第八单元专项练习：打电话问题和找次品问题综合-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

第 1 页 共 11 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第八单元专项练习：打电话问题和找次品问题综合 一、填空题。 1．学校接到紧急通知，办公室林主任接到后需要 2分钟通知第一位老师，要通 知全校 48位老师，至少需要( )分钟。 【答案】12 【分析】接到通知的老师可以同时去通知其他老师，第 2分钟通知 1位老师，第 4分钟通知 1＋2＝3（位）老师，第 6分钟通知 3＋4＝7（位）老师，以此类推， 通知到的人数大于或等于 48即可。 【详解】第 2分钟：1位 第 4分钟：1＋2＝3（位） 第 6分钟：3＋4＝7（位） 第 8分钟：7＋8＝15（位） 第 10分钟：15＋16＝31（位） 第 12分钟：31＋32＝63（位） 63＞48 至少需要 12分钟。 2．一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到 20名队员。任务必 须一对一进行传达，每分钟通知 1人，至少需要( )分钟可以通知到每个 人。 【答案】5 【分析】第 1分钟队长通知 1名队员；第 2分钟队长和已经通知的队员分别通知 1名队员，新接到通知的队员人数为 2名，接到通知的队员总人数为 2＋1＝3（名）； 第 3分钟队长和已经通知的队员分别通知 1名队员，新接到通知的队员人数为 3 ＋1＝4（名），接到通知的队员总人数为 4＋3＝7（名）；第 4分钟队长和已经 通知的队员分别通知 1名队员，新接到通知的队员人数为 7＋1＝8（名），接到 通知的队员总人数为 8＋7＝15（名）；第 5分钟队长和已经通知的队员分别通 知 1名队员，新接到通知的队员人数为 15＋1＝16（名），接到通知的队员总人 第 2 页 共 11 页 数为 16＋15＝31（名）；据此分析解答。 【详解】由分析可得： 所以，至少需要 5分钟可以通知到每个人。 3．蚂蚁用触角传递信息，一旦发现食物，先由一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，这两 只蚂蚁再分别去通知另外的蚂蚁。如果每通知一只蚂蚁需 10秒，1分钟内共有 ( )只蚂蚁知道信息。 【答案】64 【分析】根据题目中的通知方案可知：第一个 10秒，一只蚂蚁通知另一只蚂蚁， 共通知到（1×2）只蚂蚁；第二个 10秒，2只蚂蚁通知另 2只蚂蚁，共通知到（2×2） 只蚂蚁；第三个 10秒，4只蚂蚁通知另 4只蚂蚁，共通知到（2×2×2）只蚂蚁； 第四个 10秒，8只蚂蚁通知另 8只蚂蚁，共通知到（2×2×2×2）只蚂蚁……由此 可知，第几个 10秒，通知到的蚂蚁只数为几个 2相乘。据此解答。 【详解】1分钟＝60秒 60÷10＝6（个） 2×2×2×2×2×2 ＝4×2×2×2×2 ＝8×2×2×2 ＝16×2×2 ＝32×2 ＝64（只） 所以 1分钟内共有 64只蚂蚁知道信息。 4．如果用打电话的方式，每分钟通知 1人，至少( )分钟才能通知完 30 个人。 【答案】5 【分析】每分钟通知 1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。 第 3 页 共 11 页 找到规律，按规律求出通知 30人最短需要的时间。 【详解】第 1分钟通知 1人； 第 2分钟通知 1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人）； 第 3分钟通知 1＋3＝4（人），接到通知的一共有：3＋4＝7（人）； 第 4分钟通知 1＋7＝8（人），接到通知的一共有：7＋8＝15（人）； 第 5分钟通知 1＋15＝16（人），接到通知的一共有：15＋16＝31（人）； 31＞30 至少 5分钟才能通知完 30个人。 5．有 5包奶糖，其中 4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用( ) 的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放( )包奶糖，如果天平 平衡了，剩下的那包就是( )；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两 包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称 ( )次。 【答案】 天平称 2 轻的那包 2 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成 3份；二是要尽量平均分，不 能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差 1，这样不但能保证找出次品， 而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】有 5包奶糖，其中有一包是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（2，2，1），天平两边各放 2包，①若天平平衡，则次品 就是剩下的 1包；②若天平不平衡，次品就在较轻的那 2包中； 第二次称重：把 2包分成（1，1），天平两边各放 1包，次品就是较轻的那 1 包。 有 5包奶糖，其中 4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用天平称的方法把 轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放 2包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那 包就是轻的那包；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找 出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称 2次。 6．有 8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天 平最少称( )次才能保证找到次品；天平左、右两边各放( )个， 有可能一次就找出次品。 第 4 页 共 11 页 【答案】 2 1 【分析】把这 8个乒乓球分成 3个、3个、2个三组，先在天平两边各放 3个： （1）如果天平平衡，说明次品在没称的 2个里面，再把这 2个乒乓球分别放在 天平秤两端，天平秤较高的那端乒乓球，即为次品； （2）若天平秤不平衡，从天平秤较高端的一侧任意取出 2个，放在天平两边， 如果平衡，没称的那个就是次品；如果不平衡，较轻的一个就是次品； 若左右各放 1个球：若天平不平衡，轻的一侧即为次品，一次即可找到；若平衡， 次品在剩下的 6个中，但题目仅要求“有可能”一次找到（即次品恰好在被称量的 两球中时），因此左右各放 1个符合条件。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 有 8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最 少称 2次才能保证找到次品；天平左、右两边各放 1个，有可能一次就找出次品。 7．利用天平称找出次品的最优的方法，下列数量的物品分成 3份应该怎样分？ 请把分的数量写在圆圈里。 【答案】见详解 【分析】找次品的最优策略：把待分物品分成 3份；每份数量尽量平均，如果不 能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1。据此解答。 【详解】将 9平均分成 3份，9÷3＝3，9可以分成 3、3、3； 将 16尽可能平均分成 3份，16÷3＝5……1，16可以分成 5、5、6； 将 28尽可能平均分成 3份，28÷3＝9……1，28可以分成 9、9、10。 如图所示： （后两题里面数字顺序不唯一） 8．新希望杯组委会定制了 20枚金牌奖品，其中 19枚奖牌的重量相同，另外有 一枚奖牌（次品）要轻一些，现有一架天平，天平上一共最多只能放 10枚奖牌。 第 5 页 共 11 页 最少要称( )次才能保证找到这枚奖牌。 【答案】4 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成 3份；（2）每份数量尽量平 均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1。