猜押10 几何证明压轴题（北京专用）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍

猜押10 几何证明压轴题 猜押考点 3年北京真题 考情分析 押题依据 几何证明压轴 2022年第27题2023年第27题 2024年第27题 北京中考几何证明压轴题在2022年至2024年间呈现出多样化和高阶化的趋势。学生需要扎实掌握基础几何知识，并通过多种解法训练提升逻辑推理能力和空间想象能力。同时，教师应注重教学方法的创新，帮助学生应对几何证明题的挑战。 北京中考几何证明压轴题在2022年至2024年间呈现出多样化和高阶化的趋势。学生需要扎实掌握基础几何知识，并通过多种解法训练提升逻辑推理能力和空间想象能力。同时，教师应注重教学方法的创新，帮助学生应对几何证明题的挑战。 题型一 探求两条线段的数量关系 1．（2025·北京·一模）在中，，，于点D．点M，N分别是，上的动点，且满足．连接，交于点E，过点M作，交于点F，垂足为H． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，结合，可得，再进一步的分别求解，即可得到结论； （2）如图，连接，，证明，，可得，，证明，可得三点共线，延长至，使，而，，可得，，，再证明，可得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， 延长至，使，而，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（22-23九年级下·北京西城·二模）已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的角平分线所在直线与直线相交于点．过点作直线的垂线，垂足为点． (1)当为锐角时，依题意补全图形，并直接写出的度数； (2)在（1）的条件下，写出线段和之间的数量关系，并证明； (3)设直线与直线相交于点，若，直接写出线段长的最大值和最小值． 【答案】(1)补全图形如图所示， (2)，证明见解析 (3)线段长的最大值为，最小值为 【分析】（1）依题意补全图形，连接，以为半径为圆心作，根据圆周角定理即可求解； （2）过点作于点，连接，设交于点，证明，得出，，得出，进而得出，即可得证； （3）以为斜边在右侧作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，根据（1）的结论得出在上运动，过点作交延长线于点，则，进而勾股定理求得，根据点到圆上的距离，进而即可求解． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示， 连接，以为半径为圆心作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ （2）， 证明：如图所示，过点作于点，连接，设交于点， ∵， ∴，， ∵，∴， ∵， ∴， 在中， ∴ ∴； ∵平分，又， ∴ 又（1）可得， ∴ ∴，又，则是等腰直角三角形， ∴， 又∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, 即 （3）解：如图所示， 以为斜边在右侧作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接， ∵， ∴， ∴在上运动， ∵，则的半径， 如图所示，过点作交延长线于点，则 ∴ ∴ ∴线段长的最大值为，最小值为 3．（2023·北京昌平·二模）在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG． （1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明； （2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长． 【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）. 【分析】（1）①补全图形即可， ②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝3，由直角三角形的性质得出FG＝DG＝2GH＝2，得出DF＝DG＝4，在Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝2，即可得出结果． 【详解】解：（1）①补全图形如图1所示， ②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下， 连接BG，如图2所示， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°， ∵EG⊥AC， ∴∠EGC＝90°， ∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC， ∴∠GEC＝∠GCE＝45°， ∴∠BEG＝∠GCF＝135°， 由平移的性质得：BE＝CF， 在△BEG和△GCF中，， ∴△BEG≌△GCF（SAS）， ∴BG＝GF， ∵G在正方形ABCD对角线上， ∴BG＝DG， ∴FG＝DG， ∵∠CGF＝∠BGE，∠BGE+∠AGB＝90°， ∴∠CGF+∠AGB＝90°， ∴∠AGD+∠CGF＝90°， ∴∠DGF＝90°， ∴FG⊥DG. （2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．