专题08 概率章末重点题型归纳（四大题型）-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题08 概率章末重点题型归纳（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1 独立事件，互斥事件和对立事件的判断】 【题型2独立事件，互斥事件和对立事件概率的计算】 【题型3 古典概率】 【题型4 统计和概率相结合】 【题型1 独立事件，互斥事件和对立事件的判断】 1．（23-24高一下·广东广州·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（    ） A．A与B，A与，与B，与都相互独立 B．与是对立事件 C． D． 2．（23-24高一下·湖南株洲·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（   ） A．当时， B．当时，事件与事件不独立 C．当时， D．当时，事件与事件不独立 3．（23-24高一下·吉林延边·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 4．（23-24高一下·北京丰台·期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为5”，事件B=“点数之积为6”，事件C=“至少有一个点数为3”，事件D=“点数都不为3”，则（    ） A．为不可能事件 B．与相互独立 C．B与D互斥 D．C与D互为对立 5．（23-24高一下·江西·期末）掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E，“两个点数都是奇数”为事件F，“两个点数之和是偶数”为事件M，“两个点数之积是偶数”为事件N，则（    ） A．事件E与事件F互为对立事件 B．事件M与事件N相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件F与事件相互独立 6．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知是两个随机事件且概率均大于，则下列说法正确的为（    ） A．若与互斥，则与对立 B．若与相互独立，则与互斥 C．若与互斥，则与相互独立 D．若与相互独立，则与相互独立 7．多选题（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）先后两次掷一个均匀的骰子，记事件：“两次掷出的点数之和是11”，记事件：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件：“两次掷出的点数相同”，记事件：“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与对立 8．多选题（23-24高一下·浙江杭州·期末）下列命题正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则成立. B．若事件两两独立，则成立. C．若事件相互独立，则与也相互独立. D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 【题型2独立事件，互斥事件和对立事件概率的计算】 9．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 11．多选题（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若事件与事件是互斥事件，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．若，则事件与事件相互独立 12．多选题（23-24高一下·云南曲靖·期末）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件 C．事件与事件相互独立 D． 13．多选题（23-24高一下·安徽六安·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（    ） A． 与是互斥事件 B．与互为对立事件 C．发生的概率为 D．与不相互独立 14．多选题（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知事件，满足：，，则（    ）. A．若，互斥，则 B．若，互斥，则 C．若，互相独立，则 D．若，互相独立，则 15．多选题（23-24高一下·湖南怀化·期末）设A，B是两个随机事件，已知，，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·上海·期末）若事件与事件是独立的，，，则 . 17．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知A，B两个事件相互独立，且，，则 ． 18．（24-25高一上·辽宁·期末）已知事件A与B互斥，且，则 ． 19．（23-24高一下·河南商丘·期末）已知事件A和B互斥，且，，则 . 【题型3 古典概率】 20．（24-25高二上·四川成都·期末）不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高二下·云南·期末）某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 3 6 1 现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.6 22．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（    ）    A． B． C． D． 23．（23-24高一下·贵州黔西·期末）中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）甲､乙､丙､丁四人排队，则甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·浙江宁波·期末）两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·重庆·期末）某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·内蒙古·期末）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28．（24-25高三上·上海·阶段练习）中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为 . 29．（23-24高二下·上海·期末）同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为 .（结果用分数表示） 【题型4 统计和概率相结合】 30．（23-24高一上·广西桂林·期末）在某校进行男生身高调查，随机抽取100名男生，测得他们的身高（单位：），并按照区间，，，，分组，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该校一位男生的身高位于区间的概率及该校男生身高的分位数； (2)估计该校男生的平均身高（同一组数据用该区间的中点值为代表）. 31．（24-25高一上·辽宁·期末）某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 32．