某次数学考试(满分为150分)，随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人的成绩分别为147，142，137；普通班三人的成绩分别为97，102，113.通过样本估计本次考试的区分度(精确0.01). （2）如表表格是该校高三年级6次数学考试的统计数据： 难度系数x 0.64 0.71 0.74 0.76 0.77 0.82 区分度y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15 ①计算相关系数r，|r|<0.75时，认为相关性弱；|r|≥0.75时，认为相关性强.通过计算说明，能否利用线性回归模型描述y与x的关系(精确到0.01). ②ti=|xi﹣0.74|(i=1，2，…，6)，求出y关于t的线性回归方程，并预测x=0.75时y的值(精确到0.01). 附注：参考数据： 参考公式：相关系数r，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 19．2022年卡塔尔世界杯将11月20日开赛，某国家队为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计： 球队胜 球队负 总计 甲参加 30 60 甲未参加 10 总计 60 n (1)根据小概率值=0.025的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？ (2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋､中场､后卫三个位置，且出场率分别为：0.1，0.5，0.4；在甲出任前锋、中场、后卫的条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7，则； ①当甲参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率； ②当甲参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当中场的概率； ③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？ 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高二年级单元测试A卷第八章 成对数据的统计分析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列四个图中，两个变量具有负相关关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用负相关的定义，结合所给的图象确定具有负相关关系的变量即可. 【详解】两个变量具有负相关关系，则随着变量x增大，变量y应该呈现递减的趋势， 观察所给的图象，只有B选项符合题意， 所以两个变量具有负相关关系的是B. 故选：B 2．有一散点图如图所示，在，，，，这5个点中去掉后，下列说法错误的是（    ）    A．相关系数变大 B．残差平方和变大 C．变量，正相关 D．解释变量与预报变量的相关性变强 【答案】B 【分析】根据散点图中5个点的分布情况结合相关性的有关概念，逐项分析判断作答. 【详解】观察散点图知，变量，呈线性相关，点偏离回归直线较远，去掉后： 对于A，相关性变强，相关系数变大，A正确； 对于B，残差平方和变小，B错误； 对于C，散点的分布是从左下到右上，因此变量，正相关，C正确； 对于D，解释变量与预报变量的相关性变强，D正确. 故选：B 3．小王经营了一家小型餐馆，自去年疫情管控宣布结束后的第1天开始，经营状况逐步有了好转，该店第一周的营业收入数据（单位：百元）统计如下： 天数序号x 1 2 3 4 5 6 7 营业收入y 11 13 18 ※ 28 ※ 35 其中第4天和第6天的数据由于某种原因造成模糊，但知道7天的营业收入平均值是23，已知营业收入y与天数序号x可以用经验回归直线方程拟合，且第7天的残差是，则的值是（    ） A．10.4 B．6.2 C．4.2 D．2 【答案】A 【分析】根据残差的定义求出，结合样本中心点满足回归方程，列方程组求出，，由此可得结论. 【详解】由残差得，即， 所以①， 又，，因为回归直线经过中心点， 所以②， 联立①②解得，, 所以， 故选：A. 4．有以下四个命题，其中正确的是 A．由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，若某人数学成绩优秀，则他有的可能物理成绩优秀 B．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 C．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位 D．线性回归方程对应的直线至少经过样本数据点中的一个点 【答案】C 【详解】对于A.有 的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”， 不是“数学成绩优秀，物理成绩就有的可能优秀”，A错误； 对于B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，B错误； 对于C.根据线性回归方程的系数 知，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，C正确； 对于D.线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故D错误； 故选C． 5．现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图： 根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（    ） A．样本中的女生数量多于男生数量 B．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量 C．样本中的男生偏爱两理一文 D．样本中的女生偏爱两文一理 【答案】D 【解析】由等高堆积条形图逐项判断即可. 【详解】解：由条形图知女生数量多于男生数量，故A正确； 有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B正确； 男生偏爱两理一文，故C正确； 女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D错误. 故选：D. 6．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 甲班 10 乙班 30 附：（）， 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．甲班人数少于乙班人数 B．甲班的优秀率高于乙班的优秀率 C．表中的值为15，的值为50 D．根据表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” 【答案】D 【分析】根据条件解出，，然后直接计算即可判断A，B，C错误，使用的计算公式计算，并将其与比较，即可得到D正确. 【详解】对于C，由条件知，，故，. 所以，，故C错误； 对于A，由于甲班人数为， 乙班人数为，故A错误； 对于B，由于甲班优秀率为，乙班优秀率为，故B错误； 对于D，由于，故D正确. 故选：D. 7．某类汽车在今年1至5月销量y（单位：万辆），如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 5 4.5 4 3.5 2.5 若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．样本的相关系数为负数 B． C．当时，残差的绝对值为0.1 D．可预测当时销量约为1.5万辆 【答案】C 【分析】对于A，利用表中的数据就化情况分析判断；对于B，利用样本中心点满足回归方程，求出；对于C，利用回归方程可求出预测值，进而可求出残差绝对值；对于D，利用回归方程可求出预测值. 【详解】对于A，从表中的数据看，随的增大而减小，所以变量负相关，则样本的相关系数为负数，故A正确； 对于B，，所以，得，故B正确； 对于C，因为，所以当时，残差的绝对值为，故C错误； 对于D，当时，，所以预测当时销量约为1.5万瓶，故D正确， 故选：C. 8．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（    ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A．百只 B．百只 C．百只 D．百只 【答案】D 【分析】将回归模型两边取自然对数，并令，由此构建一个与的回归直线模型，根据回归直线必过中心点，可求出a值，利用所得回归模型进行预测. 【详解】由题意，两边取自然对数得， 令，则， ，， ∵回归直线必过样本点的中心，∴， 得，∴，则， 当时，． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，其中满足关系式：，则（    ） A． B．数据的平均数为 C．若数据，则 D．若，数据不全相等，则样本点的成对样本数据的样本相关系数为 【答案】AD 【分析】利用平均数的定义相关公式以及方差的定义相关公式即可判断选项ABC，结合样本相关系数的概念即可判断选项D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 其平均数为，故B错误； 对于C，， 因为，故， 而当时，，满足条件， 但此时可以不都相等，故C错误； 对于D，由样本相关系数的概念可知，D正确. 故选：AD 10．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度随时间变化的函数模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据，，，，绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个函数模型来拟合茶水温度随时间的变化情况，函数模型一：；函数模型二：，下列说法正确的是（    ） A．变量与具有负的相关关系 B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况 C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到的图象一定经过点 D．当时，通过函数模型二计算得，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为0.1 【答案】ABD 【分析】根据题中所给散点图，根据正负相关的概念即可判断选项A；根据水温的变化情况，以及指数函数的单调性，即可判断B是否正确；根据最小二乘法可求出的回归方程一定经过，即可判断选项C是否正确；根据“残差=真实值-预测值”即可判断选项D是否正确. 【详解】观察散点图，变量与具有负的相关关系，A正确； 由于函数模型二中的函数，在时，函数单调递减，可得B正确； 若选择函数模型二，利用最小二乘法求出的回归方程一定经过，C错误； 由于残差=真实值-预测值，因此残差为，故D正确. 故选: ABD. 11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（　　） 临界值表： P（） 0.050 0.010 3.841 6.635 附：. A．30人 B．54人 C．60人 D．75人 【答案】BC 【分析】设男生的人数为，得到列联表，计算出，根据题意列出不等式，求出答案. 【详解】设男生的人数为， 根据题意列出2×2列联表如下表所示： 男生 女生 合计 喜欢抖音 5n 4n 9n 不喜欢抖音 n 2n 3n 合计 6n 6n 12n ， 由于有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关， 则，即， 解得， 因为，则n的可能取值有9，10，11，12，13，14， 因此调查人数中男生人数的可能值为54，60，66，72，78，84. 故选：BC 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为．据此计算出在样本处的残差为，则表中m的值 ． x 3 4 5 6 y 2 3 4 m 【答案】/ 【分析】根据已知条件，结合残差的定义，以及线性回归方程的性质，即可求解． 