专题05 第9-10章 统计与概率 阶段复习（十三大题型+八大常用解题策略）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（人教A版2019必修第二册，浙江专用）

专题05 第9-10章 统计与概率 阶段复习（十三大题型） 题型目录： 题型1：抽样的方法 题型2：根据抽样估计总体 题型3：简单随机抽样、分层抽样的概率 题型4：频率分布直方图 题型5：用样本估计总体（重要概念的计算） 题型6：用样本估计总体综合辨析（含统计图表） 题型7：事件的分类、求样本点 题型8：事件的关系和运算 题型9：古典概率 题型10：概率的基本性质 题型11：事件的相互独立性 题型12：频率与概率 题型13：统计与概率综合解答题 常用解题技巧： 1、抽样方法 思维升华　(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取． (2)在分层随机抽样中，抽样比＝＝. (3)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为；第二层的样本量为n，平均值为，则样本的平均值为. 2、频率分布直方图及其数字特征 思维升华　频率分布直方图的相关结论 (1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. (2)频率分布直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积． (3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数． 频率分布直方图的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 3、计算一组n个数据第p百分位数的步骤 4、总体离散程度的估计 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 5、确定样本空间的方法 (1)必须明确事件发生的条件． (2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 6、事件的关系运算策略 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生． (2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件． 7、求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 8、频率与概率 (1)概率与频率的关系 (2)随机事件概率的求法 题型1：抽样的方法 1．①在一次满分为100分的测试中，有12人的成绩在90分以上，30人的成绩在60～80分，12人的成绩低于60分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，分层抽样 【答案】A 【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的特点判断即可. 【解析】对于①：考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当； 对于②：总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当． 故选：A. 2．某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（    ） A．抽签法 B．随机数法 C．分层随机抽样 D．其他抽样方法 【答案】C 【分析】根据样本的年龄特性确定抽样方法． 【解析】由于样本中年龄分为三个层次：老年，中年，青年，因此采取分层抽样方法． 故选：C． 3．下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是（    ） ①一项对“中兴事件”（2018年4月16日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论）影响的调查中有10000人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响；有9000人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响；有1000人没有发表自己的看法．现要从这20000人中随机抽取200人做进一步调查． ②从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况． A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 【答案】B 【分析】根据分层抽样及简单随机抽样的概念结合条件分析即得. 【解析】由题可知对①，此项抽查的总体数目较多，而且差异很大，符合分层抽样的适用范围； 对②，从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，此项抽查的总体个数不多，而且差异不大，符合简单随机抽样的适用范围； 所以宜采用的抽样方法依次是：①分层抽样，②简单随机抽样． 故选：B. 题型2：根据抽样估计总体 4．高一（1）班有学生45人，高一（2）班有学生27人，高一（3）班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（   ） A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，9 【答案】A 【分析】由分层抽样的方法结合题意计算即可. 【解析】利用分层抽样的方法得，高一（1）班应抽出（人）， 高一（2）班应抽出（人）， 高一（3）班应抽出（人）， 则高一（1）班，高一（2）班，高一（3）班分别被抽取的人数是15，9，12， 故选：A. 5．某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 【答案】C 【分析】求出行政人员占的比例，从而得到应抽取人数. 【解析】行政人员占的比例为，故行政人员应抽取的人数为. 故选：C． 6．中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答. 【解析】设粮仓内的秕谷有石，依题意，，解得， 所以粮仓内的秕谷约为434石. 故选：C 题型3：简单随机抽样、分层抽样的概率 7．采用简单随机抽样的方法，从含有20个个体的总体中抽取1个容量为4的样本，则某个个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为4，可以看成是抽4次，从而可求得概率． 【解析】由于每个个体被抽到的概率相等， 所以每个个体被抽到的概率是． 故选B． 8．白沙中学高一、高三、初一学生的人数之比为，从中随机抽取400名学生参加军训结业演练，若每人被抽取的概率都是0.2，则该高一年级的人数为（    ） A．1000 B．900 C．800 D．700 【答案】B 【分析】利用分层抽样中的比例求解即可. 【解析】因为高一、高三、初一的人数之比为，从中抽取400名学生作为样本， 所以高一年级抽取的人数为：， 又每人被抽取的概率为0.2，则该高一年级的人数有. 故选：B 9．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取 人． 【答案】16 【解析】分析：先求出男运动员的人数，再利用每名运动员被抽到的概率都是计算出男运动员的人数. 