如图3所示, 在Rt△ADG中， ∵∠DAC＝45°， ∴DH＝AH＝3， 在Rt△DHG中，∵∠AGD＝60°， ∴GH＝＝＝， ∴DG＝2GH＝2， ∴DF＝DG＝4， 在Rt△DCF中，CF＝＝2， ∴BE＝CF＝2． 4．（2024·北京石景山·一模）如图，在等边中，D为边AC的延长线上一点（），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）线段AH与CG的数量关系：．证明见解析. 【分析】（1）补全的图形如图1所示； （2）根据直角三角形含角的性质得：，得，即可证出； （3）作辅助线，证明四边形是平行四边形和，即可证出． 【详解】(1)补全的图形如图1所示, (2)证明：∵是等边三角形， ∴． ． 由平移可知 ，． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． (3)线段AH与CG的数量关系： ． 证明：如图2，连接BE，EF． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∵垂直平分， ∴ ． ∴． ∵， ∴ ，． ∴ ． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 5．（2023·北京西城·二模）如图，正方形 ABCD 中，P 是 BA 延长线上一点，且PDA （0 45）.点 A，点 E 关于 DP 对称，连接 ED，EP ，并延长 EP 交射线CB 于点 F ，连接 DF . （1）请按照题目要求补全图形. （2）求证：∠EDF=∠CDF （3）求∠EDF(含有 的式子表示)； （4）过 P 作PH⊥DP交 DF 于点 H ，连接 BH ， 猜想 AP 与 BH 的数量关系并加以证明.    【答案】(1)图见解析，（2）证明见解析；（3）∠EDF=45°，（4）BH=. 【分析】（1）根据题目条件直接作图即可； （2）根据对称可知DE=AD，∠PAD=∠DEP=90°，易证Rt△EDF≌Rt△CDF，即可得到结论.（3）根据（2）可得∠EDF=∠CDF=∠PDC，即可得∠EDF=45°+； （4）作HG⊥PB，构造△PDA≌△HPG和等腰直角△HGB.由（3）得∠EDF=45°+；可得∠PDH=45°，△PDG是等腰直角三角形，得PD=PH,进而可证△PDA≌△HPG， HG=PA=BG，即可得△HGB是等腰直角三角形，所以BH=PA. 【详解】(1)如图：    （2）证明：∵点 A，点 E 关于 DP 对称， ∴DE=AD，∠PAD=∠DEP， ∵在正方形ABCD中，AD=CD，∠C=∠DAB=90°， ∴DE=CD，∠E=∠C=90°， 在Rt△EDF和Rt△CDF中， ， ∴Rt△EDF≌Rt△CDF（HL）， ∴∠EDF=∠CDF. （3）由（2）得∠EDF=∠CDF=∠PDC， 又∵∠PDC=90°+2. ∴∠EDF=45°+. （4）结论：BH=PA. 如图：过H点作HG垂直于PB，    ∵∠PDF=∠EDF-∠EPD， ∵∠EDF=45°+，∠EPD=， ∴∠PDF=45°. 又∵PD⊥PF， ∴△PDG是等腰直角三角形， ∴AP=HP， 又∵∠PDA+∠DPA=90°，∠PDA+∠HPA=90°， ∴∠PDA=∠HPA, 在△PDA和△HPG中， ， ∴△PDA≌△HPG（AAS） ∴PA=HG,DA=PG, ∵DA=AB， ∴BG=PA， ∴△HGB为等腰直角三角形， ∴BH=， ∴BH=PA. 题型二 探求三条线段的数量关系 6．（2023·北京海淀·模拟预测）如图，，，过点C作直线，点D，E是直线上的动点（D在E的右侧）且满足，连接，的平分线与射线交于点F，与射线交于点G． (1)如图1，当点C在线段上，且时，若，求线段的长； (2)如图2，当点D在点C左侧时， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①补全图形见解析；②证明见解析． 【分析】（1）先求证明四边形是平行四边形，可得 证明 可得 再求出，从而可得答案； （2）①根据题干要求画好图形即可，②过A作于 交于 交于 证明四边形是菱形，四边形是平行四边形，可得 再证明 再证明 可得 利用 从而可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴； （2）解：①图形如下图所示，    ②理由如下： 如下图所示，过A作于 交于 交于    平分 由（1）得：    四边形是菱形， 四边形是平行四边形， 7．