12.4定理（第3课时反证法）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

12.4 定理 第3课时反证法 苏科版（2024）七年级数学下册 第12章 定义 命题 证明 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 了解反证法及其原理与步骤； 2. 能用反证法证明简单命题； 3. 了解反例的作用，能通过举反例证明一个命题为假命题． 情景导入 所有的命题都能用从条件出发推导出结论的方法证明吗? 新知探究 要证明一个命题，一般需要从命题的条件出发，一步一步地推出命题的结论，有时候，我们也可以反过来考虑. 如何证明“一个三角形最多有一个钝角”? 可以反过来考虑，如果这个命题不对，那么一个三角形就有两个或三个钝角. 当有两个钝角时，设∠A，∠B均为钝角， 即∠A>90°，∠B>90°，则∠A+∠B>180°， 所以∠A+∠B+∠C>180°，这与∠A+∠B+∠C=180°矛盾， 同理，当有三个钝角时，也与∠A+∠B+∠C=180°矛盾， 所以假设不正确，于是△ABC中最多只能有一个钝角. 假设△ABC中不止一个钝角，那么可能有两个钝角或三个钝角. 像上面这样，我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法. 例2已知:a，b，c是三条不同的直线，a∥b，b∥c. 求证:a∥c. 假设a，c不平行，那么它们相交于一点P. ∵a∥b, b∥c, ∴过点P的两条直线a，c都与直线b平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. ∴假设不成立，a∥c. P a b c 这样，我们就证明了平行线的性质定理: 平行于同一条直线的两条直线平行. 用反证法证明一个命题的步骤一般为: 1.先假设命题的结论不成立； 2.从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾； 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立. 例3 判断命题“对于任意的有理数a，b，如果a>b，那么|a|>|b|”的真假，并说明理由. 这是一个假命题，理由如下: 取a=1,b=-2,此时a>b,但是|a|<|b|, 所以命题的结论|a|>|b|不成立. 在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法，举反例的关键是找到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子. 补充例题 例 用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于60°. 解题秘方：用反证法证明命题的关键一步是否定结论， 至少有一个角不小于60°的反面是所有的角都小于60°. 证明：假设在△ABC中，∠A，∠B，∠C都小于60°，则∠A＋∠B＋∠C<3×60°，即∠A＋∠B＋∠C<180°， 这与三角形的内角和定理矛盾，故∠A，∠B，∠C都小于60°不成立. 所以一个三角形中，至少有一个角不小于60°. 11 概念归纳 反证法 1. 定义 通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法. 2. 用反证法证明一个命题的步骤一般为: (1)先假设命题的结论不成立. (2)从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾. (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立. 3. 平行线的性质定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 特别解读 适合用反证法证明的命题类型: 1. 结论以否定形式出现的命题; 2. 唯一性命题; 3. 结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题. 举反例 在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法，举反例的关键是找到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子. 特别解读 反例的列举必须符合实际，举反例时，可以用文字语言来表述，也可以用数据来说明，还可以用图形来表示. 课堂练习 1. 用反证法证明：已知a、b、c是三条不同的直线，如果a∥b、a与c相交，那么b与c相交. 证明：假设b、c不相交，即b∥c. ∵a∥b、b∥c， ∴a∥c. 这与已知条件“a与c相交”矛盾. ∴假设不成立，b与c相交. (1) 如果|a|＝|b|，那么a＝b； 2.举反例说明下列命题是假命题： 解：(1) 当a＝－3，b＝3时，|a|＝|b|，但a≠b，这个命题是假命题. (2) 任何数的平方都大于0； 解：(2) 0的平方等于0，0不大于0，这个命题是假命题. 16 (3) 两个锐角的和是钝角； 2.举反例说明下列命题是假命题： 解：(3) 如两个锐角的度数分别为30°、50°，它们的和是80°，但80°的角不是钝角，所以这个命题是假命题. (4) 如果一点到线段两端的距离相等，那么这个点是这条线段的中点. 解：(4) 如图，等腰三角形ABC，AB＝AC，但点A不是线段BC的中点，这个命题是假命题. B A C 17 分层练习 基础题 1.[2024南京建邺区期末] 判断命题“如果，则 ”是假命题， 只需一个反例，反例中的 可以是( ) B A.4 B.3 C. D. 2.[2024淮安洪泽区期末] 用反证法证明“在中，， 的对边是 ，.若，则 ”时，第一步应假设( ) D A. B. C. D. 3.如图，有下列推理：，； ， ； ， ； ，， .其中正确的是( ) B （第3题） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 19 4.如图，直线，，被直线所截，若， ， ，则 的度数是________. （第4题） 20 5.[2024连云港期末] 如图，，将含有 角的三角板的直角顶点放 在直线上，若 ，则的度数为____ . 