本题中，因为 天平上一共最多只能放 10枚奖牌，所以不能分成 3组，考虑将奖牌分成 4组， 每组 5枚。 【详解】将 20枚金牌分成 4组，每组 5枚，则称 2次可以确定次品所在的组； 再将次品的这组 5枚分成（2、2、1）3组，最多 2次即可找到次品。 2＋2＝4（次） 最少要称 4次才能保证找到这枚奖牌。 二、选择题。 9．小葵花合唱团的盛老师采用打电话这种一对一方式通知同学到声乐教室练习， 每通知 1人需 1分钟。 表示老师， 表示同学，线上的数表示时间。能正确 解决 4分钟共通知同学总数的算式是( )。 A．1＋2＋3＋4 B．1＋2＋3＋4＋1 C．1＋2＋4＋8 D．1＋2＋4＋8＋1 【答案】C 【分析】每分钟通知 1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。 找到规律，按规律得出 4分钟共通知同学总数的算式。 【详解】第 1分钟通知 1人； 第 2分钟通知 1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人） 第 3分钟通知 1＋3＝4（人），接到通知的一共有：1＋2＋4＝7（人） 第 4分钟通知 1＋7＝8（人），接到通知的一共有：1＋2＋4＋8＝15（人） 能正确解决 4分钟共通知同学总数的算式是 1＋2＋4＋8。 故答案为：C 10．蚂蚁是社群性昆虫，它们在活动中需要通过触角来传递信息。如果一只蚂蚁 第 6 页 共 11 页 用 3秒完成一次信息传递，9秒后，最多会有( )只蚂蚁知道这个信息。 A．3 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】蚂蚁用 3秒完成一次信息传递，那么 9秒就可以完成 3次信息传递，第 1次传递后共有 1＋1＝2（只）蚂蚁知道这个信息，第 2次传递后共有 1＋1＋2 ＝4（只）蚂蚁知道这个信息，第 3次传递后共有 1＋1＋2＋4＝8（只）蚂蚁知 道这个信息，据此解答。 【详解】由分析可知： 第 1次传递后共有 1＋1＝2（只） 第 2次传递后共有 1＋1＋2＝4（只） 第 3次传递后共有 1＋1＋2＋4＝8（只） 9秒后有 8只蚂蚁知道这个信息。 故答案为：B 11．王老师带的国旗班有队员 8人，李老师带的舞蹈队有队员 15人，张老师带 的主持人社团有队员 12人，假期有一个紧急活动，三位老师需要尽快通知到每 一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知 1人，请你用本期学过的“打电话 最快方案”，判断一下这三位老师所花最少时间之间的关系。正确选项是 ( )。 A．王老师所花最少时间最短 B．李老师所花最少时间最长 C．王老师 3分钟就能通知到每一个队员 D．三个老师所花最少时间都是 4分钟 【答案】D 【分析】王老师第一分钟通知到 1个队员，第二分钟最多可通知到 3个队员，第 三分钟最多可通知到 7个队员，第四分钟最多可通知到 15个队员； 李老师第一分钟通知到 1个队员，第二分钟最多可通知到 3个队员，第三分钟最 多可通知到 7个队员，第四分钟最多可通知到 15个队员； 张老师第一分钟通知到 1个队员，第二分钟最多可通知到 3个队员，第三分钟最 多可通知到 7个队员，第四分钟最多可通知到 15个队员；据此解答。 第 7 页 共 11 页 【详解】7＜8＜15，15＝15，7＜12＜15 由分析可得：这三位老师所花的时间都相同，最少时间都是 4分钟。 故答案为：D 12．一个合唱团有 60人，暑假期间有个紧急演出，老师需要尽快通知每个演员。 如果用打电话的方式，每 1分钟通知 1个人，最少花( )分钟能通知到每 个演员。 A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】B 【分析】根据题意可知，每一次通知的人数是前一次的两倍，已知合唱队有 60 个人，第一次通知 1人，第二次通知 2人，第三次通知 4人，第四次通知 8人， 第五次通知 16人，第六次通知 32人等以此列推，可知到第六次时，通知的人数 为（1＋2＋4＋8＋16＋32）人，超过了 60人，所以最少花 6分钟能通知到每个 演员。 【详解】第一次通知 1人； 第二次通知人数：1×2＝2（人） 第三次通知人数：2×2＝4（人） 第四次通知人数：4×2＝8（人） 第五次通知人数：8×2＝16（人） 第六次通知人数：16×2＝32（人） 1＋2＋4＋8＋16＋32 ＝3＋4＋8＋16＋32 ＝7＋8＋16＋32 ＝15＋16＋32 ＝31＋32 ＝63（人） 63＞60 所以最少花 6分钟能通知到每个演员。 故答案为：B 13．有 7瓶药片，其中有 1瓶中少 2片，为次品，用天平至少称量( )次 第 8 页 共 11 页 就保证能找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成 3份；（2）每份数量尽量平 均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1。 【详解】将 7瓶分成（2、2、3），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面， 称（2、2），平衡，次品在 3瓶中，将 3分成（1、1、1），称（1、1），无论 平衡不平衡，都可确定次品，共 2次。 用天平至少称量 2次就保证能找出次品。 故答案为：B 14．在 27个乒乓球中有一个乒乓球的质量不合格（不合格的乒乓球轻一些）， 用天平秤，至少称( )次就一定能找出不合格的乒乓球。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】把 27个乒乓球平均分成 3份，每份 9个，即（9，9，9），第一次称， 天平两边各放 9个，如果天平不平衡，不合格的乒乓球就在较轻的 9个中；如果 天平平衡，不合格的乒乓球在剩下的 9个中；把有不合格的 9个乒乓球平均分成 3份，每份是 3个，即（3，3，3），第二次称，天平两边各放 3个，如果天平 不平衡，不合格的乒乓球就在较轻的 3个中；如果天平平衡，不合格的乒乓球在 剩下的 3个中；最后把有不合格的 3个乒乓球分成（1，1，1），第三次称，天 平两边各放 1个，如果天平不平衡，不合格的乒乓球就是较轻的那 1个；如果天 平平衡，不合格的乒乓球就是剩下的那 1个。所以至少称 3次就一定能找出不合 格的乒乓球。 【详解】 至少称 3次就一定能找出不合格的乒乓球。 故答案为：A 15．一批零件有 81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷， 第 9 页 共 11 页 如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是 ( )。 A．（40、41） B．（20、20、20、21） C．（27、27、27） D．（25、25、31） 【答案】C 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成 3份；二是要尽量平均分，不 能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差 1，这样不但能保证找出次品， 而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】有 81个零件，其中有一件是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（27，27，27），天平两边各放 27个，①若天平平衡，则 次品就在剩下的 27个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那 27个中； 第二次称重：把 27个分成（9，9，9），天平两边各放 9个，①若天平平衡，则 次品就在剩下的那 9个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那 9个中； 第三次称重：先分成（3，3，3），天平两边各放 3个，①若天平平衡，则次品 就在剩下的 3个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那 3个中； 第四次称重：先分成（1，1，1），天平两边各放 1个，①若天平平衡，则次品 就是剩下的 1个；②若天平不平衡，次品就是较轻的那 1个。 