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率； (2)根据频率分布直方图估计中位数； (3)学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率. 33．（24-25高二上·湖北·期中）黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. (1)求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； (3)甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 34．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，求x的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 35．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ：    (1)确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ； (2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为. ①求的值 ； ②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 概率章末重点题型归纳（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1 独立事件，互斥事件和对立事件的判断】 【题型2独立事件，互斥事件和对立事件概率的计算】 【题型3 古典概率】 【题型4 统计和概率相结合】 【题型1 独立事件，互斥事件和对立事件的判断】 1．（23-24高一下·广东广州·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（    ） A．A与B，A与，与B，与都相互独立 B．与是对立事件 C． D． 【答案】A 【分析】由独立事件的定义以及乘法公式判断AC，由对立事件的定义、互斥事件的概率公式判断D. 【详解】对于A：由于两人射击的结果没有相互影响， 则A与B，A与，与B，与都相互独立，故A正确； 对于B：表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即与不是对立事件，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D： ，故D错误； 故选：A 2．（23-24高一下·湖南株洲·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（   ） A．当时， B．当时，事件与事件不独立 C．当时， D．当时，事件与事件不独立 【答案】D 【分析】计算出，根据，求，根据与的关系判断两个事件是否独立，从而得到正确答案即可. 【详解】当时，表示一正一反， 故，，， 因为，故正确； 此时，故正确； 当时，表示一正二反，，故正确； 此时，，， 所以，因此事件与事件独立，故D错误. 故选：D. 3．（23-24高一下·吉林延边·期末）有4个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则（    ） A．甲和乙相互独立 B．甲和丙相互独立 C．甲和丁相互独立 D．丁和丙相互独立 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的定义可得答案. 【详解】， ， ，，，， ，，，， 对于A，，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 4．（23-24高一下·北京丰台·期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为5”，事件B=“点数之积为6”，事件C=“至少有一个点数为3”，事件D=“点数都不为3”，则（    ） A．为不可能事件 B．与相互独立 C．B与D互斥 D．C与D互为对立 【答案】D 【分析】举反例结合不可能事件、互斥事件的定义判断AC；计算，判断B；由对立事件的定义判断D. 【详解】对于A：当第一次向上的点数为2，第二次向上的点数为3时，事件同时发生，则A错误； 对于B：， 则，则与不相互独立，故B错误； 对于C：当第一次向上的点数为1，第二次向上的点数为6时，事件同时发生，则C错误； 对于D：设样本空间为，事件C与事件D不能同时发生，且，则C与D互为对立，故D正确； 故选：D 5．（23-24高一下·江西·期末）掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E，“两个点数都是奇数”为事件F，“两个点数之和是偶数”为事件M，“两个点数之积是偶数”为事件N，则（    ） A．事件E与事件F互为对立事件 B．事件M与事件N相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件F与事件相互独立 【答案】D 【分析】用表示掷两枚骰子得到的点数，列出相关事件包含的样本点.对于A，运用对立事件的定义判断；对于B，分别计算的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即得；对于C，根据与的交集是否为空集判断；对于D，与选项B同法判断. 【详解】依题意，可用表示掷两枚骰子得到的点数，则. 对于A，， 而, 显然事件E与事件F互斥但不对立，如,但,故A错误； 对于B，易得，故 因，故, 而,则,因,即事件M与事件N不独立，故B错误； 对于C，由上分析，，故事件E与事件不可能互斥，即C错误； 对于D，由上分析，而,则， 因，则, 即，故事件F与事件相互独立，即D正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的关系判断，属于较难题. 解题方法有： （1）判断事件对立：必须同时成立； （2）判断事件相互独立：必须成立； （3）判断事件互斥：只需即可. 6．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知是两个随机事件且概率均大于，则下列说法正确的为（    ） A．若与互斥，则与对立 B．若与相互独立，则与互斥 C．若与互斥，则与相互独立 D．若与相互独立，则与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，逐项判断即可. 【详解】由题意， ①互斥事件指的是不能同时发生的两个事件； ②对立事件指的是在试验中必有一个发生的两个互斥事件； ③相互独立事件指的是事件是否发生对事件发生的概率没有影响，满足等式： ； 对于A，互斥事件不一定对立， 例：投掷一枚骰子的试验中，事件“掷出点数为”，事件“掷出点数为”， 事件与事件互斥但不对立，故A错误； 对于B，相互独立事件不一定互斥， 例：抛掷两枚硬币的试验中，事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”， 事件发生与否对事件发生的概率没有影响，即事件与事件相互独立，但事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，互斥事件不一定相互独立， 例：抛掷一枚硬币的试验中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”， 事件与事件互斥，但，， 所以不满足相互独立事件的定义，故C错误； 对于D，因为事件与事件相互独立， 所以， 又， 所以， 所以事件与事件也相互独立，故D正确. 