25 （第5题） 21 6.如图，，，.求证： . 证明：， ， . ， . . 22 综合应用题 （第7题） 7.[2024扬州广陵区期末] 如图，已知 ， 于点， ， ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 8.如图，，设 ，那么，和 的关系是( ) B （第8题） A. B. C. D. 24 9.如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若 ， ，则 的度数为_____. （第9题） 25 （第10题） 10.如图，已知直线，被直线 所截， ，是平面内任意一点（点不在直线 ， ，上），设 ， ，则 的度数可能是_____________________________ _________ . 或 或 或 26 [解析] 点拨：（1）当点在直线的上方，且在直线 的右侧时，如 图①，设与交于点，由，可得 ， ， ； 27 （2）当点在直线,之间且在直线右侧时，如图②，过作 平行线，则由，易得 ， ， ； （3）当点在直线上方，且在直线左侧时，如图③，设与 交于点，由，可得 ， ， ； 28 （4）当点在直线，之间，且在直线 左侧时，如图④，由 ，易得 ， ； （5）当点在直线下方，且在直线 左侧时，同理可得 ； （6）当点在直线的下方，且在直线 右侧时，同理可得 . 综上所述，的度数可能为 或 或 或 29 创新拓展题 11.[2024无锡滨湖区期末] 已知，点在与 之间. （1）如图①，试说明： ； 解：如图①，过点作 ， 则 . ，， . . ， 即 . 31 （2）如图②，的平分线与的平分线相交于点 ，请利用（1） 的结论说明： ； 解：平分， . 平分， . . 由（1）得 , 同理 ， . 32 （3）如图③，的平分线与的平分线相交于点 ，请直接写 出与 之间的数量关系. 解： . [解析] 点拨：如图②，过点作 ， 则 . ， ， . . 33 ， 即 . 平分， . 平分， . . 由（1）得 ， . 习题 1.在△ABC中，根据下列条件，求∠A的度数: (1) ∠C= 20°,∠B=∠A; (2) ∠A，ZB，∠C的度数之比为1:2:3. 解：(1) ∠A=80°.(2) ∠A=30°. 2.如图，AB//CD，AB，DE相交于点G，∠B=∠D.在下列括号内填写推理的依据: 解：∵AB // CD(已知)， ∴∠EGA= ∠D( ） 又∵∠B=∠D(已知)， ∴∠EGA=∠B( ） ∴DE // BF( ） 两直线平行,同位角相等 等量代换 同位角相等,两直线平行. 3.已知:如图，AB//CD，BC// DE. 求证:∠B+∠CDE=180°. 证明:∵AB//CD， ∴∠B=∠C. ∵BC// DE, ∴∠C+∠CDE=180°, ∴∠B+∠CDE=180°. 4.(1)已知:如图，在直角三角形ABC中，∠ACB = 90°,D是AB上一点,且∠ACD = ∠B. 求证:CD⊥AB. (2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题? (1)证明:因为在直角三角形ABC中,∠ACB=90°， 所以∠A+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余). 因为∠ACD=∠B， 所以∠ACD+∠A=90°(等量代换)， 所以三角形ACD是直角三角形(有两个角互余的三角形是直角三角形)， 所以∠CDA=90°， 所以CD⊥AB(垂直的定义). (2)两个互逆的真命题:“直角三角形的两个锐角互余”和“有两个角互余的三角形是直角三角形”. 5.已知:如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠AGF = ∠F. 求证:EF // AD. 证明:因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠CAD=∠CAB(角平分线的定义). 因为∠CAB= ∠F+∠AGF,∠F=∠AGF, 所以∠F=-∠CAB, 所以∠CAD=∠F, 所以EF// AD(同位角相等,两直线平行). 6.已知:如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交AB，AC和CB的延长线于点D，E，F. 求证:∠F+∠FEC=2∠A. 证明:因为∠FEC+∠AED=180°， ∠A+∠ADE+∠AED=180°， 所以LFEC=∠A+∠ADE(等量代换). 同理,可证∠ABC=∠F+∠BDF. 因为∠BDF= ∠ADE(对顶角相等),∠A=∠ABC， 所以∠F+∠FEC=(∠ABC-∠BDF)+(∠A+∠ADE) =∠ABC+∠A=2∠A(等量代换). 7.证明:两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直. 已知:如图,AB//CD,MH、NH分别是LBMF、LDNE的平分线. 求证:MH⊥NH. 证明:因为AB//CD， 所以∠BMN+∠DNM=180°(两直线平行,同旁内角互补). 因为MH、NH分别是∠BMF、∠DNE 的平分线， 所以∠1=∠BMN,∠2=∠DNM(角平分线的定义)， 所以∠1+∠2=(∠BMN+∠DNM)= 90° 所以∠H=90°(三角形内角和定理). 所以MH⊥NH(垂直的定义). 8.判断命题的真假，并说明理由:任何正数的平方都大于这个数本身. 解：假命题.理由:如:，故原命题错误,所以这个命题是假命题. 9.证明:一个数加上一个负数比原来的数小. 证明:(1)=1 000a+100b+10c+d =(999a+99b+9c)+(a+b+c+d) =3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)， 因为a+b+c+d可以被3整除,所以这个四位数可以被 3 整除. 10.已知:m是正整数，且m²是偶数， 求证:m是偶数. 证明:假设m不是偶数(m为奇数). 则m+1为偶数,m-1也为偶数， 则(m+1)(m-1)=m²-1为偶数， 则m2为奇数,与题设m2是偶数矛盾， 所以假设不成立. 故m 为偶数. 课堂小结 反证法的概念 举反例说明一个命题为假命题 反证法的步骤 $$