精品解析：云南省凤庆县凤山镇前锋中学2025届高三5月仿真考试数学试卷

云南省前锋中学2025届高三5月仿真考试数学试卷 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 对于数列，“”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件. 4. 已知向量，若向量与的夹角等于向量与的夹角，且向量与不共线，则向量（ ） A. B. C. D. 5. 函数(，常数，，)的部分图象如图所示，为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位 6. 正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则下列可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（     ） A. 如果，那么 B. 如果，那么， C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 10. 在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则（ ） A. PN与为异面直线 B. 与MN所成的角为 C. 平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D. ，则点轨迹长度为 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 恰有一个极值点 B. 有最小值但没有最大值 C. 直线与曲线的公共点个数最多为4 D. 经过点只可作的一条切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为__________. 13. 已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为_________． 14. 某小区有5个连排的私家车位，其中1、2号为甲家所有，3、4号为乙家所有，5号为丙家所有.若甲、乙、丙三家各有一辆私家车，规定每个车位至多停一辆车且这三辆车只能停这5个车位，称车辆未停在自家车位上为停错位，则三辆车全停错位的停法数为______.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求角； （2）若，，求的周长． 16. 已知实数，设． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 17. 甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为.甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为；乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为.在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响. （1）若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率； （2）如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止.设停止游戏时进行了轮游戏，求证：. 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19. 角谷猜想，也称为“”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以；如果是奇数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”现象的猜想，假如对任意正整数，按照上述规则实施第次运算后的结果记，实施第2次运算后的结果记为，…实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后得到数，则停止运算，即可以得到有穷数（其中）其递推关系式为，称作数列的原始项；将此递推公式推广为：，其它规则不变，得到的数列记作，试解答以下问题： （1）若，求数列的项数； （2）若数列满足，求原始项的所有可能取值构成的集合； （3）对任意的数列，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省前锋中学2025届高三5月仿真考试数学试卷 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集的关系即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：D 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算得到，由共轭复数的定义得，再由复数的模的运算得. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 3. 对于数列，“”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的定义、通项公式以及充要条件的定义即可求解. 【详解】解：若数列的通项公式为，则(为常数)，由等差数列的定义可得数列为等差数列； 若数列为等差数列，设首项为，公差为，则通项公式为， 令，则数列的通项公式可写为，为常数，. 所以对于数列，“”是“数列为等差数列”的充要条件. 故选：C. 4. 已知向量，若向量与的夹角等于向量与的夹角，且向量与不共线，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出向量与的夹角的余弦值，设出向量的坐标根据已知条件列出方程组即可求出向量的坐标. 【详解】， 设，所以，即， 又因为向量与的夹角等于向量与的夹角， 所以，即， 解方程组解得或， 所以或，又因为向量与不共线， 所以. 