故选：D. 7．多选题（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）先后两次掷一个均匀的骰子，记事件：“两次掷出的点数之和是11”，记事件：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件：“两次掷出的点数相同”，记事件：“至少出现一个奇数点”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与独立 D．与对立 【答案】AC 【分析】列出事件，利用互斥事件，对立事件和独立事件的定义判断. 【详解】解：因为， ， ， ， 所以，所以与互斥，故选项A正确； ， 所以与不互斥，故选项B错误； ，所以与C不互斥，故选项D错误； ，所以， 所以与独立，故选项C正确； 故选：AC 8．多选题（23-24高一下·浙江杭州·期末）下列命题正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则成立. B．若事件两两独立，则成立. C．若事件相互独立，则与也相互独立. D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 【答案】ACD 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断选项B；利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D. 【详解】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥， 所以，，因此A正确； 对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，因此B错误； 对于C，若事件相互独立，则， 又，， 则 ，因此C正确； 对于D，若，事件相互独立， 则， 若互斥，则，因此D正确. 故选：ACD. 【题型2独立事件，互斥事件和对立事件概率的计算】 9．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，，根据互斥事件和独立事件概率求法运算求解. 【详解】设甲第局胜，，2，3，且，，， 所以甲恰好连胜两局的概率 . 故选：B. 10．（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【详解】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 11．多选题（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若事件与事件是互斥事件，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】ACD 【分析】根据对立事件可判断A；根据互斥事件和独立事件的概率公式即可判断BCD. 【详解】，故A正确； 因为事件与事件是互斥事件，所以，故B错误； 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 所以，故C正确； 因为，所以， 所以事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，故D正确． 故选：ACD． 12．多选题（23-24高一下·云南曲靖·期末）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】BC 【分析】根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案. 【详解】样本空间为． 因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 因为，所以事件与事件为对立事件，故正确； 因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确； 因为，所以，故D错误． 故选：BC. 13．多选题（23-24高一下·安徽六安·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（    ） A． 与是互斥事件 B．与互为对立事件 C．发生的概率为 D．与不相互独立 【答案】BC 【分析】根据互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义以及结合古典概型的计算公式判断即可. 【详解】由题意，不放回地随机取两次，共有种情况， = {(2，1)，(2，3)，(2，4) ，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6) ，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}共15个样本点， = {(2，1)， (3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(1，3)，(2，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5) ，(6，5)}共15个样本点， 故，故C正确; 事件与可以同时发生，不是互斥事件，故A错误; = {(1，3)，(1，5) ，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，2)，(4，6)，(5.1)，(5，3) ，(6，2)，(6，4)}共12个样本点， 故， D = {(1，2)，(1 ，4)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，3) ，(4，5).(5，2)，(5.4)，(5，6)，(6，1)，(6，3)，(6，5)}共18个样本点， 所以C与D互为对立事件，故B正确; 事件BC = {(3，1)， (5，1)，(1，3)，(5，3)，( 1，5)，(3，5)}共6个样本点， 所以，所以B与C相互独立，故不D正确. 故选：BC. 14．多选题（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知事件，满足：，，则（    ）. A．若，互斥，则 B．若，互斥，则 C．若，互相独立，则 D．若，互相独立，则 【答案】AD 【分析】根据概率加法公式判断A，根据互斥事件定义判断B，根据独立事件概率乘法公式判断D，根据概率加法公式判断C. 【详解】当，互斥时，， 又，， 所以，A正确； 当，互斥时，事件，不可能同时发生， 所以，B错误； 当，互相独立，则， 又，， 所以，D正确； 当，互相独立时，，C错误. 故选：AD. 15．多选题（23-24高一下·湖南怀化·期末）设A，B是两个随机事件，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据事件的运算关系以及对立事件的概率，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由，，即， 知，所以C错误. 又，所以A正确. 同理可得，B正确. 又，所以D正确.    故选：ABD. 16．（24-25高二上·上海·期末）若事件与事件是独立的，，，则 . 【答案】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，即可结合对立事件的性质求解. 【详解】由于事件与事件是独立的，故事件与事件也相互独立， 故, 又，故， 进而可得， 故答案为： 17．