12.4定理（第2课时多边形的内角和、外角和定理）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

12.4 定理 第2课时多边形的内角和、外角和定理 苏科版（2024）七年级数学下册 第12章 定义 命题 证明 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 探索并掌握多边形的内角和定理、外角和定理，并能简单应用； 2. 理解多边形内角和、外角和定理之间的关系，进一步感悟定理的作用. 情景导入 一个多边形可以分割为若干个三角形，是否可以利用三角形内角和定理推出多边形的内角和呢? 新知探究 我们先以四边形为例. A B C D P 如图是一个任意的四边形ABCD，在四边形内部任取一点P，连接点P与4个顶点就得到了4个三角形，这4个三角形的内角和减去以P为顶点的周角就是四边形的内角和. 四边形 ABCD 的内角和=180°x4-360°=180°x(4-2)= 360°. A B C D P 对任意的五边形，同样可得: 五边形的内角和=180°x5-360°=180°x(5-2)= 540° 讨论 对于n边形的内角和，你有什么猜想? 一般地，可以得到多边形内角和定理: n边形的内角和等于(n-2)·180° 多边形有内角，也有外角，如图，延长CD，得到射线CF，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角.顺次延长多边形的各边:AB，BC，CD，…，在每个顶点处得到一个外角，这些外角的和叫作这个多边形的外角和. 问题 内角和有一般规律，外角和也有一般规律吗?仿照多边形的内角和研究过程，如何求多边形的外角和? 先考虑简单情形 如图，△ABC的3个内角及3个对应外角共形成3个平角，因为三角形的内角和为 180°，所以三角形的外角和是180°x3-180°，即 360°. 2 3 1 B C A β α γ 如图，四边形ABCD的4个内角及4个对应外角共形成4个平角，因为四边形的内角和为 360°，所以四边形的外角和是 180°x4-360°，即 360°. A B C D 2 3 1 4 β α γ δ 我们可以把上面的结果推广到一般的n边形，得到: 多边形的外角和=180°·n-多边形的内角和 =180°·n-180°·(n-2) = 180°x2 = 360° 这样就得到了多边形外角和定理: 多边形的外角和等于 360° 补充例题 例 如图12.4-2，在正五边形ABCDE中，对角线AC与边DE平行，求∠BCA的度数. 解题秘方：紧扣多边形的内角和公式及平行线的性质求出相关角的度数. 解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BCD＝∠D＝＝108°. ∵ AC∥DE，∴∠ACD＋∠D＝180°. ∴∠ACD＝180°－108°＝72°. ∴∠BCA＝∠BCD－∠ACD＝108°－72°＝36°. 14 概念归纳 多边形内角和定理 1. 定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°. 2. 公式的证明 证明方法 图形 证 法 1 从n边形的一个顶点出发可以作(n－3)条对角线，将这个n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的内角和恰好是这个n边形的内角和， 为(n－2)×180° 续表 证明方法 图形 证 法 2 在n边形内任取一点， 并把该点与n边形的各个顶点连接起来， 共构成n个三角形， 这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180° 续表 证明方法 图形 证 法 3 在n边形的一边上任取一点，并把该点与n边形的各个顶点连接起来，共构成(n－1)个三角形，这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)×180°，再减去该点处的一个平角，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180° 续表 证明方法 图形 证 法 4 在n边形外任取一点O， 并把该点与n边形的各个顶点连接起来， 得到以n 边形的边为一边， 顶点为O的三角形有n个， 这n个三角形的内角和为n× 180°，再减去两个三角形的内角和， 即可得到n边形的内角和为(n－2)× 180° 特别解读 1.由n边形的内角和公式(n－2)×180°可知n边形的内角和一定是180°的整数倍. 2.多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1 ，内角和就增加180°. 