一批零件有 81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果 要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是（27、 27、27）。 故答案为：C 16．有 100盒饼干，其中 99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒 略重的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按下面的第( )种分法来 称。 A．2份（50，50） B．2份（99，1） C．3份（33，33，34） D．3份（20，30，50） 【答案】C 【分析】找次品问题中，最少称重次数的最优策略是将物品尽可能均分为 3份， 因为每次称量可以将问题规模缩小至原规模的 1 3，因此分 3份能最快定位次品， 第 10 页 共 11 页 据此解答。 【详解】100÷3＝33（盒）……1（盒） 33＋1＝34（盒） 有 100盒饼干，其中 99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒略重 的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按（33，33，34）来称。 故答案为：C 三、解答题。 17．王老师接到一个紧急通知，王老师需要尽快通知到每个同学。如果用打电话 的方式，每分钟通知 1人，请问 6分钟以后通知了几人？ 【答案】63人 【分析】先将王老师算进去，每一分钟得到通知的人数都会是前一分钟人数的 2 倍，据此列式，最后减去王老师即可。 【详解】2×2×2×2×2×2－1 ＝64－1 ＝63（人） 答：6分钟以后通知了 63人。 【点睛】关键是理解接到通知的同学可以同时打电话通知未接到通知的同学。 18．有 9瓶洗衣液，其中一瓶是次品，比其他的稍重些，至少称几次能保证找出 这瓶洗衣液？ 【答案】2次 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成 3份；二是要尽量平均分，不 能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差 1。这样不但能保证找出次品， 而且称的次数一定最少。据此解答。 【详解】把 9瓶洗衣液平均分成 3份，每份 3瓶，即（3，3，3），第一次称， 天平两边各放 3瓶，如果天平不平衡，次品就在较重的 3瓶中；如果天平平衡， 次品在剩下的 3瓶中；再把有次品的 3瓶洗衣液分成 3份，即（1，1，1），第 二次称，天平两边各放 1瓶，如果天平不平衡，次品就是较重的那一瓶；如果天 平平衡，次品是剩下的那 1瓶。至少称 2次能保证找出这瓶洗衣液。 答：至少称 2次能保证找出这瓶洗衣液。 第 11 页 共 11 页 19．一箱糖果有 12袋，其中有 11袋质量相同，另有 1袋质量不足，轻一些。至 少称几次能保证找出这袋糖果？ 【答案】3次 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成 3份；二是要尽量平均分，不 能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差 1。这样不但能保证找出次品， 而且称的次数一定最少。据此解答。 【详解】把 12袋糖果平均分成 3份，每份 4袋，即（4，4，4），第一次称，天 平两边各放 4袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的 4袋中；如果天平平衡，次 品在剩下的 4袋中；再把有次品的 4袋糖果分成（1，1，2），第二次称，天平 两边各放 1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品 在剩下的 2袋中；最后把有次品的 2袋糖果分成（1，1），第三次称，天平两边 各放 1袋，次品就是较轻的那一袋。至少称 3次能保证找出这袋糖果。 答：至少称 3次能保证找出这袋糖果。 20．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能 测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有 63个外观相同的乒乓球，其 中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出 称法。 【答案】3次；称法见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成 3份；（2）每份数量尽量平 均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1。 因为这台与众不同的天平有三个托盘，因此按照找次品的最优策略，将待分物品 分成 4份即可。 【详解】将 63个乒乓球分成（16、16、16、15），只考虑最不利的情况，即次 品在多的里面，称（16、16、16），不平衡，次品在轻的 16个中；将 16个分成 （4、4、4、4），称（4、4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中 4个； 将 4个分成（1、1、1、1），称（1、1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品， 共 3次。 答：用该天平最少称 3次就保证能找出这个乒乓球。 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第八单元专项练习：打电话问题和找次品问题综合 一、填空题。 1．学校接到紧急通知，办公室林主任接到后需要2分钟通知第一位老师，要通知全校48位老师，至少需要( )分钟。 【答案】12 【分析】接到通知的老师可以同时去通知其他老师，第2分钟通知1位老师，第4分钟通知1＋2＝3（位）老师，第6分钟通知3＋4＝7（位）老师，以此类推，通知到的人数大于或等于48即可。 【详解】第2分钟：1位 第4分钟：1＋2＝3（位） 第6分钟：3＋4＝7（位） 第8分钟：7＋8＝15（位） 第10分钟：15＋16＝31（位） 第12分钟：31＋32＝63（位） 63＞48 至少需要12分钟。 2．一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到20名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，至少需要( )分钟可以通知到每个人。 【答案】5 【分析】第1分钟队长通知1名队员；第2分钟队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为2名，接到通知的队员总人数为2＋1＝3（名）；第3分钟队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为3＋1＝4（名），接到通知的队员总人数为4＋3＝7（名）；第4分钟队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为7＋1＝8（名），接到通知的队员总人数为8＋7＝15（名）；第5分钟队长和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为15＋1＝16（名），接到通知的队员总人数为16＋15＝31（名）；据此分析解答。 【详解】由分析可得： 所以，至少需要5分钟可以通知到每个人。 3．蚂蚁用触角传递信息，一旦发现食物，先由一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别去通知另外的蚂蚁。如果每通知一只蚂蚁需10秒，1分钟内共有( )只蚂蚁知道信息。 【答案】64 【分析】根据题目中的通知方案可知：第一个10秒，一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，共通知到（1×2）只蚂蚁；第二个10秒，2只蚂蚁通知另2只蚂蚁，共通知到（2×2）只蚂蚁；第三个10秒，4只蚂蚁通知另4只蚂蚁，共通知到（2×2×2）只蚂蚁；第四个10秒，8只蚂蚁通知另8只蚂蚁，共通知到（2×2×2×2）只蚂蚁……由此可知，第几个10秒，通知到的蚂蚁只数为几个2相乘。据此解答。 【详解】1分钟＝60秒 60÷10＝6（个） 2×2×2×2×2×2 ＝4×2×2×2×2 ＝8×2×2×2 ＝16×2×2 ＝32×2 ＝64（只） 所以1分钟内共有64只蚂蚁知道信息。 4．如果用打电话的方式，每分钟通知1人，至少( )分钟才能通知完30个人。 