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知A，B两个事件相互独立，且，，则 ． 【答案】0.28 【分析】根据相互独立事件的定义计算即可. 【详解】因为相互独立， 所以. 故答案为：. 18．（24-25高一上·辽宁·期末）已知事件A与B互斥，且，则 ． 【答案】 【分析】由互斥事件的概率加法公式及对立事件概率公式可得答案. 【详解】因为事件A与B互斥，且， 所以，则． 故答案为： 19．（23-24高一下·河南商丘·期末）已知事件A和B互斥，且，，则 . 【答案】0.4/ 【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解. 【详解】∵事件A和B互斥，∴， 又，∴ ， ∴. 故答案为：0.4. 【题型3 古典概率】 20．（24-25高二上·四川成都·期末）不透明的口袋里有4个白球，2个红球，这6个球除了颜色外完全相同，从中不放回地抽取2个球，则抽出的2个球均为白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型概率公式即可求出概率. 【详解】记4个白球为，2个红球为， 从4个白球，2个红球中不放回抽取2个球有: ，共种不同的取法， 其中抽出2球均为白球有共种不同的取法， 所以抽出的2个球均为白球的概率. 故选：C. 21．（23-24高二下·云南·期末）某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 3 6 1 现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【分析】根据古典概率的知识求得正确答案. 【详解】根据古典概型的知识可知，所求概率为. 故选：B 22．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图，进行分析，结合古典概型计算即可. 【详解】，则, 则. 故选：B 23．（23-24高一下·贵州黔西·期末）中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】用分别表示《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》， 从上述5部书籍中任意抽取2部，则样本空间为 ，可知， 设抽到《九章算术》为事件M，则，可知， 所以. 故选：D. 24．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）甲､乙､丙､丁四人排队，则甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法可得答案. 【详解】甲､乙､丙，丁四人排队，有 （甲､乙､丙､丁），（甲､乙､丁､丙），（甲､丙､乙､丁），（甲､丙､丁､乙），（甲､丁､乙､丙）， （甲､丁､丙､乙），（乙､甲､丙､丁），（乙､甲､丁､丙），（乙､丙､甲､丁），（乙､丙､丁､甲）， （乙､丁､甲､丙），（乙､丁､丙､甲），（丙､甲､乙､丁），（丙､甲､丁､乙），（丙､乙､甲､丁）， （丙､乙､丁､甲），（丙､丁､甲､乙），（丙､丁､乙､甲），（丁､甲､乙､丙），（丁､甲､丙､乙）， （丁､乙､甲､丙），（丁､乙､丙､甲），（丁､丙､甲､乙），（丁､丙､乙､甲），共24种基本事件， 甲不排在第一位且丙，丁两人相邻有（乙､甲､丙､丁），（乙､甲､丁､丙），（乙､丙､丁､甲）， （乙､丁､丙､甲），（丙､丁､甲､乙），（丙､丁､乙､甲），（丁､丙､甲､乙），（丁､丙､乙､甲）， 共8种基本事件，所以甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率. 故选：C. 25．（23-24高一下·浙江宁波·期末）两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由古典概型的计算公式即可求解. 【详解】两名男生，一名女生记为 两名男生，一名女生排成一排可能为：，故总可能数， 女生站在中间的可能为：，故可能数， 则女生站在中间的概率. 故选：A. 26．（23-24高一下·重庆·期末）某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】记哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市分别为， 则甲乙分别购买盲盒机票一张共有种可能， 其中两人恰好到达城市相同的情况有，共5种可能， 所以满足题意的概率为. 故选：A 27．（23-24高一下·内蒙古·期末）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【答案】 【分析】列举所有可能的结果，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】由题意，选3个方格，每行和每列均恰有1个方格被选中，每种选法可标记为， 分别表示第一、二、三行里所选方格中的数字， 则所有的可能结果为，，，，，， 共6种.其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有2种，故所求概率为. 故答案为： 28．（24-25高三上·上海·阶段练习）中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为 . 【答案】/ 【分析】利用编号，列举样本空间的方法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】将这5部书籍依次记为，其中《九章算术》为编号， 则从这5部书籍中任意抽取2部的样本空间，共有10个样本点， 其中抽到《九章算术》的样本点为，共有4个样本点， 所以所求概率. 故答案为： 29．（23-24高二下·上海·期末）同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为 .（结果用分数表示） 【答案】 【分析】利用列表法，结合古典概型分析求解. 【详解】设样本空间为，所得点数之和为5为事件A， 列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ ╳ ╳ √ ╳ ╳ 2 ╳ ╳ √ ╳ ╳ ╳ 3 ╳ √ ╳ ╳ ╳ ╳ 4 √ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 5 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 6 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 有表格可知：，所以. 故答案为：. 【题型4 统计和概率相结合】 30．（23-24高一上·广西桂林·期末）在某校进行男生身高调查，随机抽取100名男生，测得他们的身高（单位：），并按照区间，，，，分组，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)估计该校一位男生的身高位于区间的概率及该校男生身高的分位数； (2)估计该校男生的平均身高（同一组数据用该区间的中点值为代表）. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率估计概率运算求解，并根据百分位数的定义求分位数； （2）直接利用平均数公式求出平均数. 【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为， 身高位于区间的频率为， 用频率估计概率，估计该校一位男生的身高位于区间的概率为， 又因为的人数占比为0.10，的人数占比为0.20. 可知该校100名生学身高的分位数落在. 设该校100名生学身高的分位数为x，则，解得. 故该校100名生学身高的分位数为. （2）根据频率分布直方图，由平均数公式可得： 31．（24-25高一上·辽宁·期末）某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面积和为1求的值； （2）设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”，利用对立事件的概率公式求解； 【详解】（1）由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面积之和为1. 所以，解得. （2）由（1）可知：， 所以调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人， 设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”. 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以， 所以， 故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为· 32．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率； (2)根据频率分布直方图估计中位数； (3)学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图可知样本中分数高于60的频率为. （2）根据上的频率可求中位数. （3）利用列举法结合古典概型的概率公式可求概率. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为 ， 所以样本中分数高于的概率为． 故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于的概率估计为． （2）由频率分布直方图可得：上的频率为， 而上的频率为，故此两组的频率和为， 设中位数为，则且， 故即中位数为. （3）设3名男生分别为，2名女生分别为，则从这5名同学中选取2人的结果为： 共10种情况. 其中2人中男女同学各1人包含结果为： ，共6种. 设事件抽取的2人中男女同学各1人，则 所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是. 33．（24-25高二上·湖北·期中）黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. (1)求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差； (3)甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率. 【答案】(1)， (2)第二组、第四组的方差是 (3) 【分析】（1）联立求出再用平均数公式计算； （2）运用分层抽样平均数和方差公式计算即可； （3）设出事件，求出对应概率，再结合相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数等于， （2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数 成绩在第二组、第四组的方差 ， 故估计成绩在第二组、第四组的方差是. （3）设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件， 由题意得， 所以， 所以，所以乙、丙各自解出该题的概率为， 则，因为， 所以，因为相互独立， 所以， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为. 34．（23-24高一下·黑龙江绥化·期末）黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.    (1)根据频率分布直方图，求x的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率. 【答案】(1) (2)83.33 (3) 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可； （2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数； （3）分布求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由图知：，可得. （2）由， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得. 所以满意度评分的分位数为83.33. （3）因为评分在的频率分别为， 则在中抽取人，设为； 在中抽取人，设为； 从这6人中随机抽取2人，则有： ， ，共有15个基本事件， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则有，共有8个基本事件， 所以. 35．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）2023 年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.下图是该地 120 家中小 微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图 ：    (1)确定 的值，并估计这 120 家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数） ； (2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这 120 家中小微企业中随机抽取 20 家，记专项贷款金额在 内应抽取的中小微企业数为. ①求的值 ； ②从这家中小微企业中随机抽取 3 家，求这 3 家中小微企业的专项贷款金额都在内的概率. 【答案】(1)，中位数. (2)①，②. 【分析】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为即可计算，设中位数为，则在内，由即可计算； （2）①计算120家专项贷款金额在内的中小微企业的企业数，根据抽样比计算；②根据频率比，计算专项贷款金额在内和在内的企业数，然后根据古典概型计算概率即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为得 ， 解得. 设中位数为，则专项贷款金额在内的评率为， 在内的评率为， 所以在内， 则，解得， 所以估计120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为万元. （2）①由题意，抽样比为， 专项贷款金额在内的中小微企业共有家， 所以应该抽取家，即. ②专项贷款金额在内和在内的频率之比为， 故在抽取的5家中小微企业中， 专项贷款金额在内的有家，分别记为, 专项贷款金额在内的有家，记为, 从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为 共10种， 其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在内的情况有 共4种， 所以所求概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$