（2022·北京海淀·一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作交CD边于点Q． (1)求证：； (2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明； (3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为 （直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过P点作 垂足分别为E、F，由正方形性质和同角余角相等，易证得： ，即可得证 （2）延长FP，交AB于G，则 ，由等腰直角三角形和勾股定理以及等量代换即可求得． （3）根据题意，画出运动后的M点位置，再根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】（1）证明：过P点作 垂足分别为E、F， ∵正方形ABCD， ， ， ， 则四边形PEDF为正方形， ， ， ， 在和中 ， ， ； ， （2）延长FP，交AB于G， ∵正方形ABCD， ， ， 为等腰直角三角形， ，正方形ABCD， ∴四边形BGFC为矩形，四边形GAEP为矩形， ， 为等腰直角三角形， ， 由（1）得，是等腰直角三角形， ， 在直角三角形AGP中， ，． ， ； （3）当P在B点时，Q应该在C点，所以M应与O点重合，所以当P移动使得BP=4时，OM即为AQ中点移动的距离， 由（2）可得：CF=BG= ， ∵正方形ABCD， ， O是AC中点， ， ， 在等腰三角形PCQ 中， ， ， ∵O是AC中点，M是AQ中点， ． 8．（2024·北京·一模）已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，位置如图所示，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．   ①依据题意补全图形； ②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②CF=AF+BM，证明见详解． 【分析】（1）根据题中的垂直可得到∠FAB+∠AEB=90°，∠BCF+∠AEB=90°，从而可得到答案； （2）①根据题意补全图形即可；②过点B作BH⊥CF于H，过B作BN⊥BF，交CF于N，令BM与AE交于点G，可证四边形BHFG为正方形，进而得出△FBN为等腰直角三角形，得到FN=BM，再证△ABE≌△CBN，得到CN=AF，即可得到结论． 【详解】（1）证明：由正方形ABCD，可知∠ABC=90°，AB=BC， ∴∠ABE=90°， ∴∠FAB+∠AEB=90°， ∵CF⊥AE， ∴∠BCF+∠AEB=90°， ∴； （2）①如下图所示， ②CF=AF+BM， 过点B作BH⊥CF于H，过B作BN⊥BF，交CF于N，令BM与AE交于点G， 由题可知，∠BGF=∠GFH=∠BHF=90°，AB=CB， ∴四边形BHFG为矩形， 在△ABG与△CBH中， ∴△ABG≌△CBH， ∴BH=BG， ∴矩形BHFG为正方形， ∴∠BFH=45°，BG=FH， ∵BN⊥BF， ∴△FBN为等腰直角三角形， ∵BH⊥CF， ∴ ， 由对称可知， ∴， ∵∠FBN=90°，∠ABE=90°， ∴∠FBE+∠CBN=90°，∠FBE+∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠CBN， 在△ABE与△CBN中， ∴△ABE≌△CBN， ∴CN=AF， ∵CN+FN=CF， ∴CF=AF+BM． 9．（2023·北京朝阳·二模）在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F． （1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP=60°时，求证：DE+CE=DF； （2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析；（2）图见解析，，证明见解析 【分析】（1）设，由旋转的性质可得，可证得是等边三角形，得出，通过解直角三角形求得，CE=，由勾股定理得DE=，即可得出结论； （2）根据要求画出图形，作DH⊥AP交BC于点H，通过等量代换得到∠AFD =∠DHC，由AAS可证得，可得DF=CH，由三线合一可证得∠ADH=∠EDH，再通过平行线的性质和等量代换得到∠EDH=∠EHD，证得ED=EH，即可得出结论． 【详解】（1）证明：设， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=a，， ∵DA=DP，∠ADP=60°， ∴是等边三角形． ∴， ∴在中， ， 在中， ∵ ， ∴， ， ∵， ∴． （2）依题意补全图形，如图所示． ． 证明：作DH⊥AP交BC于点H． ∵DH⊥AF， ∴∠HDC+∠AFD=90°． ∵∠HDC+∠DHC=90°， ∴∠AFD =∠DHC． ∵AD=DC，∠ADF=∠DCH=90°， ∴． ∴DF=CH． ∵DA=DP，DH⊥AF， ∴∠ADH=∠EDH． ∵AD//BC， ∴∠ADH=∠EHD． ∴∠EDH=∠EHD． ∴．   ∵EH-EC=CH， ∴． 10．