详解：由题得男运动员的人数为98-42=56. 因为每名运动员被抽到的概率都是， 所以男运动员应抽取. 故填16. 点睛：本题主要考查分层抽样等基础知识，属于基础题. 10．从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本.在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，则（    ） A． B． C． D．之间没有关系 【答案】B 【分析】根据简单随机抽样、分层抽样的定义即可得到结论． 【解析】根据抽样调查的原理可得简单随机抽样，分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即. 故选：B 【点睛】本题考查简单随机抽样、分层抽样的原理的理解，两种抽样都是等可能抽取，是一道容易题. 题型4：频率分布直方图 11．某校抽取100名学生测量他们的身高，其山最大值为，最小值，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为，则组数为 . 【答案】7 【分析】根据组距即可求解. 【解析】，则组数为7. 故答案为：7. 12．某个容量1000的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为 ． 【答案】300 【分析】根据频率分布直方图中矩形面积为对应频率，结合频数的概念计算即可. 【解析】根据题意，易知样本数据落在内的频率为， 故频数为. 故答案为：300 13．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为 ．    【答案】 【分析】利用频率直方图的性质计算出频率，即可求出结果. 【解析】    由频率直方图可得，支出在内的频率为， 所以有 故答案为：. 题型5：用样本估计总体（重要概念的计算） 14．数据4，1，6，2，9，5，8的60百分位数为 . 【答案】6 【分析】代入百分位数公式，即可求解. 【解析】数据从小到大排序：1，2，4，5，6，8，9，共7个， ， 故第60百分位数为第5个数据，为6. 故答案为：6. 15．将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则 ． 【答案】21 【分析】根据百分位的计算求解即可. 【解析】因为， 所以分位数是第4、5个数据的平均数， 所以，解得. 故答案为： 16．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的平均分数为 分． 【答案】76.2 【分析】根据平均值计算方法求解. 【解析】样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值， 取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可． 所以平均成绩为 ． 故答案为：76.2. 17．已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为，中位数为，则与的大小关系为 . 【答案】 【分析】根据频率分布直方图的“拖尾”情况分析平均数与中位数的大小. 【解析】因为频率分布直方图在左侧“拖尾”，可知平均数小于中位数，即. 故答案为：. 18．有一组样本数据为1，3，5，7，则它的方差为 . 【答案】5 【分析】首先计算出这组数据的平均数，结合方差公式即可得解. 【解析】这组数据的平均数为，这组数据的方差为. 故答案为：5. 19．已知一组样本数据的样本平均数为3，方差为2，由生成一组新的样本数据，则新数据的平均数为 ；样本方差为 . 【答案】 7； 8. 【分析】由期望、方差性质直接计算即可. 【解析】因为数据的样本平均数为3，方差为2， 所以数据的样本平均数为，方差为. 故答案为：7；8 题型6：用样本估计总体综合辨析（含统计图表） 20．已知一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，x，5的平均值为3，则下列说法正确的是（   ） A． B．众数为3 C．第一四分位数为2.25 D．方差为 【答案】ABD 【分析】A利用平均数公式；B众数的定义；C第一四分位数的规则；D方差公式. 【解析】因为样本数据的平均数为3，所以，所以，故A正确； 由众数定义可知众数为3，故B正确； 因为，故第一四分位数为第三个数据2，故C不正确； 因为，故D正确， 故选：ABD. 21．某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动．如图是某班甲，乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（   ） A．乙同学阅读时间更加稳定 B．甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间 C．乙同学阅读时间的极差为20 D．甲同学阅读时间的分位数为25 【答案】ABD 【分析】根据给定折线图，计算百分位数、极差、平均数、方差即可判断作答. 【解析】对于B，甲同学在一周内每天阅读时间依次为， 则甲同学阅读时间的平均数为， 乙同学在一周内每天阅读时间依次为， 则乙同学阅读时间的平均数为， 则甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间，故B正确； 对于A，甲同学阅读时间的方差为 ， 乙同学阅读时间的方差为 ， 则甲同学阅读时间的方差大于乙同学阅读时间的方差，故乙同学阅读时间更加稳定，故A正确； 对于C，乙同学阅读时间的极差为，故C错误； 对于D，将甲同学阅读时间从小到大排列为，因为， 所以甲同学阅读时间的分位数为25分钟，故D正确. 故选：ABD. 22．甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（ ） A．甲跑步里程的极差等于110 B．乙跑步里程的中位数是270 C．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为，，则 D．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为，，则 【答案】AD 【分析】根据极差、中位数、平均数、标准差等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】对于A，甲跑步里程的极差为，A正确； 对于B，乙跑步里程的中位数为，B错误； 对于C，甲跑步里程的平均数， 乙跑步里程的平均数，，C错误； 对于D，根据折线图知，甲的波动大，乙的波动小，，D正确. 故选：AD 23．某同学统计了某校高一男生的身高数据（单位：），并整理得到下表 身高 频数 60 120 180 240 100 根据表中数据，下列说法正确的是（    ） A．该校高一年级男生身高的中位数小于 B．该校高一年级男生身高的众数和中位数相同 C．该校高一年级男生身高的极差介于至之间 D．该校高一年级男生身高的平均数介于到之间 【答案】AC 【分析】根据统计表．结合中位数定义判断A（利用频数），再由众数定义判断B，由极差定义判断C，求出身高期望值判断D． 【解析】选项A，由统计表，身高小于170的频数为360，身高不小于170的频数为340，因此身高的中位数小于170，A正确； 选项B，由统计表身高的众数在区间上，结合选项A的判断知B错误； 选项C，由统计表，身高的极差最大为，最小为，C正确； 选项D，身高的平均值为，D错． 故选：AC． 24．