海南省海口市海南中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

试卷第 1页，共 4页 海南中学 2024-2025 学年度第二学期期中考试 高一数学 试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 19 小题，满分 150 分，考试 时间为 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择 题时，将答案写在答题卡上. 第 I卷（选择题，共 58 分） 一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．若复数�满足 1 + i � = i，则� =（ ） A．1+i 2 B．1−i 2 C．− 1+i 2 D．i−1 2 2．若 �1 ,�2 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A． �1 − �2 , �2 − �1 B． �1 + �2 ,�1 + 3�2 C． 2�2 − 3�1 ,6�1 − 4�2 D． 2�1 − �2 ，�1 − 1 2 �2 3．已知向量� = 1,0 ，� = 1,1 ，若 �� + � ⊥ � ，则实数� =（ ） A．−2 B．−1 C．1 D．2 4．下列命题中为真命题的是（ ） A．圆柱的侧面展开图是一个正方形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D．球体是旋转体的一种类型 5．已知� , � 是两个单位向量，且向量� + 4� 在向量 a  上的投影向量为 3� ，则向量� , � 的夹角 （ ） A． π 3 B． π 4 C． π 6 D． π 3  6. 已知复数 z满足 | 2 2i | 2z    ，则 | |z 最大值为（ ） A． 2 2 B． 2 C． 2 2 1 D． 2 2 2 7. 在∆ABC中，内角A， B，C所对的边分别为 a，b， c，且 sin 3 cos 0a B b A  ，若D是 BC的中点， 13 2 AD  ， 3b  ，则c （ ） 海南中学 2024-2025学年度第二学期期中考试（高一数学） 命题人：李园，审题人：李宁 试卷第 2页，共 4页 A．3 B． 4 C．5 D．6 8. 已知向量� , � , �满足 � = 1, � = 3，� ⋅ � =− 3 2 , � − � , � − � = 30∘，则 � 的最大值等于（ ） A．2 7 B． 7 C．2 D． 2 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知�1, �2为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ） A．若 �1 ≤ 1，则−1 ≤ �1 ≤ 1 B．若 �1 + �2 = 0．则�1 = �2 = 0 C．若 �1 = �2 ，则�12 = �22 D．若�1 > �2，则�1 − �2 > 0 10．已知△ ���的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是( ). A．若 sin� > sin�，则� > � B．若�2 + �2 > �2，则△ ���为锐角三角形 C．若�cos� = �cos�，则△ ���为等腰三角形 D．若� = 2，� = π 3 ，这样的三角形有两解，则�的取值范围为 3, 2 11．如图，圆锥 SO底面圆的圆心为 O，AB是圆 O的一条直径，SA与底面所成角 的正弦值为 2 2 3 ，�� = 4，P是母线 SA的中点，C是母线 SB上一动点，则下列说 法正确的是（ ） A．圆锥 SO的母线长为 12 B．圆锥 SO的表面积为 16π C．一只蚂蚁沿圆锥 SO的侧面上的曲线���从点 A爬到点 P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁 离圆锥 SO的顶点 S的最短距离是3 21 7 D．在圆锥 SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是16 6 9 第 II卷（非选择题，共 92分） 三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．已知向量 a， b  的夹角为 45°，且 1a   ， 2b   ，则 2a b   . 13．已知水平放置的四边形 ABCD按照斜二测画法画出的直观图�'�'�'�'如图所示，其中�'�' = 2，�'�' = 4， �'�' = 1，则四边形 ABCD的面积为 . 试卷第 3页，共 4页 14．已知圆台上底面的半径为 3，下底面的半径为 4，高为 7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上， 则该球的体积是____. 四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ ���中，内角�, �, �所对的边分别为�, �, �且(� + �)(sin� + sin�) = �sin� + 3�sin�． (1)求角�的大小； (2)若� = 13，且△ ���的面积为 3，求△ ���的周长． 16．（15分）在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，棱长 2AB  ，M，N，P分别是 1C C， 1 1BC ， 1 1C D 的中点． (1)直线 1 1AC 交 PN于点 E，直线 1AC 交平面 MNP于点 F，求证：M，E，F三点共线． (2)求三棱锥D MNP 的体积． 17．（15分）如图，观测站�在目标�的南偏西20°方向，经过�处有一条南偏东40°走向的公路，在�处观测 到与�相距 31km的�处有一人正沿此公路向�处行走，走 20km到达�处，此时测得�，�相距 21km. (1)求 sin∠���； (2)求�，�之间的距离. 18．（17分）如图所示，已知点 P是平行四边形 ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为 AB，PC，PA 的中点，平面��� ∩平面��� = �． 海南中学 2024-2025学年度第二学期期中考试（高一数学） 命题人：李园，审题人：李宁 试卷第 4页，共 4页 (1)判断直线 l与 BC的位置关系并证明； (2)求证：��//平面 PAD； (3)直线 PB上是否存在点 H，使得平面���//平面 ABCD?若存在，求出点 H的位置，并加以证明；若不存 在，请说明理由． 19．（17分）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯 等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如� = � + �i(�, � ∈ R)的数称为复数的代数形式，而任何一个复 数� = � + �i都可以表示成�(cos� + isin�)的形式，即 � = �cos�,� = �sin�, 其中�为复数�的模，�叫做复数�的辐角， 我们规定 0 ≤ � < 2π范围内的辐角�的值为辐角的主值，记作 argz．复数� = �(cos� + isin�)叫做复数的三 角形式．由复数的三角形式可得出，若��1 = �1 cos�1 + isin�1 ，��2 = �2 cos�2 + isin�2 ，则�1 cos�1 + isin�1 ⋅ �2 cos�2 + isin�2 = �1�2 cos �1 + �2 + isin �1 + �2 ．其几何意义是把向量��1 绕点�按逆时针方 向旋转角�2（如果�2 < 0，就要把��1 绕点�按顺时针方向旋转角 �2 ），再把它的模变为原来的�2倍． 请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将� = 1 + 3i写成三角形式（辐角取主值）． (2)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数�(�) = �� + 1 �� ， � ∈ C，� ∈ N∗． ①当� = 1 时，解关于�的方程�(�) = 1 2 ； ②当� = 2 时，若存在实部不为 0，且虚部大于 0的复数�和实数�，使得�(�) ≥ �成立，复数�在复平面上 对应的点为�，点�(2,0)，以 PA为边作等边△ ���，且�在��的上方，求线段��的最大值．