3.多边形内角和问题常通过添加辅助线将其转化为三角形的内角和问题. 教你一招 1.正多边形的内角和可以用每个内角的度数乘正多边形内角的个数(或正多边形的边数)来表示. 2. 因为正多边形的每个内角相等，所以正n边形的每个内角的度数为. 多边形外角和定理 1. 多边形有内角，也有外角，如图12.4 -3 . 延长CD，得到射线CF，∠EDF是五边形ABCDE的一个 外角. 顺次延长多边形的各边：AB，BC， CD， …，在每个顶点处得到一个外角， 这些外角的和叫作这个多边形的外角和. 2. 定理：多边形的外角和等于3 6 0°. 多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出来的， n边形的外角和＝n×180°－(n－2)×180°＝360°. 特别解读 1.多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和. 2.多边形的外角和恒等于360 °，与边数无关. 课堂练习 1. 求证：如果一个n边形的所有内角都相等，那么其内角为． 证明：∵n边形的内角和为(n－2)·180°，且这个内角都相等， ∴每个内角的度数是．  2. 多边形中小于120°的内角最多有几个？ 解：∵多边形的内角小于120°， ∴外角大于60°， ∵多边形的外角和为360°，且＝6， ∴所以多边形的外角大于60°的个数最多有5个， 即小于120°的内角最多有5个. 24 分层练习 基础题 1.十边形的内角和是( ) C A. B. C. D. 2.[2024遂宁] 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和 为 的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( ) C A. B. C. D. 3.[2024扬州江都区期中] 多边形的边数增加1，则它的外角和( ) A A.不变 B.增加 C.增加 D.无法确定 （第4题） 4.[2024无锡梁溪区二模] 如图，小强站在五边形健身 步道的起点处，沿着，，，，，， 的方 向行走，最终回到了 处.在这过程中，小强转过的角 度说明了( ) B A.五边形的内角和是 B.五边形的外角和是 C.五边形的内角和是 D.五边形的外角和是 26 5.已知一个多边形的每个外角都是 ，则这个多边形的边数为____. 八 6.[2024盐城二模] 正 边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍， 则 ____. 12 27 7.[2024徐州铜山区期末] 如图，五边形中， ，则 的度数是______. （第7题） 28 8.[2024南通崇川区期末] 如图，在四边形 中， ，平分， 平分 . （1）若 ，求 的度数； 解： ， ， . 平分， . 29 （2）求证： . 证明： ， . 平分，平分 ， ， . . 又 ， . . 30 综合应用题 （第9题） 9.如图，是正边形纸片的一部分，其中，是正 边形两 条边的一部分，若，所在的直线相交形成的锐角为 ， 则 的值是( ) B A.5 B.6 C.8 D.10 （第10题） 10.[2024河北] 直线与正六边形的边 ， 分别相交于点，，如图所示，则 ( ) B A. B. C. D. 32 11.如图，小明在操场上从点出发，沿直线前进10米后向左转 ，再 沿直线前进10米后，又向左转 ，照这样走下去，他第一次回到出发 地点时，一共走了90米，则 ____. 40 （第11题） 33 12.如图， 的度数是______. （第12题） 34 [解析] 点拨：如图，， ， ， . 35 创新拓展题 13.[2024镇江期中] 如图，已知点在四边形的边 的延长线上， ，分别是，的平分线，设 ， . （1）如图①，若 ，判断， 的位置关系，并说明理由. 解： .理由如下： 如图①， ， 37 . 又平分，平分 ， ， . . （2）如图②，若 ，，相交于点 . ①当 ， 时，则 _______. ②与 ， 有怎样的数量关系？说明理由. [解析] 点拨： 39 如图②，，分别是， 的平分线， ， . 设， ， ， . ， . 又 ， . 40 . . 又 ， . ，即 . .理由如下： 如图②，，分别是, 的平分线， ， . 设， ， ， . 又 ， . 又 ， 42 . . . 又， ， . ，即 . （3）如图③，若 ，，的反向延长线相交于点 ， 则_ _________.（用含 ， 的代数式表示） [解析] 44 点拨：如图③，，分别是, 的平分线， ， . 设， ， ， 又 ， . . . 45 又 ， . . 课堂小结 多边形内角和定理 多边形外角和定理 $$