（2023·北京丰台·一模）在正方形中，点O为对角线的中点，点E在对角线上，连接，点F在直线上（点F与点D不重合），且． (1)如图1，当点E在线段上（不与端点重合）时． ①求证：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； (2)如图2，当点E在线段上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段，，的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析； (2)图见解析，． 【分析】（1）连接，证明，，可得，，，从而可得答案；②过点E作交于点G，证明，，再证明，可得 ，从而可得结论； （2）先补全图形，过点E作于N，交于M，证明，可得，由线段的和差关系可求解． 【详解】（1）①证明：连接． 四边形是正方形 ，． 点E在对角线上 ， ． ，． ， ． ． ②； 证明：过点E作交于点G． ， ． ，， ， ， ，， ， ． ． （2）补全图形如下： 如图2，过点E作于N，交于M， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 即． 题型三 最值问题 11．（2024·北京·模拟预测）已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的角平分线所在直线与直线相交于点．过点作直线的垂线，垂足为点． (1)当为锐角时，依题意补全图形，并直接写出的度数； (2)在（1）的条件下，写出线段和之间的数量关系，并证明； (3)设直线与直线相交于点，若，直接写出线段长的最大值和最小值． 【答案】(1)补全图形如图所示， (2)，证明见解析 (3)线段长的最大值为，最小值为 【分析】（1）依题意补全图形，连接，以为半径为圆心作，根据圆周角定理即可求解； （2）过点作于点，连接，设交于点，证明，得出，，得出，进而得出，即可得证； （3）以为斜边在右侧作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接，根据（1）的结论得出在上运动，过点作交延长线于点，则，进而勾股定理求得，根据点到圆上的距离，进而即可求解． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示， 连接，以为半径为圆心作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ （2）， 证明：如图所示，过点作于点，连接，设交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴ ∴； ∵平分，又， ∴ 又（1）可得， ∴ ∴，又，则是等腰直角三角形， ∴， 又∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, 即 （3）解：如图所示， 以为斜边在右侧作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，连接， ∵， ∴， ∴在上运动， ∵，则的半径， 如图所示，过点作交延长线于点，则 ∴ ∴ ∴线段长的最大值为，最小值为 12．（2023·北京石景山·一模）如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段EF，DF，BE之间的数量关系，并证明； （3）连接CE，若AB＝2，请直接写出线段CE长度的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）EF＝DF+BE，证明见解析；（3）CE的最小值为． 【分析】（1）依题意补全图形； （2）过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M，可证四边形AEFM是矩形，由“AAS”可证△AEB≌△AMD，可得BE＝DM，AE＝AM，可证矩形AEFM是正方形，可得EF＝MF，可得结论； （3）取AB中点O，连接OC，由勾股定理可求OC＝5，由点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，可得当点E在OC上时，CE有最小值，即可求解． 【详解】解：（1）依题意补全图形，如图， （2）线段EF，DF，BE的数量关系为：EF＝DF+BE， 理由如下：如图，过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M， ∵∠M＝∠F＝∠AEF＝90°， ∴四边形AEFM是矩形， ∴∠DAE+∠MAD＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAE+∠DAE＝90°，AB＝AD， ∴∠BAE＝∠MAD． 又∵∠AEB＝∠M＝90°， ∴△AEB≌△AMD（AAS） ∴BE＝DM，AE＝AM， ∴矩形AEFM是正方形， ∴EF＝MF， ∵MF＝DF+DM， ∴EF＝DF+BE； （3）如图，取AB中点O，连接OC， ∵AB＝2 ∴OB＝， ∴OC＝＝5， ∵∠AEB＝90°， ∴点E在以O为圆心，OB为半径的圆上， ∴当点E在OC上时，CE有最小值， ∴CE的最小值为． 