【答案】5 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知30人最短需要的时间。 【详解】第1分钟通知1人； 第2分钟通知1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人）； 第3分钟通知1＋3＝4（人），接到通知的一共有：3＋4＝7（人）； 第4分钟通知1＋7＝8（人），接到通知的一共有：7＋8＝15（人）； 第5分钟通知1＋15＝16（人），接到通知的一共有：15＋16＝31（人）； 31＞30 至少5分钟才能通知完30个人。 5．有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用( )的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放( )包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是( )；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称( )次。 【答案】 天平称 2 轻的那包 2 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】有5包奶糖，其中有一包是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（2，2，1），天平两边各放2包，①若天平平衡，则次品就是剩下的1包；②若天平不平衡，次品就在较轻的那2包中； 第二次称重：把2包分成（1，1），天平两边各放1包，次品就是较轻的那1包。 有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用天平称的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放2包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是轻的那包；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称2次。 6．有8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称( )次才能保证找到次品；天平左、右两边各放( )个，有可能一次就找出次品。 【答案】 2 1 【分析】把这8个乒乓球分成3个、3个、2个三组，先在天平两边各放3个： （1）如果天平平衡，说明次品在没称的2个里面，再把这2个乒乓球分别放在天平秤两端，天平秤较高的那端乒乓球，即为次品； （2）若天平秤不平衡，从天平秤较高端的一侧任意取出2个，放在天平两边，如果平衡，没称的那个就是次品；如果不平衡，较轻的一个就是次品； 若左右各放1个球：若天平不平衡，轻的一侧即为次品，一次即可找到；若平衡，次品在剩下的6个中，但题目仅要求“有可能”一次找到（即次品恰好在被称量的两球中时），因此左右各放1个符合条件。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 有8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称2次才能保证找到次品；天平左、右两边各放1个，有可能一次就找出次品。 7．利用天平称找出次品的最优的方法，下列数量的物品分成3份应该怎样分？请把分的数量写在圆圈里。 【答案】见详解 【分析】找次品的最优策略：把待分物品分成3份；每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。据此解答。 【详解】将9平均分成3份，9÷3＝3，9可以分成3、3、3； 将16尽可能平均分成3份，16÷3＝5……1，16可以分成5、5、6； 将28尽可能平均分成3份，28÷3＝9……1，28可以分成9、9、10。 如图所示： （后两题里面数字顺序不唯一） 8．新希望杯组委会定制了20枚金牌奖品，其中19枚奖牌的重量相同，另外有一枚奖牌（次品）要轻一些，现有一架天平，天平上一共最多只能放10枚奖牌。最少要称( )次才能保证找到这枚奖牌。 【答案】4 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。本题中，因为天平上一共最多只能放10枚奖牌，所以不能分成3组，考虑将奖牌分成4组，每组5枚。 【详解】将20枚金牌分成4组，每组5枚，则称2次可以确定次品所在的组；再将次品的这组5枚分成（2、2、1）3组，最多2次即可找到次品。 2＋2＝4（次） 最少要称4次才能保证找到这枚奖牌。 二、选择题。 9．小葵花合唱团的盛老师采用打电话这种一对一方式通知同学到声乐教室练习，每通知1人需1分钟。表示老师，表示同学，线上的数表示时间。能正确解决4分钟共通知同学总数的算式是( )。 A．1＋2＋3＋4 B．1＋2＋3＋4＋1 C．1＋2＋4＋8 D．1＋2＋4＋8＋1 【答案】C 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律得出4分钟共通知同学总数的算式。 【详解】第1分钟通知1人； 第2分钟通知1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人） 第3分钟通知1＋3＝4（人），接到通知的一共有：1＋2＋4＝7（人） 第4分钟通知1＋7＝8（人），接到通知的一共有：1＋2＋4＋8＝15（人） 能正确解决4分钟共通知同学总数的算式是1＋2＋4＋8。 故答案为：C 10．蚂蚁是社群性昆虫，它们在活动中需要通过触角来传递信息。如果一只蚂蚁用3秒完成一次信息传递，9秒后，最多会有( )只蚂蚁知道这个信息。 A．3 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】蚂蚁用3秒完成一次信息传递，那么9秒就可以完成3次信息传递，第1次传递后共有1＋1＝2（只）蚂蚁知道这个信息，第2次传递后共有1＋1＋2＝4（只）蚂蚁知道这个信息，第3次传递后共有1＋1＋2＋4＝8（只）蚂蚁知道这个信息，据此解答。 【详解】由分析可知： 第1次传递后共有1＋1＝2（只） 第2次传递后共有1＋1＋2＝4（只） 第3次传递后共有1＋1＋2＋4＝8（只） 9秒后有8只蚂蚁知道这个信息。 故答案为：B 11．王老师带的国旗班有队员8人，李老师带的舞蹈队有队员15人，张老师带的主持人社团有队员12人，假期有一个紧急活动，三位老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请你用本期学过的“打电话最快方案”，判断一下这三位老师所花最少时间之间的关系。正确选项是( )。 A．王老师所花最少时间最短 B．李老师所花最少时间最长 C．王老师3分钟就能通知到每一个队员 D．三个老师所花最少时间都是4分钟 【答案】D 【分析】王老师第一分钟通知到1个队员，第二分钟最多可通知到3个队员，第三分钟最多可通知到7个队员，第四分钟最多可通知到15个队员； 李老师第一分钟通知到1个队员，第二分钟最多可通知到3个队员，第三分钟最多可通知到7个队员，第四分钟最多可通知到15个队员； 张老师第一分钟通知到1个队员，第二分钟最多可通知到3个队员，第三分钟最多可通知到7个队员，第四分钟最多可通知到15个队员；据此解答。 【详解】7＜8＜15，15＝15，7＜12＜15 由分析可得：这三位老师所花的时间都相同，最少时间都是4分钟。 故答案为：D 12．一个合唱团有60人，暑假期间有个紧急演出，老师需要尽快通知每个演员。如果用打电话的方式，每1分钟通知1个人，最少花( )分钟能通知到每个演员。 A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】B 【分析】根据题意可知，每一次通知的人数是前一次的两倍，已知合唱队有60个人，第一次通知1人，第二次通知2人，第三次通知4人，第四次通知8人，第五次通知16人，第六次通知32人等以此列推，可知到第六次时，通知的人数为（1＋2＋4＋8＋16＋32）人，超过了60人，所以最少花6分钟能通知到每个演员。 【详解】第一次通知1人； 第二次通知人数：1×2＝2（人） 第三次通知人数：2×2＝4（人） 第四次通知人数：4×2＝8（人） 第五次通知人数：8×2＝16（人） 第六次通知人数：16×2＝32（人） 1＋2＋4＋8＋16＋32 ＝3＋4＋8＋16＋32 ＝7＋8＋16＋32 ＝15＋16＋32 ＝31＋32 ＝63（人） 63＞60 所以最少花6分钟能通知到每个演员。 