【详解】解：样本处的残差为且关于的回归直线方程为， ，解得， 故回归直线方程为， ，， ，解得． 故答案为：． 13．某医疗机构为了了解肝病与酗酒是否有关,对成年人进行了一次随机抽样抽查,结果如下表: 患肝病 未患肝病 合　计 酗　酒 30 170 200 不酗酒 20 280 300 合　计 50 450 500 从直观上你能得到的结论是 ,得到患肝病与酗酒有关系的判断有 的把握. 【答案】 患肝病与酗酒有关系的可能性很大 【详解】分析：通过列联表，利用公式求得，与临界值比较，即可得到结论. 详解：由已知数据可求得， 由于，所以得到患肝病与酗酒有关系的判断有的把握. 故答案为患肝病与酗酒有关系的可能性很大；99.5%. 点睛：解决独立性检验应用问题的方法 解决一般的独立性检验问题，首先由所给2×2列联表确定a，b，c，d，n的值，然后根据统计量的计算公式确定的值，最后根据所求值确定有多大的把握判定两个变量有关联． 14．在新冠疫情政策改变后，某社区统计了核酸检测为阳性的人数，用表示天数，表示每天核酸检测为阳性的人数，统计数据如下表所示： 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 根据散点图判断，核酸检测为阳性的人数关于天数的回归方程适合用来表示，则其回归方程为 . 参考数据：设，，， 参考公式：对于一组数据，，….其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【答案】 【分析】由题可得，然后根据最小二乘法即得. 【详解】由，可得， 设，则， 因为，， ， 所以， ， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车用户的数据如下，用两种模型①：②分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值： 日期（天） 1 2 3 4 5 用户（人） 13 22 45 55 68 模型①的残差值 模型②的残差值 (1)残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由； (2)求出（1）中所选模型的回归方程． （参考公式：，，参考数据：，） 【答案】(1)应该选择模型①，理由见解析 (2) 【分析】（1）分别计算模型①和模型②的残差值的绝对值之和，比较大小即可做出判断； （2）先求出，再由参考数据和参考公式求出即可. 【详解】（1）应该选择模型① 模型①的残差值的绝对值之和为， 模型②的残差值的绝对值之和为， ∵，∴模型①的拟合效果较好，应该选模型①． （2）由题可知：，，，． ∴， ．∴y关于x的回归方程为． 16．近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市年的家庭平均教育支出，得到如下表格.（附：年份代码分别对应的年份是）.经计算得，，，. 年份 教育支出占家庭支出比例（百分比） (1)计算样本的相关系数，并判断两个变量的相关性强弱；（精确到） (2)建立关于的线性回归方程；（精确到） (3)若年该市某家庭总支出为万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？ 附：（i）相关系数：；（ii）线性回归方程：，其中，. 【答案】(1)，两个变量有很强的线性相关性 (2) (3)5.684万元 【分析】（1）计算出的值，将表格中的数据代入相关系数公式，可求得，即可得出结论； （2）求出的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程； （3）将代入回归方程方程，求出该市某家庭教育支出的比例，即可得解. 【详解】（1）， ， 所以， 故两个变量有很强的线性相关性. （2）， ，， 所以，回归直线方程为. （3）当时，， 故家庭教育支出为万元. 17．2019年的“金九银十”变成“铜九铁十”，国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．如图是该地某小区2018年11月至2019年1月间，当月在售二手房均价（单位：万元平方米）的散点图．（图中月份代码1~13分别对应2018年11月~2019年11月） 根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值： 0．000591 0．000164 0．006050 （1）请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好； （2）某位购房者拟于2020年4月购买这个小区平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）． 若购房时该小区所有住房的房产证均已满2但未满5年，请你利用（1）中拟合效果更好的模型解决以下问题： （i）估算该购房者应支付的购房金额；（购房金额房款税费，房屋均价精确到0．001万元平方米） （ii）若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．（精确到1平方米） 附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格（计税价格房款）进行征收的． 房产证满2年但未满5年的征收方式如下：首套面积90平方米以内（含90平方米）为；首套面积90平方米以上且140平方米以内（含140平方米）；首套面积140平方米以上或非首套为． 参考数据：，，，，，，，． 参考公式：相关指数． 【答案】（1）模型二拟合效果好；（2）（i）2020年4月份二手房均价的预测值为1.044（万元平方米）；（ii）最大面积为94平方米； 【分析】（1）根据相关指数的意义，通过简单估算即可解决问题； （2）通过散点图确定2020年4月对应的的取值，代入（1）中拟合效果更好的模型，并利用参考数据求出二手房均价的预测值，通过阅读税收征收方式对应的图表信息， 选择有用的信息，进行合理分类建立正确的函数模型，便能顺利求解； 先直观估算100万可购买的最大面积的大致范围，再利用中相应的结论求解． 【详解】解：（1）模型一中，的残差平方和为0.000591， 相关指数为； 模型二中，的残差平方和为0.000164， 相关指数为； 相关指数较大的模型二拟合效果好些； （2）通过散点图确定2020年4月对应的， 代入（1）中拟合效果更好的模型二，代入计算 （万元平方米）； 则2020年4月份二手房均价的预测值为1.044（万元平方米）； 设该购房者应支付的购房金额万元，因为税费中买方只需缴纳契税， ①当时，契税为计税价格的， 故； ②当时，契税为计税价格的， 故； ③当时，契税为计税价格的， 故； ； 当时购房金额为万元， 当时购房金额为万元， 当时购房金额为万元； 设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为平方米， 由知，当时，应支付的购房金额为， 又； 又因为房屋均价约为1.044万元平方米，所以，所以， 由，解得，且， 所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为94平方米． 【点睛】本题以购房问题为背景，以散点图、相关指数为载体，考查回归分析、数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识，属于中档题． 18．某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有“难度系数“和“区分度“两个指标中，难度系数，区分度. （1）某次数学考试(满分为150分)，随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人的成绩分别为147，142，137；普通班三人的成绩分别为97，102，113.通过样本估计本次考试的区分度(精确0.01). （2）如表表格是该校高三年级6次数学考试的统计数据： 难度系数x 0.64 0.71 0.74 0.76 0.77 0.82 区分度y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15 ①计算相关系数r，|r|<0.75时，认为相关性弱；|r|≥0.75时，认为相关性强.通过计算说明，能否利用线性回归模型描述y与x的关系(精确到0.01). ②ti=|xi﹣0.74|(i=1，2，…，6)，求出y关于t的线性回归方程，并预测x=0.75时y的值(精确到0.01). 附注：参考数据： 参考公式：相关系数r，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 【答案】（1）0.25；（2）①理由见解析，不能利用线性回归模型描述y与x的关系； ② 回归直线方程，预测值为0.24 【解析】（1）先求出平均成绩,即可求出区分度； （2）①由题意计算､,求出相关系数,即可判断两变量相关性强弱； ②计算回归系数,写出线性回归方程,利用方程计算t=10时的值. 【详解】（1）实验班三人成绩的平均值为, 普通班三人成绩的平均值为, 故估计本次考试的区分度为0.25, （2）①由题中的表格可知(0.64+0.71+0.74+0.76+0.77+0.82)=0.74, (0.18+0.23+0.24+0.24+0.22+0.15)=0.21, 故r0.13. 因为|r|<0.75,所以相关性弱,故不能利用线性回归模型描述y与x的关系； ②y与t的值如下表 t 0.10 0.03 0 0.02 0.03 0.08 区别度y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15 因为0.86, 所以a0.21+0.860.25, 所以所求回归直线方程y=﹣0.86t+0.25, 当x=0.75时,此时t=0.01,则y≈0.24 【点睛】本题考查线性回归方程的求法,考查线性相关关系强弱的判定,考查计算能力,是中档题. 19．2022年卡塔尔世界杯将11月20日开赛，某国家队为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计： 球队胜 球队负 总计 甲参加 30 60 甲未参加 10 总计 60 n (1)根据小概率值=0.025的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？ (2)根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋､中场､后卫三个位置，且出场率分别为：0.1，0.5，0.4；在甲出任前锋、中场、后卫的条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7，则； ①当甲参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率； ②当甲参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当中场的概率； ③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？ 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过； (2)①；②；③应该多让甲球员担任前锋，来扩大赢球场次. 【分析】（1）完善列联表中数据，求出的观测值，再与临界值表比对作答. （2）①利用全概率公式计算某场比赛输球的概率，②利用条件概率公式计算甲担当中场的概率；③求出球队输的条件下甲任前锋、后卫概率即可推理作答. 【详解】（1）依题意，，零假设为：球队胜利与甲球员参赛无关， 则的观测值， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过. （2）①设表示“甲球员担当前锋”；表示“甲球员担当中场”；表示“甲球员担当后卫”；表示“球队输掉某场比赛”， 有，，，，， 则 ， 所以该球队某场比赛输球的概率是0.4. ②由①知，球队输的条件下，甲球员担当中场的概率. ③由①知，球队输的条件下，甲球员担当前锋的概率， 球队输的条件下，甲球员担当后卫的概率， 由②知，， 所以，应该多让甲球员担任前锋，来扩大赢球场次. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$