故选：A 5. 函数(，常数，，)的部分图象如图所示，为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向右平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位 C. 向左平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位 【答案】B 【解析】 【分析】利用最值和周期可得，，利用五点法可得，再通过诱导公式及函数的图象变换规律可得结论. 【详解】解：根据函数(，常数，，)的部分图象， 可得，，∴. 再根据五点法作图，可得，故，函数. 为得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个长度单位即可. 故选：B. 【点睛】本题主要考查已知图像求函数的解析式，考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于中档题. 6. 正三棱台三侧棱的延长线交于点P，如果，三棱台的体积为，的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作面于，交面于，连接，确定侧棱与底面所成的角，结合体积公式求出，再利用三棱锥为正三棱锥，求得，即可求解. 【详解】由正三棱台三侧棱的延长线交于点，得三棱锥为正三棱锥， 过作平面于，交平面于，连接， 由，得，则，又，则， 则， 解得，则，设的边长为，则，解得， 由三棱锥为正三棱锥，得是的中心，， 由平面，得为侧棱与底面所成的角，所以. 故选：D 7. 已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角比证明点为椭圆短轴端点，然后根据的面积为列式即可得出答案. 【详解】解析：如图， 设圆与轴切于点，与切于点， 设椭圆与轴正半轴交于点，下面证明，重合， 设，， ，而， 与重合，即点是短轴的端点， ，，则，所以， 故选：C. 8. 已知，且，则下列可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再结合函数的图像，逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， ， 所以函数为奇函数， 又， 所以函数在R上单调递增， 又， 所以可得： ， 画出的图像， 当，，时，不成立， 当时，可能成立， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（     ） A. 如果，那么 B. 如果，那么， C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】CD 【解析】 【分析】古典概型、条件概率、互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式的运用。 【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球, 从中摸出一个小球, 记下球的编号, 记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足 , 但是 选项A错误; 对于选项B，如果 , 那么 ,选项B错误; 对于选项C， 如果与互斥，那么 , 所以选项C正确; 对于选项D，如果与相互独立，那么 所以选项D正确。 故选：CD 10. 在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，动点在正方体表面运动，则（ ） A. PN与为异面直线 B. 与MN所成的角为 C. 平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D. ，则点轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线定义可判断A正确，作与平行的直线，作出异面直线的平面角并由勾股定理可判断B正确，作出截面形状可知平面截该正方体所得截面形状为正六边形，可得C错误，利用向量共线定理可找出点轨迹为线段，求出其长度可得结果，即D正确. 【详解】对于A，由异面直线定义可知与不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即A正确； 对于B，取中点为，连，，如下图所示：由正方体性质可知，又， 所以， 因此与所成的角即为与所成的角，即或其补角， 易知，，，满足，即， 所以，因此与所成的角为，即B正确； 对于C，分别取，的中点为，，连接各中点，如上图所示： 易知，，， 即可知，，，，，在同一平面内， 所以平面截该正方体所得截面即为六边形， 又，所以截面形状为正六边形，即C错误； 对于D，因为为的中点，所以， 由可知， 即，因此可知，共线， 所以点轨迹为过点且与平行的线段， 取的中点为，连接，取的中点， 连接，如下图所示： 由正方体性质易知，，又为的中位线， 所以，； 因此点轨迹即为线段，且， 所以点轨迹长度为，可得正确. 故选：ABD 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 恰有一个极值点 B. 有最小值但没有最大值 C. 直线与曲线的公共点个数最多为4 D. 经过点只可作的一条切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由导数得出单调性进而判断AB；由单调性得出图像，结合直线过定点判断C；由导数的几何意义判断D. 【详解】对于A，的定义域为，， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 故是唯一的极值点，故A正确； 对于B，函数在上的最小值为， 又因为当时，且，当且时，， 当且时，， 所以既无最小值也无最大值，故B错误； 对于C，由B选项作出函数的大致图象如图所示， 直线恒过点， 当足够大时， 直线与曲线有2个交点， 直线与曲线有2个交点， 则直线与曲线的公共点个数最多为4，故C正确； 对于D，易知点不在的图象上，设切点为， 则，解得， 则经过点只可作曲线的一条切线，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为__________. 