故答案为：B 13．有7瓶药片，其中有1瓶中少2片，为次品，用天平至少称量( )次就保证能找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将7瓶分成（2、2、3），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（2、2），平衡，次品在3瓶中，将3分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共2次。 用天平至少称量2次就保证能找出次品。 故答案为：B 14．在27个乒乓球中有一个乒乓球的质量不合格（不合格的乒乓球轻一些），用天平秤，至少称( )次就一定能找出不合格的乒乓球。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】把27个乒乓球平均分成3份，每份9个，即（9，9，9），第一次称，天平两边各放9个，如果天平不平衡，不合格的乒乓球就在较轻的9个中；如果天平平衡，不合格的乒乓球在剩下的9个中；把有不合格的9个乒乓球平均分成3份，每份是3个，即（3，3，3），第二次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，不合格的乒乓球就在较轻的3个中；如果天平平衡，不合格的乒乓球在剩下的3个中；最后把有不合格的3个乒乓球分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，不合格的乒乓球就是较轻的那1个；如果天平平衡，不合格的乒乓球就是剩下的那1个。所以至少称3次就一定能找出不合格的乒乓球。 【详解】 至少称3次就一定能找出不合格的乒乓球。 故答案为：A 15．一批零件有81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是( )。 A．（40、41） B．（20、20、20、21） C．（27、27、27） D．（25、25、31） 【答案】C 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】有81个零件，其中有一件是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（27，27，27），天平两边各放27个，①若天平平衡，则次品就在剩下的27个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那27个中； 第二次称重：把27个分成（9，9，9），天平两边各放9个，①若天平平衡，则次品就在剩下的那9个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那9个中； 第三次称重：先分成（3，3，3），天平两边各放3个，①若天平平衡，则次品就在剩下的3个中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那3个中； 第四次称重：先分成（1，1，1），天平两边各放1个，①若天平平衡，则次品就是剩下的1个；②若天平不平衡，次品就是较轻的那1个。 一批零件有81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是（27、27、27）。 故答案为：C 16．有100盒饼干，其中99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒略重的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按下面的第( )种分法来称。 A．2份（50，50） B．2份（99，1） C．3份（33，33，34） D．3份（20，30，50） 【答案】C 【分析】找次品问题中，最少称重次数的最优策略是将物品尽可能均分为3份，因为每次称量可以将问题规模缩小至原规模的，因此分3份能最快定位次品，据此解答。 【详解】100÷3＝33（盒）……1（盒） 33＋1＝34（盒） 有100盒饼干，其中99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒略重的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按（33，33，34）来称。 故答案为：C 三、解答题。 17．王老师接到一个紧急通知，王老师需要尽快通知到每个同学。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请问6分钟以后通知了几人？ 【答案】63人 【分析】先将王老师算进去，每一分钟得到通知的人数都会是前一分钟人数的2倍，据此列式，最后减去王老师即可。 【详解】2×2×2×2×2×2－1 ＝64－1 ＝63（人） 答：6分钟以后通知了63人。 【点睛】关键是理解接到通知的同学可以同时打电话通知未接到通知的同学。 18．有9瓶洗衣液，其中一瓶是次品，比其他的稍重些，至少称几次能保证找出这瓶洗衣液？ 【答案】2次 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【详解】把9瓶洗衣液平均分成3份，每份3瓶，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较重的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的3瓶中；再把有次品的3瓶洗衣液分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较重的那一瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那1瓶。至少称2次能保证找出这瓶洗衣液。 答：至少称2次能保证找出这瓶洗衣液。 19．一箱糖果有12袋，其中有11袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果？ 【答案】3次 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【详解】把12袋糖果平均分成3份，每份4袋，即（4，4，4），第一次称，天平两边各放4袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的4袋中；如果天平平衡，次品在剩下的4袋中；再把有次品的4袋糖果分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品在剩下的2袋中；最后把有次品的2袋糖果分成（1，1），第三次称，天平两边各放1袋，次品就是较轻的那一袋。至少称3次能保证找出这袋糖果。 答：至少称3次能保证找出这袋糖果。 20．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。 【答案】3次；称法见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 因为这台与众不同的天平有三个托盘，因此按照找次品的最优策略，将待分物品分成4份即可。 【详解】将63个乒乓球分成（16、16、16、15），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（16、16、16），不平衡，次品在轻的16个中；将16个分成（4、4、4、4），称（4、4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4个；将4个分成（1、1、1、1），称（1、1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。 答：用该天平最少称3次就保证能找出这个乒乓球。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 5 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第八单元专项练习：打电话问题和找次品问题综合 一、填空题。 1．学校接到紧急通知，办公室林主任接到后需要 2分钟通知第一位老师，要通 知全校 48位老师，至少需要( )分钟。 【答案】12 2．一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到 20名队员。任务必 须一对一进行传达，每分钟通知 1人，至少需要( )分钟可以通知到每个 人。 