13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F． （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM； （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）S=t2-t+，S的最小值为2． 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，又由∠EQP=∠FMN，而证得； （2）分为两种情况：①当E在AP上时，由点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面积S，由t范围得到S的最小值；②当E在BP上时，同法可求S的最小值． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB， ∵QE⊥AB，MF⊥BC， ∴∠AEQ=∠MFB=90°， ∴四边形ABFM、AEQD都是矩形， ∴MF=AB，QE=AD，MF⊥QE， 又∵PQ⊥MN， ∴∠1+∠EQP=90°，∠2+∠FMN=90°， ∵∠1=∠2， ∴∠EQP=∠FMN， 又∵∠QEP=∠MFN=90°， ∴△PEQ≌△NFM； （2）分为两种情况：①当E在AP上时， ∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t， ∴PA=1，PE=1-t，QE=2， 由勾股定理，得PQ=， ∵△PEQ≌△NFM， ∴MN=PQ=， 又∵PQ⊥MN， ∴S=t2-t+， ∵0≤t≤2， ∴当t=1时，S最小值=2． ②当E在BP上时， ∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t， ∴PA=1，PE=t-1，QE=2， 由勾股定理，得PQ=， ∵△PEQ≌△NFM， ∴MN=PQ=， 又∵PQ⊥MN， ∴S=t2-t+， ∵0≤t≤2， ∴当t=1时，S最小值=2． 综上：S=t2-t+，S的最小值为2． 14．（2023·北京海淀·三模）如图1，P是正方形边上一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点F，连接．    (1)补全图形，求的大小； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)连接，G是的中点，，若点P从点B运动到点C，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）补全图形如图1，由线段与关于直线对称，可知，，则，，根据，计算求解即可； （2）如图2，连接，，连接交于，由对称的性质可得，，，，则 ，，是等腰直角三角形，，，，由，证明，则，计算求解即可； （3）如图3，连接，，交点为，则，，是的中位线，，由题意知，在以为圆心，以2为半径的的圆上运动，则在以为圆心，以1为半径的的圆上运动，如图3，当三点共线时，最大， 根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图1，    ∵线段与关于直线对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为； （2）解：，证明如下： 如图2，连接，，连接交于，    由对称的性质可得，，，， ∴ ，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：如图3，连接，，交点为，    由正方形的性质可得，，为的中点， ∴，， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意知，在以为圆心，以2为半径的的圆上运动， ∴在以为圆心，以1为半径的的圆上运动，如图3， ∴当三点共线时，最大， ∴， ∴最大值为． 15．（2024·北京大兴·二模）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点（不与点B，C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为，连接并延长交直线DE于点P，过点D作DFAP于F． （1）求∠FDP的度数； （2）连接BP，请用等式表示线段BP与线段AF之间的数量关系，并证明． （3）连接PC，若正方形的边长为，直接写出面积的最大值． 【答案】（1）45°；（2）BP=AF，理由见解析；（3） 【分析】（1）证明∠CDE=∠C'DE和∠ADF=∠C'DF，可得∠FDP'=∠ADC=45°； （2）作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP=DP'，可得DP+BP=PP'=AP，继而推出BP=AF； （3）作正方形的外接圆，圆心为O，说明点P在圆O上，根据BC不变可得当点P距离BC最大时，△BPC的面积最大，连接OP，与BC交于点Q，求出PQ的长即可得到结果． 