【答案】60 【解析】 【分析】根据百分位数定义可得，再由通项可求得第5项为常数项，计算可得结果. 【详解】易知，所以的上四分位数为第5个数，即； 所以二项式为， 设展开式中的第项为常数项，即为常数项， 令，解得， 即常数项为. 故答案为：60 13. 已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据抛物线定义，利用数形结合，即可求解. 【详解】依题意知抛物线的焦点，连接， 则点到直线的距离，所以， 其中的最小值，即点F到直线的距离，即， 当且仅当点P在F到直线的垂线上且P在F和之间时，等号成立，即的最小值为5． 故答案为：5 14. 某小区有5个连排的私家车位，其中1、2号为甲家所有，3、4号为乙家所有，5号为丙家所有.若甲、乙、丙三家各有一辆私家车，规定每个车位至多停一辆车且这三辆车只能停这5个车位，称车辆未停在自家车位上为停错位，则三辆车全停错位的停法数为______.（用数字作答） 【答案】20 【解析】 【分析】根据5号车位有无停车分类讨论可得． 【详解】三辆车全停错位，5号车位停甲或乙车子，方法数有，， 5号车位未停车，方法数为，总方法数为． 故答案为：20． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求角； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及两角和与差的正弦公式即可求解； （2）根据平面向量数量积的定义求得，再根据余弦定理得出，即可求解周长． 【小问1详解】 由，得， 所以 又，所以，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以，则， 又，余弦定理，所以， 可得，即， 所以，即的周长为20． 16. 已知实数，设． （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，写出切线方程即可； （2）求函数单调区间、极值、零点，，集合，由题意知，由时不成立知， 讨论与1的大小关系求出满足的的取值范围. 【小问1详解】 因为， ，， 所以，则. 故点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由已知有，令，解得或，列表如下： 所以的单调增区间是，单调减区间是和， 当时，取极小值，当时，取极大值， 由知，当时，，当时， 因为对于任意的，总存在，使得， 当时，不成立，故，所以，所以. 设集合集合 则“对于任意的，都存在，使得”等价于. 下面分两种情况讨论： 当即时，有且此时在上单调递减，的值域为， 故，，所以A不是B的子集.    当即时，有且此时在上单调递减，故，因而， 由有在上的值域为，所以，所以满足题意.    综上，的取值范围为 17. 甲乙两人参加单位组织的知识答题活动，每轮活动由甲乙各答一个题，已知甲、乙第一轮答对的概率都为.甲如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为；乙如果第轮答对，则他第轮也答对的概率为，如果第轮答错，则他第轮也答错的概率为.在每轮活动中，甲乙答对与否互不影响. （1）若前两轮活动中第二轮甲乙都答对，求两人第一轮也都答对的概率； （2）如果在每一轮活动中至少有一人答对，游戏就可以一直进行下去，直到他们都答错为止.设停止游戏时进行了轮游戏，求证：. 【答案】（1） （2） 第二轮甲答对的概率为， 第二轮乙答对的概率为， 依此类推得到，， 每一轮甲乙都答错的概率为， 因此， 则① 所以，② ①②得， 其中， 所以. 【解析】 【分析】（1）设“甲在第轮活动中答对”，“乙在第轮活动中答对”，“甲乙在第轮活动中都答对”，，利用相互独立事件的概率公式求出及，再由条件概率公式计算可得； （2）推导可得，，则每一轮甲乙都答错的概率为，所以，再由错位相减法求出，即可得证. 【小问1详解】 设“甲在第轮活动中答对”，“乙在第轮活动中答对”， “甲乙在第轮活动中都答对”，， 则 ， 又， 故； 【小问2详解】 略 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 19. 角谷猜想，也称为“”猜想，其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以；如果是奇数，则将它乘以再加上，如此反复运算，该数最终将变为；这就是对一个正整数运算时“万数归”现象的猜想，假如对任意正整数，按照上述规则实施第次运算后的结果记，实施第2次运算后的结果记为，…实施第次运算后的结果记为，实施第次运算后得到数，则停止运算，即可以得到有穷数（其中）其递推关系式为，称作数列的原始项；将此递推公式推广为：，其它规则不变，得到的数列记作，试解答以下问题： （1）若，求数列的项数； （2）若数列满足，求原始项的所有可能取值构成的集合； （3）对任意的数列，求证：． 【答案】（1） （2） （3）依题意，，， 当时，显然成立；当时，，即也成立； 当时，对任意，， 故，即， ①当时，由，， 所以； ②当时，由，， ，所以. 综上所述，任意的数列，. 【解析】 【分析】（1），根据给定条件，逐一计算即可得数列的项数； （2）根据“角谷猜想”进行逆推计算，由此可得结论； （3）验证当、时，所证不等式成立，当时，推导出，分类讨论①当，②当，利用题中定义进行推理，证明出结论成立即可. 【小问1详解】 因为，根据题意可得，，， ，，，，， 所以数列的项数为. 【小问2详解】 由题意可得， 因为，则，，（舍）或， 当时，，或， 当时，则；当时，； 综上所述，的取值集合为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $