江西省2025届高三下学期5月模拟预测数学试题

高三考试数学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的, 1.若复数之=i(3一2i),则z十2|= A.3 B.4 C.5 D.6 2,已知函数f(x)=x二三,则“x=1"是“f(x)=一2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与C交于A,B两 点,|AB|=8,点D(3,yo)在C上,则|DF|= A.4 B.5 C.6 D.7 4.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=9和直线l:m.x一y一3m十4=0,若直线1被圆C截得的弦长 为2,则m的值为 A.1 B.-7 C. 1 D.1或-7 5.函数f(x)=cos2x一4c0sx是 A.奇函数,且最大值为5 B.奇函数,且最小值为一3 C.偶函数,且最大值为5 D.偶函数,且最小值为一1 6.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AD=1,AA1=√3,则直线AB与直线B1C所成角 的余弦值为 A.37 C26 7 B37 14 7 D①A 7 7.老师从7篇不同的诗歌中随机抽3篇让同学背诵,规定至少能背出其中2篇才算及格,甲同 学只能背诵其中的3篇,则他能及格的概率为 A号 2 B.35 c D.6 【高三数学第1页(共4页)】 8.已知2十b=1,则 A.a>b B.a<b C.ab≥0 D.ab≤0 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分, 9.已知集合A={x|ax≤6},B={2,3},下列结论正确的是 A.若a=0,则A=R B.若a=0,则A=0 C.若B二A,则a≤2 D.若B二A,则a可以取3 0,已知双曲线C:二-片=1(a>0,b>0)的离心率为3,F,F:分别为C的左、右焦点,P为 C上-点,若 F,PF,的面积等于16,且cos∠F,PF,=号,则 A.b-2v2a B.焦距为3 C.焦点到渐近线的距离为2√2 D.双曲线C的方程为x2 87 11.已知函数f(x)=x2十axe一e恰有3个零点,则a的取值可以为 a号 Re-日 ce- D.e 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知平面向量a,b满足|a=4,|b|=√3,且(a一2b)⊥b,则a与b的夹角0= 13.已知正六棱柱ABCDEF-A,B,C1D1E1F1的体积为24W3,AB=2,则该正六棱柱外接球的 表面积为 14.某校积极开展“武术进校园”活动,为了解该校各班参加武术兴趣小组的人数,从全校随机抽 取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为5,极差不大 于6,且样本数据互不相等,则该样本数据的方差的最大值为 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=√3b,c=2. (I)若A=牙,求 ABC的面积, (2)若√3sinA+sinB=2,求 ABC的周长. 【高三数学第2页(共4页)】 16.(15分) 已知椭圆C:荒+芳=1(0<<)的离心率为厚A,B分别为椭圆C的左,右顶点 (1)求C的方程: (2)若点P在C上,点Q在直线x=5上,点Q的纵坐标为正数,且|BQ|=|BP|,BQ⊥ BP,求直线AP的方程. 17.(15分)》 已知函数fx)=xlnx-ax+a-1Dx-e2. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在(e,f(e))处的切线方程: (2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围. 【高三数学第3页(共4页)】 18.(17分) 在四楼锥P-ABCD中,已知AD,/BC,BC=2AD=2AB=4,∠BAD=受,PD=CD,平面 PCD⊥平面PBC. (1)证明:平面PAB⊥平面ABCD. (2)若PB=2,在棱BC上是否存在一点Q,使得平面PBD与平面PAQ的夹角的余弦值为 ?若存在,求出CQ的长度:若不存在,请说明理由。 19.(17分) 定义除数函数y=d(n)(n∈N")的函数值为n的正因数的个数,例如d(1)=1,d(4)=3, d(81)=5.已知合数m=p…p0,其中p1,p2,…,pn为互不相同的素数,a,∈{1, 2,3,…,n},n,i∈N”,当d(m)取得最大值f(n)时,其发生的概率为g(n). (1)求d(6),d(18),d(63)的值. (2)设n∈N ,t为素数,试探究d(t"),d((3t)"),d(t)的大小关系. (3)若无穷正项数列{an}同时满足下列两个性质,则称数列{an}具有性质P. ①3M>0,Hn∈N”,am<M;②{am}为单调数列. 记b.=f(n)g(n),证明:数列{bn}具有性质P. 【高三数学第4页(共4页)】 高三考试数学参考答案 1.C因为之=i(3一2i)=2+3i,所以|x+2|=|4+3i训=5. 2.A若x=1,则f(x)=-2,反之,若f(x)=x-3=-2,则x=1或x=-3.故“x=1"是 “f(x)=一2”的充分不必要条件. 3B易知AB1=2=8,解得P=4,所以1DF1=3+号=5, 4.D依题意可知直线1与圆C相交,且圆C的圆心坐标为(1,一2),半径r=3.设圆心C到l 的距离为d,则2=2√9-d平,解得d=22.由m+2_3m+4=22,化简得m2+6m-7 √m2+1 =0,解得m=1或m=-7. 5.C因为f(一x)=f(x),所以f(x)是偶函数,排除A,B. f(x)=cos2x-4cosx=2(cosx-1)2-3,令cosx=t(-1≤t≤1),g(t)=2(t-1)2-3,则 g(t)在[-1,1]上单调递减,一3≤g(t)≤5,故选C 6.B连接A1D,DB,由长方体的性质可得A,D∥B,C, 所以直线A,B与直线B1C所成的角即为直线A,B与直线A,D所成 A 的角,即∠DA1B(或其补角) 在 A1BD中,A1B=√7,A1D=2,BD=√5,所以cos∠DA1B= A1B2+A1D2-BD27+4-5 37 2A1B A1D 2 √7 214 7.AP= CC+C C 35 8.D因为b=1-24,所以b-a=1-2-a. 因为f(a)=1一24一a是单调递减函数,且f(0)=0,所以A,B都不正确. 因为ab=(1一2)a≤0,所以C错误,D正确. 9.AC若a=0,则任意实数x均满足0 x≤6,所以A=R,A正确,B错误.因为B二A,所以 2a≤6, 解得a≤2,C正确,D错误. 3a≤6, 10.ACD因为双曲线的离心率为3,所以9=1+,解得6=22a,A正确.设a=m,c= y2 3m(m>0),则C的方程为乙-7 m=1.由双曲线的定义可知11PF,-1PF1=2a= 3 2,F,F2=2c=6m.在 FPF2中,cos∠F,PF2=.因为FF212=|PF,12+ 【高三数学 参考答案第1页(共6页)门 PF22-2PFPF2cos/F PF2, 所以|F1F2|2=(|PF|-|PF2)2+2|PF1I|PF2|(1-cos∠FPF2), 即36m2=4m2+号1PF,llPF2,解得1PF,llPF2l=40m2. 又因为cos∠F,PR:=号,所以∠F,PF,=号,则Sm,= 40m2X号-16, 解得m=1,所以2c=6m=6,B错误,焦点到渐近线的距离为b=2√2m=2√2,C正确,双曲 线C的方程为x2-首-1,D正确 cD+a0-e产=0每价于号+号-1-0,设g)一兰+g-1所以西数E治 er e 有3个零点 令1音则1=号,当<1时,=号单调递增,当>1时1一专单调递波, e e 当x 十o∞时,1 0,当x -∞时,4-00,则t= e 因为函数g(x)恰有3个零点,所以y=+t一1有一个负根和一个小于。的正根, 所以记+8-1>0,解得a>e-吕 12.石因为(a-2b)⊥b,所以(a-2b) b=0,即a b-2b2=0,解得a b=6.由cos0= a b3 1ab=2,0∈[0,],可得0=石. 13.32 设正六边形ABCDEF,A1B1C1D,E1F1的中心分别为O,O1,该正六棱柱的外接球 的半径为R,因为正六棱柱ABCDEF-A:B1CD1E1F1的体积为24W3,AB=2,所以6 2X00,=243,解得0,=4,所以R=0A:+(9)》=8,从而S4=4R2=32 4 149 不妨设这5个班级的样本数据分别为a,b,c,d,e(a<b<c<d<e),且a,b,c,d,e∈ N,依题意有a十b+c十d+e=25.易知e≥d+1≥c+2≥b+3≥a+4,所以5a+10≤a十b +c+d+e≤5e-10,则e≥7,a≤3. 又因为e一a≤6,所以a,b,c,d,e的值可能为2,3,5,7,8或2,4,5,6,8或3,4,5,6,7,共三 种情况,其中23.57,8的方差最大,为号 15.解:1)因为a=56,c=2,A=号, 【高三数学 参考答案第2页(共6页川 所以(W3b)2=b2+22-2b 2cos 2分 化简得b2十b一2=0, 3分 解得b=1.…4分 故 ABC的面积S=号X1X2X如号- 21 5分 (2)因为a=5b,所以sinA=√5sinB,…6分 又3sinA+sinB=2, 所以上面两个方程联立,解得sinB= 2,sin A=V3 444800004404444中0040000+40400444年 8分 由a>6,知B为锐角,所以B=若A=爱或A- 3 …10分 当B=否,A=时,可知C=受, 所以6=2Xsin答-1,a=3, ABC的周长为3+Vg. …11分 当B=若A-时,可知C=吾, 所以b=c=2,从而a=2√3, ABC的周长为4十2√3. 13分 16解:1因为()1- 3分 所以b2= 5分 所以精圆C的方程为后+3买-1 13y2 6分 (2)设P(xp,yp),Q(5,ya),因为ya>0,所以yp>0. 7分 由已知得B(4,0),直线BP的方程为y=一1(x一), 9分 yo 所以|BP|=yP√I+y,|BQ1=√I+y6. 11分 因为|BQ=|BP|,所以yp=1.…12分 将yp=1代人C的方程,解得xp=2或xp=一2. 13分 当P(2,1),Q(5,2)时,直线AP的方程为y=6(x+4), …14分 当P(-2,1),Q(5,6)时,直线AP的方程为y=2(x+4). …15分 17.解:(1)当a=2时,f(x)=xlnx-x2+x-e2,可得f'(x)=lnx-2x+2,f(e)=2e-2e2, f'()=3一2e,…2分 【高三数学 参考答案第3页(共6页)】 所以所求曲线的切线方程为y一(2e-2e2)=(3一2e)(x一e),即(3一2e)x一y一e=0.… …4分 (2)f(x)=xlhx-2ax2+(a-1)x-e的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx-ax+a. 因为f(x)在x=1处取得极大值,所以f'(1)=ln1一a十a=0,且f'(x)在x=1处两侧的 值异号… …5分 ①当a≤0时,f'(x)在(0,+o∞)上单调递增,而f'(1)=0,所以在(0,1)上,f(x)<0,f(x) 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f(x)在x =1处取得极小值,不符合题意.… …7分 ②当a>0时, (i)若a=1,f(x)=lnx-x十1=lnx-(x-1)≤0,则在x∈(0,+∞)上,f(x)为减函 数,所以x=1不是极值点,不符合题意.… 8分 (i)若a>1,设g)=∫(x)=lnx-ax+a,则g'(x)=二a,当x∈(0,)时,g'(x) >0,当x∈(日,十∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,)上单调递增,在(日,+∞)上单调 递减. 9分 因为g(1)=f(1)=ln1-a+a=0,所以在(2,1)上,g(x)>0,f(x)单调递增,在(1, 十∞)上,g(x)<0,f(x)单调递减,则f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.…11分 ()若0<a<1,g')2匹,当x∈(0,)时,g(x)>0,当x∈(日,+∞)时,g'(x) <0,g(x)在(0,)上单调递增,在(公,十∞)上单调递减.… …12分 因为g(1)=f1)=n1-a+a=0,所以在(0,1)上,g(x)<0,f(x)单调递减,在(1,是) 上,g(x)>0,f(x)单调递增,则函数f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.…14分 综上,a>1,即a的取值范围为(1,十∞). 15分 18.(1)证明:分别取PC,PB的中点E和F,连接EF,DE,AF 则EF/BC,EF=2BC.… 1分 又AD/BC,AD=2BC,所以AD/EF,AD=EF,… 2分 所以四边形ADEF是平行四边形,DE∥AF,…3分 因为PD=CD,所以DE⊥PC,则DE⊥平面PBC,… 4分 所以AF⊥平面PBC, 则AF⊥BC.… 5分 【高三数学 参考答案第4页(共6页)】 因为AB⊥BC,所以BC⊥平面PAB,…6分 所以平面ABCD⊥平面PAB.…7分 (2)解:由(1)可知,F为PB的中点,AF⊥PB,所以AB=AP=2. 又PB=2,所以 PAB是等边三角形.…9分 取AB的中点O,连接PO,由(1)可知PO⊥AB,所以PO⊥平面ABCD.…10分 如图,建立空间直角坐标系,则A(0,一1,0,),B(0,1,0),C(4,1, 0),D(2,-1,0),P(0,0,3),PB=(0,1,-3),BD=(2,-2, 0).…11分 设平面PBD的法向量为n=(x1,y1,之1), 所以 n=0即一51=0取1=1,得m=5w,1。 BD.n=0,2x1-2y1=0, …13分 假设存在一点Q满足条件,设Q(a,l,0)(0≤a≤4),所以A户=(0,1,√3),AQ=(a,2,0). 设平面PAQ的法向量为m=(x2,y2,之2), 所以 .m=0即+5:=0取4=a,得m=(25,一5aa).…15分 AQ m=0,ax2十2y2=0, 设平面PBD与平面PAQ的夹角为0,则cos0=cosa,m)1=, 即万X=号解得a=2或a=5(舍去),此时CQ=2,所以在棱BC上存在中点 即 Q,使得平面PBD与平面PAQ的夹角的余弦值为 …17分 19.(1)解:依题意可得d(6)=4,d(18)=6,d(63)=6.… 3分 (2)解:当t=3时,由计数原理可知d(t")=d(3”)=n+1, d((3t)")=d(9")=d(32)=2n+1,d(t3)=d(33")=3n+1, 则d(t聊)>d(3t)”)>d(t”).…5分 当t≠3时,由计数原理可得d(t")=n+1,d((3t)")=d(3" t")=(n+1)(n+1), d(tm)=3n+1,则d(3t)")≥d(t)>d(t"). …7分 (3)证明:由计数原理和n元均值不等式可知d(m)=(1+a1)(1+a2)…(1十a.)≤(1十 n)(1+n)…(1+n)=(n+1)", 当且仅当a1=a2=…=an=n时,d(m)的最大值f(n)=(1十n)”,…9分 当d(m)取得最大值时,其发生的概率g(n)= 则6,-f()g(m)=(1+)”、 11分 【高三数学 参考答案第5页(共6页)】 由m+1元均值不等式可得6.=(1+号)”=(1+) (1+月) … (1+) 1< +》+-+点)- n+1 所以{b}为单调数列. …13分 n,=nln(1+): 设(x)=x+1D-x,则r )中-1千 x+1 所以t(x)在(一1,0)上单调递增,在(0,十∞)上单调递减.…15分 所以t(x)≤t(0)=0,即ln(x+1)≤x, 所以ln1+号)<,从而nb,=nla(1+)<1, …16分 所以6.=(1+)广<e 综上所述,数列{bn}具有性质P.… 17分 【高三数学 参考答案第6页(共6页】