下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽到的概率是0.2 B．已知一组数据的平均数为4，则的值为5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的中位数是17 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】AD 【分析】利用概率可判断A；根据平均数求得m的值即可判断B；根据中位数的求法即可判断C；利用方差性质即可判断D. 【解析】对于A， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为 ，故A正确； 对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，故B错误； 对于C，将8个数据从小到大排列为12,14,15,17,19,23,27,30，则中位数为，故C错误； 对于D，依题意，方差为，则， 所以数据的标准差为16，D正确； 故选：AD. 25．某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） ①频率分布直方图中a的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据题意，由频率分布直方图的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【解析】由频率分布直方图可得： ，解得，故①正确； 前三个矩形的面积为， 即第60百分位数为80，故②正确； 估计这200名学生竞赛成绩的众数为，故③错误； 总体中成绩落在内的学生人数为，故④正确； 故选：B 题型7：事件的分类、求样本点 26．下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【分析】根据现象的分类逐项分析判断. 【解析】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 27．同时抛三枚均匀的硬币，恰有2个正面朝上的样本点个数为 ． 【答案】3 【分析】依题意列出满足条件的基本事件即可； 【解析】解：同时抛三枚均匀的硬币，恰有2个正面朝上的基本事件为正正反，正反正，反正正，即3个． 故答案为：． 28．如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件 “电路是通路”包含的样本点个数为 .    【答案】 【分析】由A，B两个元件组成并联电路，至少有一个元件正常，列举出所有的样本点即可得解. 【解析】设元件正常为，失效为， 由A，B两个元件组成并联电路， 则至少有一个元件正常， 故事件包含的样本点为共个. 故答案为：. 题型8：事件的关系和运算 29．已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得. 【解析】依题意，. 故选：D 30．已知样本空间，事件，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由概率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【解析】因为，且事件，，则， 所以. 故选：A 31．如果，是互斥事件，下列选项正确的是（    ） A．事件与不互斥 B． C．与互斥 D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件的有关概念逐一判断即可. 【解析】对A：若，对立，则与也对立，所以与可以互斥，故A错误； 对B：因为，互斥，所以为不可能事件，故为必然事件，所以； 又，所以，故B正确； 对C：根据互斥事件的概念，，互斥，与一定不互斥，故C错误； 对D：只有，对立时，才有，故D错误. 故选：B 32．已知事件，互斥，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的定义及性质判断A、B、D，利用反例说明C. 【解析】对于A：因为事件，互斥，所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：如抛掷一枚质地均匀的骰子，事件，事件，满足，互斥， 但是，，显然，不互斥，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：C 33．已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【答案】B 【分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案. 【解析】因为事件与事件互为对立，所以， 因为事件与事件互斥，则， 故选：B 34．从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（    ） A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球 C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球 【答案】A 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 【解析】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种： ①3个球全是黄球； ②2个黄球和1个蓝球； ③1个黄球2个蓝球； ④3个球全是蓝球． 对于A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②， ∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确； 对于B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①， ∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误； 对于C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④， ∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误； 对于D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④， ∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误． 故选：A． 35．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件互斥 D． 【答案】B 【分析】对于A与C，根据互斥事件的定义判断即可；对于B，分别计算、、，验证是否成立即可；对于D，明确的含义即可求解其概率. 【解析】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，表示选出的盒子既有笔记本，又有笔袋，故只能选第四个礼盒，故，故D错误． 故选：B． 36．若，则事件与事件的关系是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立 【答案】C 【分析】根据积事件概率不为零可确定与能同时发生，不互斥，由知两者不对立，即得ABD错误；根据独立事件概率公式可知C正确. 【解析】对于A,D两项，由可知事件与事件能同时发生，则两者不互斥，故A,D错误； 对于B，由，得，又， 则， 即事件与事件不是互为对立事件，故B错误； 对于C，由上分析，可得,故事件与事件相互独立，即C正确. 故选：C. 37．给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 【答案】C 【分析】AB选项，可举出反例；C选项，根据得到C正确；D选项，根据概率的性质得到. 【解析】对于A：当A，B为两个互斥事件时，才有， 当A，B不互斥时，，A选项错误； 对于B：当事件A，B，C两两互斥，且时，才有，所以B错误； 对于C：当A，B为互斥事件时，，C选项正确； 对于D：由概率的性质可知，若，则，D选项错误； 故选：C. 题型9：古典概率 38．抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率个数即可求解. 【解析】抛掷两个质地均匀的骰子,总的基本事件个数为种，其中“抛掷的两个骰子的点数之和是6”包含共5种， 故概率为， 故选：C 39．某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为 ． 【答案】/ 【分析】列出所有的样本空间以及满足题意的情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【解析】2名高一学生干部记为：a，b；3名高二学生干部记为：，，， 则样本空间 共含有10个样本点， 设事件表示“这2名学生来自不同年级”， 则包含，即， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故答案为：. 40．某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为 . 【答案】/ 【分析】先罗列出所有情况，再罗列出符合要求的情况，最后算概率即可. 【解析】设装变形金刚玩具的盒子分别为， 装积木玩具的盒子为.则从这5个盒子中选出2个盒子的不同选法有 ， 共10种不同方法； 恰好选到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的不同选法有 ，共4种不同方法，故所求概率， 故答案为： 41．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据裁判擦去的是奇数还是偶数分类考虑，分析得出若擦去的是奇数，则乙一定获胜；若擦去的是偶数，则甲一定获胜，由此根据古典概型概率公式计算即得. 【解析】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数， 注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数. （1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜. 理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数， 从而所剩两数不互质，故乙胜. （2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜. 理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成： 这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜. 甲获胜的概率为. 故选:B. 【点睛】关键点点睛：本题考查的是质数与合数的概念、数的整除性、概率公式，利用分类讨论的思想是解答此题的关键. 题型10：概率的基本性质 42．已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件的概率公式求出、. 【解析】因为事件、、两两互斥，， 所以， 所以. 故选：B 43．设为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件的含义判断各选项即可. 【解析】因为为两个互斥事件，，， 所以，即，且. 故选：B． 44．已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则 . 【答案】0.7/ 【分析】根据概率的加法公式代入求解即可. 【解析】因为事件与事件发生的概率分别为 ，，且， 所以. 故答案为：0.7. 45．已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，从而，利用对立事件概率公式即可求解. 【解析】因为事件与事件互斥，所以， 所以. 故选：B 题型11：事件的相互独立性 46．已知事件A，B相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对立事件的概率关系和相互独立事件的概率公式计算即可. 【解析】因为事件是相互独立事件，所以与相互独立， 所以， 则. 故选：C. 47．甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算求得结果. 【解析】恰好有一个一等品的概率. 故选：C. 48．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 【答案】C 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【解析】对于A，若是对立事件，则，A错误； 对于B，若是互斥事件，，则，B错误； 对于C，，则，， 又，则是独立事件，C正确； 对于D，若是独立事件，则是独立事件，而， 则，D错误. 故选：C 题型12：频率与概率 49．甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【答案】B 【分析】根据概率与频率的关系判断. 【解析】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确； 抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误； 甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误. 故选：B 50．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【解析】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有： 116  812  730  217  109  361  284  147  318  027共10个， 故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是， 故选：B 51．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 【答案】 0.21/ 0.18/ 【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率. 【解析】赔付金额大于投保金额的频率为， 估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21， 在样本车辆中，车主是新司机的占15%， 故投保的新司机人数为， 在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人， 估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为. 故答案为：0.21，0.18 题型13：统计与概率综合解答题 52．为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【答案】(1) (2)众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60 (3)第70的分位数为75.83 【分析】（1）由频率分布直方图面积为1，求解即可； （2）由众数、中位数、平均数的计算公式即可求解； （3）由百分位数的计算公式即可求解； 【解析】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x， 因为，，故中位数位于内， 则有，解得. 所以中位数为67.69. 这次数学考试的平均成绩为 . （3）成绩小于70分所占的比例为， 成绩小于80分所占的比例为， 所以第70的分位数在内， 所以第70的分位数为. 53．省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品. (1)求甲同学在第一轮得分为20分的概率. (2)甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由. 【答案】(1)0.48 (2)详解见解析 【分析】（1）直接由相互独立事件的概率公式求解； （2）分别求出甲乙两同学获奖的概率，比较大小得结论． 【解析】（1）因为甲同学回答出每个问题的概率均为0.4， 所以甲同学在第一轮得分为20分的概率为． （2）乙同学获得奖品的概率更大． 甲获奖总得分达到80分分两种情况： 甲第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：， 甲第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：， 甲同学获奖的概率为． 设乙同学能答出生物问题中的3道题分别为，，，不能答出的为，， 则乙同学从5个生物问题中任选两题作答，所有情况为： ，，，，，，，，，， 其中获20分的概率为，获50分的概率为． 乙获奖总得分达到80分分两种情况： 乙第一轮得20分且第二轮得60分的概率为：， 乙第一轮得50分且第二轮至少得30分的概率为：， 乙同学获奖的概率为：， ， 乙同学获得奖品的概率更大． 54．阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 【答案】(1)78分 (2)平均数90，方差 (3) 【分析】（1）利用百分位数的定义求解； （2）利用平均数和方差的定义求解； （3）利用古典概型的概率公式求解． 【解析】（1）由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以， 解得， 又， 解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为， 则， 解得， 所以晋级分数线划为78分合理； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； （3）由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取2人和4人．分别记为，和，，，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自于同一小组”， 则，共7个样本点， 所以． 55．2023年12月，“尔滨”持续爆火，冰雪主题热度狂飙，随之而来的是大家对冬季户外运动装备的高需求，从雪鞋､雪板等滑雪装备，到手套､帽子等保暖用品，各家体育用品店在这个冬天迎来“滑雪十”新热潮．某体育用品制造企业为了提升产品质量，对现有的一条生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的体育用品中随机抽取了件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）． 质量指标值 产品 (1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； (2)设表示不小于的最小整数，表示不大于的最大整数，,，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值落在内的频率超过，可认为生产线技术改造成功．请根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：，） 【答案】(1)， (2)可以判定生产线技术改造是成功的 【分析】（1）根据平均数与方差公式直接计算可得解； （2）直接代入可得，，再根据频率公式可得解. 【解析】（1）由题意可知， ； （2）由（1），则， 则，， 该抽样数据落在内的频率为， 则可以判定生产线技术改造是成功的． 56．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．    （1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名生学身高的75％分位数． （3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②． 【答案】（1）0.06  60人；（2）；（3）详见解析. 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在及以上的学生人数； （2）可设该校100名生学身高的75％分位数，再利用频率分布直方图计算即得； （3）利用样本平均数，方差公式化简即证. 【解析】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在及以上的学生人数（人）． （2）的人数占比为％， 的人数占比为％， 所以该校100名生学身高的75％分位数落在， 设该校100名生学身高的75％分位数为， 则％，解得， 故该校100名生学身高的75％分位数为． （3）由题得①；② 又 同理， ∴ . ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 第9-10章 统计与概率 阶段复习（十三大题型） 题型目录： 题型1：抽样的方法 题型2：根据抽样估计总体 题型3：简单随机抽样、分层抽样的概率 题型4：频率分布直方图 题型5：用样本估计总体（重要概念的计算） 题型6：用样本估计总体综合辨析（含统计图表） 题型7：事件的分类、求样本点 题型8：事件的关系和运算 题型9：古典概率 题型10：概率的基本性质 题型11：事件的相互独立性 题型12：频率与概率 题型13：统计与概率综合解答题 常用解题技巧： 1、抽样方法 思维升华　(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取． (2)在分层随机抽样中，抽样比＝＝. (3)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为；第二层的样本量为n，平均值为，则样本的平均值为. 2、频率分布直方图及其数字特征 思维升华　频率分布直方图的相关结论 (1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. (2)频率分布直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积． (3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数． 频率分布直方图的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 3、计算一组n个数据第p百分位数的步骤 4、总体离散程度的估计 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 5、确定样本空间的方法 (1)必须明确事件发生的条件． (2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏． 6、事件的关系运算策略 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生． (2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件． 7、求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 8、频率与概率 (1)概率与频率的关系 (2)随机事件概率的求法 题型1：抽样的方法 1．①在一次满分为100分的测试中，有12人的成绩在90分以上，30人的成绩在60～80分，12人的成绩低于60分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（    ） A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样 C．简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，分层抽样 2．某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（    ） A．抽签法 B．随机数法 C．分层随机抽样 D．其他抽样方法 3．下列两项调查适宜采用的抽样方法依次是（    ） ①一项对“中兴事件”（2018年4月16日，美国对中兴通讯施行惩罚措施，引起国内关于国产芯片的讨论）影响的调查中有10000人认为这是美国贸易保护主义，对世界经济会产生比较负面的影响；有9000人认为这只是一个孤立事件，对世界经济大格局不会产生太大影响；有1000人没有发表自己的看法．现要从这20000人中随机抽取200人做进一步调查． ②从某中学高二年级的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况． A．①简单随机抽样，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 C．①系统抽样，②分层抽样 D．①②都用分层抽样 题型2：根据抽样估计总体 4．高一（1）班有学生45人，高一（2）班有学生27人，高一（3）班有学生36人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成的方队，进行体操比赛，则高一（1）班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（   ） A．15，9，12 B．9，15，12 C．12，9，15 D．15，12，9 5．某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 6．中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为（    ） A．321石 B．166石 C．434石 D．623石 题型3：简单随机抽样、分层抽样的概率 7．采用简单随机抽样的方法，从含有20个个体的总体中抽取1个容量为4的样本，则某个个体被抽到的概率为（    ） A． B． C． D． 8．白沙中学高一、高三、初一学生的人数之比为，从中随机抽取400名学生参加军训结业演练，若每人被抽取的概率都是0.2，则该高一年级的人数为（    ） A．1000 B．900 C．800 D．700 9．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取 人． 10．从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本.在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，某个体被抽中的概率为；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为，则（    ） A． B． C． D．之间没有关系 题型4：频率分布直方图 11．某校抽取100名学生测量他们的身高，其山最大值为，最小值，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为，则组数为 . 12．某个容量1000的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为 ． 13．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为 ．    题型5：用样本估计总体（重要概念的计算） 14．数据4，1，6，2，9，5，8的60百分位数为 . 15．将个数据按照从小到大的顺序排列如下:，若该组数据的分位数为22，则 ． 16．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的平均分数为 分． 17．已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为，中位数为，则与的大小关系为 . 18．有一组样本数据为1，3，5，7，则它的方差为 . 19．已知一组样本数据的样本平均数为3，方差为2，由生成一组新的样本数据，则新数据的平均数为 ；样本方差为 . 题型6：用样本估计总体综合辨析（含统计图表） 20（多选题）．已知一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，x，5的平均值为3，则下列说法正确的是（   ） A． B．众数为3 C．第一四分位数为2.25 D．方差为 21（多选题）．某校为了鼓励同学们利用课余时间阅读，开展了读书周活动．如图是某班甲，乙两名同学在一周内每天阅读时间的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（   ） A．乙同学阅读时间更加稳定 B．甲同学的平均阅读时间等于乙同学的平均阅读时间 C．乙同学阅读时间的极差为20 D．甲同学阅读时间的分位数为25 22（多选题）．甲、乙两个跑步爱好者利用微信运动记录了去年下半年每个月的跑步里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（ ） A．甲跑步里程的极差等于110 B．乙跑步里程的中位数是270 C．分别记甲、乙下半年每月跑步里程的平均数为，，则 D．分别记甲乙下半年每月跑步里程的标准差为，，则 23（多选题）．某同学统计了某校高一男生的身高数据（单位：），并整理得到下表 身高 频数 60 120 180 240 100 根据表中数据，下列说法正确的是（    ） A．该校高一年级男生身高的中位数小于 B．该校高一年级男生身高的众数和中位数相同 C．该校高一年级男生身高的极差介于至之间 D．该校高一年级男生身高的平均数介于到之间 24（多选题）．下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽到的概率是0.2 B．已知一组数据的平均数为4，则的值为5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的中位数是17 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 25．某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） ①频率分布直方图中a的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④ 题型7：事件的分类、求样本点 26．下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 27．同时抛三枚均匀的硬币，恰有2个正面朝上的样本点个数为 ． 28．如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件 “电路是通路”包含的样本点个数为 .    题型8：事件的关系和运算 29．已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 30．已知样本空间，事件，，则（　　） A． B． C． D． 31．如果，是互斥事件，下列选项正确的是（    ） A．事件与不互斥 B． C．与互斥 D． 32．已知事件，互斥，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 33．已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 34．从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（    ） A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球 C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球 35．有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件互斥 D． 36．若，则事件与事件的关系是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件互斥又独立 37．给出下列命题，其中说法正确的是（ ） A．若A，B为两个随机事件，则 B．若事件A，B，C两两互斥，则 C．若A，B为互斥事件，则 D．若，则 题型9：古典概率 38．抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为（    ） A． B． C． D． 39．某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为 ． 40．某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为 . 41．一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 题型10：概率的基本性质 42．已知事件、、两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 43．设为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 44．已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则 . 45．已知事件与事件互斥，记事件为事件对立事件.若，，则（    ） A． B． C． D． 题型11：事件的相互独立性 46．已知事件A，B相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 47．甲乙两人各加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否为加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为（   ） A． B． C． D． 48．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（    ） A．若，是对立事件，则 B．若，是互斥事件，，则 C．若，且，则，是独立事件 D．若，是独立事件，，则 题型12：频率与概率 49．甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 50．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下： 116  785  812  730  134  452  125  689  024  169 334  217  109  361  908  284  044  147  318  027 若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ） A． B． C． D． 51．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 题型13：统计与概率综合解答题 52．为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 53．省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品. (1)求甲同学在第一轮得分为20分的概率. (2)甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由. 54．阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ (2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． (3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 55．2023年12月，“尔滨”持续爆火，冰雪主题热度狂飙，随之而来的是大家对冬季户外运动装备的高需求，从雪鞋､雪板等滑雪装备，到手套､帽子等保暖用品，各家体育用品店在这个冬天迎来“滑雪十”新热潮．某体育用品制造企业为了提升产品质量，对现有的一条生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的体育用品中随机抽取了件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）． 质量指标值 产品 (1)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）； (2)设表示不小于的最小整数，表示不大于的最大整数，,，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值落在内的频率超过，可认为生产线技术改造成功．请根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：，） 56．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．    （1）求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名生学身高的75％分位数． （3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$