【答案】5 3．蚂蚁用触角传递信息，一旦发现食物，先由一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，这两 只蚂蚁再分别去通知另外的蚂蚁。如果每通知一只蚂蚁需 10秒，1分钟内共有 ( )只蚂蚁知道信息。 【答案】64 4．如果用打电话的方式，每分钟通知 1人，至少( )分钟才能通知完 30 个人。 【答案】5 5．有 5包奶糖，其中 4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用( ) 的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放( )包奶糖，如果天平 平衡了，剩下的那包就是( )；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两 包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称 ( )次。 【答案】 天平称 2 轻的那包 2 6．有 8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天 平最少称( )次才能保证找到次品；天平左、右两边各放( )个， 有可能一次就找出次品。 【答案】 2 1 7．利用天平称找出次品的最优的方法，下列数量的物品分成 3份应该怎样分？ 第 2 页 共 5 页 请把分的数量写在圆圈里。 【答案】 （后两题里面数字顺序不唯一） 8．新希望杯组委会定制了 20枚金牌奖品，其中 19枚奖牌的重量相同，另外有 一枚奖牌（次品）要轻一些，现有一架天平，天平上一共最多只能放 10枚奖牌。 最少要称( )次才能保证找到这枚奖牌。 【答案】4 二、选择题。 9．小葵花合唱团的盛老师采用打电话这种一对一方式通知同学到声乐教室练习， 每通知 1人需 1分钟。 表示老师， 表示同学，线上的数表示时间。能正确 解决 4分钟共通知同学总数的算式是( )。 A．1＋2＋3＋4 B．1＋2＋3＋4＋1 C．1＋2＋4＋8 D．1＋2＋4＋8＋1 【答案】C 10．蚂蚁是社群性昆虫，它们在活动中需要通过触角来传递信息。如果一只蚂蚁 用 3秒完成一次信息传递，9秒后，最多会有( )只蚂蚁知道这个信息。 A．3 B．8 C．12 D．16 【答案】B 11．王老师带的国旗班有队员 8人，李老师带的舞蹈队有队员 15人，张老师带 的主持人社团有队员 12人，假期有一个紧急活动，三位老师需要尽快通知到每 第 3 页 共 5 页 一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知 1人，请你用本期学过的“打电话 最快方案”，判断一下这三位老师所花最少时间之间的关系。正确选项是 ( )。 A．王老师所花最少时间最短 B．李老师所花最少时间最长 C．王老师 3分钟就能通知到每一个队员 D．三个老师所花最少时间都是 4分钟 【答案】D 12．一个合唱团有 60人，暑假期间有个紧急演出，老师需要尽快通知每个演员。 如果用打电话的方式，每 1分钟通知 1个人，最少花( )分钟能通知到每 个演员。 A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】B 13．有 7瓶药片，其中有 1瓶中少 2片，为次品，用天平至少称量( )次 就保证能找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 14．在 27个乒乓球中有一个乒乓球的质量不合格（不合格的乒乓球轻一些）， 用天平秤，至少称( )次就一定能找出不合格的乒乓球。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 15．一批零件有 81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷， 如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是 ( )。 A．（40、41） B．（20、20、20、21） C．（27、27、27） D．（25、25、31） 【答案】C 16．有 100盒饼干，其中 99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒 略重的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按下面的第( )种分法来 第 4 页 共 5 页 称。 A．2份（50，50） B．2份（99，1） C．3份（33，33，34） D．3份（20，30，50） 【答案】C 三、解答题。 17．王老师接到一个紧急通知，王老师需要尽快通知到每个同学。如果用打电话 的方式，每分钟通知 1人，请问 6分钟以后通知了几人？ 【答案】 2×2×2×2×2×2－1 ＝64－1 ＝63（人） 答：6分钟以后通知了 63人。 18．有 9瓶洗衣液，其中一瓶是次品，比其他的稍重些，至少称几次能保证找出 这瓶洗衣液？ 【答案】 把 9瓶洗衣液平均分成 3份，每份 3瓶，即（3，3，3），第一次称，天平两边 各放 3瓶，如果天平不平衡，次品就在较重的 3瓶中；如果天平平衡，次品在剩 下的 3瓶中；再把有次品的 3瓶洗衣液分成 3份，即（1，1，1），第二次称， 天平两边各放 1瓶，如果天平不平衡，次品就是较重的那一瓶；如果天平平衡， 次品是剩下的那 1瓶。至少称 2次能保证找出这瓶洗衣液。 答：至少称 2次能保证找出这瓶洗衣液。 19．一箱糖果有 12袋，其中有 11袋质量相同，另有 1袋质量不足，轻一些。至 少称几次能保证找出这袋糖果？ 【答案】 把 12袋糖果平均分成 3份，每份 4袋，即（4，4，4），第一次称，天平两边各 放 4袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的 4袋中；如果天平平衡，次品在剩下 的 4袋中；再把有次品的 4袋糖果分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放 1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品在剩下的 2袋中；最后把有次品的 2袋糖果分成（1，1），第三次称，天平两边各放 1袋， 第 5 页 共 5 页 次品就是较轻的那一袋。至少称 3次能保证找出这袋糖果。 答：至少称 3次能保证找出这袋糖果。 20．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能 测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有 63个外观相同的乒乓球，其 中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出 称法。 【答案】 将 63个乒乓球分成（16、16、16、15），只考虑最不利的情况，即次品在多的 里面，称（16、16、16），不平衡，次品在轻的 16个中；将 16个分成（4、4、 4、4），称（4、4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中 4个；将 4个 分成（1、1、1、1），称（1、1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共 3 次。 答：用该天平最少称 3次就保证能找出这个乒乓球。 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第八单元专项练习：打电话问题和找次品问题综合 一、填空题。 1．学校接到紧急通知，办公室林主任接到后需要2分钟通知第一位老师，要通知全校48位老师，至少需要( )分钟。 【答案】12 2．一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到20名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，至少需要( )分钟可以通知到每个人。 【答案】5 3．蚂蚁用触角传递信息，一旦发现食物，先由一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别去通知另外的蚂蚁。如果每通知一只蚂蚁需10秒，1分钟内共有( )只蚂蚁知道信息。 【答案】64 4．如果用打电话的方式，每分钟通知1人，至少( )分钟才能通知完30个人。 【答案】5 5．有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用( )的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放( )包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是( )；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称( )次。 【答案】 天平称 2 轻的那包 2 6．有8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称( )次才能保证找到次品；天平左、右两边各放( )个，有可能一次就找出次品。 【答案】 2 1 7．利用天平称找出次品的最优的方法，下列数量的物品分成3份应该怎样分？请把分的数量写在圆圈里。 【答案】 （后两题里面数字顺序不唯一） 8．新希望杯组委会定制了20枚金牌奖品，其中19枚奖牌的重量相同，另外有一枚奖牌（次品）要轻一些，现有一架天平，天平上一共最多只能放10枚奖牌。最少要称( )次才能保证找到这枚奖牌。 【答案】4 二、选择题。 9．小葵花合唱团的盛老师采用打电话这种一对一方式通知同学到声乐教室练习，每通知1人需1分钟。表示老师，表示同学，线上的数表示时间。能正确解决4分钟共通知同学总数的算式是( )。 A．1＋2＋3＋4 B．1＋2＋3＋4＋1 C．1＋2＋4＋8 D．1＋2＋4＋8＋1 【答案】C 10．蚂蚁是社群性昆虫，它们在活动中需要通过触角来传递信息。如果一只蚂蚁用3秒完成一次信息传递，9秒后，最多会有( )只蚂蚁知道这个信息。 A．3 B．8 C．12 D．16 【答案】B 11．王老师带的国旗班有队员8人，李老师带的舞蹈队有队员15人，张老师带的主持人社团有队员12人，假期有一个紧急活动，三位老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请你用本期学过的“打电话最快方案”，判断一下这三位老师所花最少时间之间的关系。正确选项是( )。 A．王老师所花最少时间最短 B．李老师所花最少时间最长 C．王老师3分钟就能通知到每一个队员 D．三个老师所花最少时间都是4分钟 【答案】D 12．一个合唱团有60人，暑假期间有个紧急演出，老师需要尽快通知每个演员。如果用打电话的方式，每1分钟通知1个人，最少花( )分钟能通知到每个演员。 A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】B 13．有7瓶药片，其中有1瓶中少2片，为次品，用天平至少称量( )次就保证能找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 14．在27个乒乓球中有一个乒乓球的质量不合格（不合格的乒乓球轻一些），用天平秤，至少称( )次就一定能找出不合格的乒乓球。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 15．一批零件有81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是( )。 A．（40、41） B．（20、20、20、21） C．（27、27、27） D．（25、25、31） 【答案】C 16．有100盒饼干，其中99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒略重的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按下面的第( )种分法来称。 A．2份（50，50） B．2份（99，1） C．3份（33，33，34） D．3份（20，30，50） 【答案】C 三、解答题。 17．王老师接到一个紧急通知，王老师需要尽快通知到每个同学。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请问6分钟以后通知了几人？ 【答案】 2×2×2×2×2×2－1 ＝64－1 ＝63（人） 答：6分钟以后通知了63人。 18．有9瓶洗衣液，其中一瓶是次品，比其他的稍重些，至少称几次能保证找出这瓶洗衣液？ 【答案】 把9瓶洗衣液平均分成3份，每份3瓶，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较重的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的3瓶中；再把有次品的3瓶洗衣液分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较重的那一瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那1瓶。至少称2次能保证找出这瓶洗衣液。 答：至少称2次能保证找出这瓶洗衣液。 19．一箱糖果有12袋，其中有11袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果？ 【答案】 把12袋糖果平均分成3份，每份4袋，即（4，4，4），第一次称，天平两边各放4袋，如果天平不平衡，次品就在较轻的4袋中；如果天平平衡，次品在剩下的4袋中；再把有次品的4袋糖果分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1袋，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一袋；如果天平平衡，次品在剩下的2袋中；最后把有次品的2袋糖果分成（1，1），第三次称，天平两边各放1袋，次品就是较轻的那一袋。至少称3次能保证找出这袋糖果。 答：至少称3次能保证找出这袋糖果。 20．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。 【答案】 将63个乒乓球分成（16、16、16、15），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（16、16、16），不平衡，次品在轻的16个中；将16个分成（4、4、4、4），称（4、4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4个；将4个分成（1、1、1、1），称（1、1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。 答：用该天平最少称3次就保证能找出这个乒乓球。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 4 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第八单元专项练习：打电话问题和找次品问题综合 一、填空题。 1．学校接到紧急通知，办公室林主任接到后需要 2分钟通知第一位老师，要通 知全校 48位老师，至少需要( )分钟。 2．一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到 20名队员。任务必 须一对一进行传达，每分钟通知 1人，至少需要( )分钟可以通知到每个 人。 3．蚂蚁用触角传递信息，一旦发现食物，先由一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，这两 只蚂蚁再分别去通知另外的蚂蚁。如果每通知一只蚂蚁需 10秒，1分钟内共有 ( )只蚂蚁知道信息。 4．如果用打电话的方式，每分钟通知 1人，至少( )分钟才能通知完 30 个人。 5．有 5包奶糖，其中 4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用( ) 的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放( )包奶糖，如果天平 平衡了，剩下的那包就是( )；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两 包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称 ( )次。 6．有 8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天 平最少称( )次才能保证找到次品；天平左、右两边各放( )个， 有可能一次就找出次品。 7．利用天平称找出次品的最优的方法，下列数量的物品分成 3份应该怎样分？ 请把分的数量写在圆圈里。 8．新希望杯组委会定制了 20枚金牌奖品，其中 19枚奖牌的重量相同，另外有 一枚奖牌（次品）要轻一些，现有一架天平，天平上一共最多只能放 10枚奖牌。 第 2 页 共 4 页 最少要称( )次才能保证找到这枚奖牌。 二、选择题。 9．小葵花合唱团的盛老师采用打电话这种一对一方式通知同学到声乐教室练习， 每通知 1人需 1分钟。 表示老师， 表示同学，线上的数表示时间。能正确 解决 4分钟共通知同学总数的算式是( )。 A．1＋2＋3＋4 B．1＋2＋3＋4＋1 C．1＋2＋4＋8 D．1＋2＋4＋8＋1 10．蚂蚁是社群性昆虫，它们在活动中需要通过触角来传递信息。如果一只蚂蚁 用 3秒完成一次信息传递，9秒后，最多会有( )只蚂蚁知道这个信息。 A．3 B．8 C．12 D．16 11．王老师带的国旗班有队员 8人，李老师带的舞蹈队有队员 15人，张老师带 的主持人社团有队员 12人，假期有一个紧急活动，三位老师需要尽快通知到每 一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知 1人，请你用本期学过的“打电话 最快方案”，判断一下这三位老师所花最少时间之间的关系。正确选项是 ( )。 A．王老师所花最少时间最短 B．李老师所花最少时间最长 C．王老师 3分钟就能通知到每一个队员 D．三个老师所花最少时间都是 4分钟 12．一个合唱团有 60人，暑假期间有个紧急演出，老师需要尽快通知每个演员。 如果用打电话的方式，每 1分钟通知 1个人，最少花( )分钟能通知到每 个演员。 A．3 B．6 C．7 D．10 13．有 7瓶药片，其中有 1瓶中少 2片，为次品，用天平至少称量( )次 就保证能找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 第 3 页 共 4 页 14．在 27个乒乓球中有一个乒乓球的质量不合格（不合格的乒乓球轻一些）， 用天平秤，至少称( )次就一定能找出不合格的乒乓球。 A．3 B．4 C．5 D．6 15．一批零件有 81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷， 如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是 ( )。 A．（40、41） B．（20、20、20、21） C．（27、27、27） D．（25、25、31） 16．有 100盒饼干，其中 99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒 略重的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按下面的第( )种分法来 称。 A．2份（50，50） B．2份（99，1） C．3份（33，33，34） D．3份（20，30，50） 三、解答题。 17．王老师接到一个紧急通知，王老师需要尽快通知到每个同学。如果用打电话 的方式，每分钟通知 1人，请问 6分钟以后通知了几人？ 18．有 9瓶洗衣液，其中一瓶是次品，比其他的稍重些，至少称几次能保证找出 这瓶洗衣液？ 19．一箱糖果有 12袋，其中有 11袋质量相同，另有 1袋质量不足，轻一些。至 少称几次能保证找出这袋糖果？ 第 4 页 共 4 页 20．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能 测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有 63个外观相同的乒乓球，其 中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出 称法。 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第八单元专项练习：打电话问题和找次品问题综合 一、填空题。 1．学校接到紧急通知，办公室林主任接到后需要2分钟通知第一位老师，要通知全校48位老师，至少需要( )分钟。 2．一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到20名队员。任务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，至少需要( )分钟可以通知到每个人。 3．蚂蚁用触角传递信息，一旦发现食物，先由一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别去通知另外的蚂蚁。如果每通知一只蚂蚁需10秒，1分钟内共有( )只蚂蚁知道信息。 4．如果用打电话的方式，每分钟通知1人，至少( )分钟才能通知完30个人。 5．有5包奶糖，其中4包质量相同，另外一包比其他的轻，可以用( )的方法把轻的那包找出来。在天平两边的托盘各放( )包奶糖，如果天平平衡了，剩下的那包就是( )；如果天平不平衡，再将天平高的那边的两包再称一次就可以找出来了，所以要保证能找出那包较轻的奶糖，至少要称( )次。 6．有8个外观一样的乒乓球，其中有一个是次品，次品比其他球轻一些，用天平最少称( )次才能保证找到次品；天平左、右两边各放( )个，有可能一次就找出次品。 7．利用天平称找出次品的最优的方法，下列数量的物品分成3份应该怎样分？请把分的数量写在圆圈里。 8．新希望杯组委会定制了20枚金牌奖品，其中19枚奖牌的重量相同，另外有一枚奖牌（次品）要轻一些，现有一架天平，天平上一共最多只能放10枚奖牌。最少要称( )次才能保证找到这枚奖牌。 二、选择题。 9．小葵花合唱团的盛老师采用打电话这种一对一方式通知同学到声乐教室练习，每通知1人需1分钟。表示老师，表示同学，线上的数表示时间。能正确解决4分钟共通知同学总数的算式是( )。 A．1＋2＋3＋4 B．1＋2＋3＋4＋1 C．1＋2＋4＋8 D．1＋2＋4＋8＋1 10．蚂蚁是社群性昆虫，它们在活动中需要通过触角来传递信息。如果一只蚂蚁用3秒完成一次信息传递，9秒后，最多会有( )只蚂蚁知道这个信息。 A．3 B．8 C．12 D．16 11．王老师带的国旗班有队员8人，李老师带的舞蹈队有队员15人，张老师带的主持人社团有队员12人，假期有一个紧急活动，三位老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请你用本期学过的“打电话最快方案”，判断一下这三位老师所花最少时间之间的关系。正确选项是( )。 A．王老师所花最少时间最短 B．李老师所花最少时间最长 C．王老师3分钟就能通知到每一个队员 D．三个老师所花最少时间都是4分钟 12．一个合唱团有60人，暑假期间有个紧急演出，老师需要尽快通知每个演员。如果用打电话的方式，每1分钟通知1个人，最少花( )分钟能通知到每个演员。 A．3 B．6 C．7 D．10 13．有7瓶药片，其中有1瓶中少2片，为次品，用天平至少称量( )次就保证能找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 14．在27个乒乓球中有一个乒乓球的质量不合格（不合格的乒乓球轻一些），用天平秤，至少称( )次就一定能找出不合格的乒乓球。 A．3 B．4 C．5 D．6 15．一批零件有81个，按要求它们的质量应该相同，已知有一个内部有缺陷，如果要求用天平称量找到有缺陷的零件，要使称量的次数最少，最合理的分组是( )。 A．（40、41） B．（20、20、20、21） C．（27、27、27） D．（25、25、31） 16．有100盒饼干，其中99盒质量相同，只有一盒略重，如果要保证找出这盒略重的饼干，且称的次数最少，那第一次称时应按下面的第( )种分法来称。 A．2份（50，50） B．2份（99，1） C．3份（33，33，34） D．3份（20，30，50） 三、解答题。 17．王老师接到一个紧急通知，王老师需要尽快通知到每个同学。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请问6分钟以后通知了几人？ 18．有9瓶洗衣液，其中一瓶是次品，比其他的稍重些，至少称几次能保证找出这瓶洗衣液？ 19．一箱糖果有12袋，其中有11袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果？ 20．有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$