【详解】解：（1）由对称得：CD=C'D=AD，∠CDE=∠C'DE， 在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°， ∴AD=C'D， ∵DFAP， ∴∠ADF=∠C'DF， ∴∠FDP=∠FDC'+∠EDC'=∠ADC=45°； （2）结论：BP=AF， 理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'， ∴∠PAP'=90°， 在正方形ABCD中，DA=BA，∠BAD=90°， ∴∠DAP'=∠BAP， 由（1）可知：∠FDP=45° ∵∠DFP=90° ∴∠APD=45°， ∴∠P'=45°， ∴AP=AP'，DP=PF， 在△BAP和△DAP'中， ， ∴△BAP≌△DAP'（SAS）， ∴BP=DP'， ∴DP+BP=PP'=AP， ∴DP+BP=PF +BP=AP， ∴BP=（AP-PF）=AF； （3）作正方形的外接圆，圆心为O， 由（2）得：∠APD=45°，又∠AOD=90°， ∴点P在圆O上， 在△BPC中，BC=， ∴当点P距离BC最大时，△BPC的面积最大， 连接OP，与BC交于点Q， 则当点P位于弧BC的中点时，点P到BC的距离PQ为最大值， ∵OC=AC=×=1， ∴OP=OC=1， 而OQ==， ∴PQ=OP-OQ=1-， 此时△BPC的面积==． 题型四 相似三角形与几何证明 16．（2024·北京平谷·二模）如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接．       (1)依题意补全图形； (2)猜想的度数（用含α的式子表示），并证明． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、三角形中位线定理及三角函数的应用， （1）根据题意补全图形即可； （2）连接，过M作于点H，先证明，再证明得出，证明得出，通过三角函数证明． 【详解】（1）补全图形如下： （2）， 证明：连接， 过M作于点H， 在中，，F为中点， ∴， 在中，，G为中点， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点F为中点，M为中点， ，   ∵点G为中点，M为中点， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 17．（2024·北京·模拟预测）已知，在中，，，点为边上一动点，连接，过点作的垂线交的延长线于点． (1)如图1，过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当点恰为的中点时，为上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转交射线于点．若，且点在运动的过程中始终满足．请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意画出图形即可； ②由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由相似三角形的性质可求，的长，分两种情况讨论，由线段的和差关系可求解． 【详解】（1）解：①如图所示： ②，理由如下： 如图，延长，交于点， ， 点，点，点，点四点共圆， ， 又，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）解：，点是的中点， ， ， ，， ， ， ， ，， 如图2，当点在点上方时， 将射线绕点逆时针旋转交射线于点． ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在点下方时， 同理可证， ， ， ， ， 恒成立， 综上所述：当点在线段上时，恒成立， ， 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 18．（2024·北京西城·模拟预测）在中，，点为平面内一点． (1)如图1，若点在线段上，且，求； (2)如图2，若点为内部一点，且，连接，点为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)若点D满足，当时，请直接写出的最值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)最小值为 【分析】（1）过点作交的延长线于点，证明，根据平行线分线段成比例得出，进而根据勾股定理可得，进而根据正切的定义，即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，延长至，使得，连接，证明，，根据勾股定理以及全等三角形的性质，即可得出结论； （3）以为斜边向下作等腰直角三角形，，以为圆心，为半径作圆，是优弧上的一点，根据题意得出在上，当在上时取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 又 ∴ ∵在中，， ∴ ∴，设，则， ∴， ∴ （2）如图所示，过点作，交的延长线于点，延长至，使得，连接， ∵ ∴ ， 是等腰三角形， ，， 点为中点， ， 在和中， ， ，， ， 设，则，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∵ ∴． （3）解：如图所示，以为斜边向下作等腰直角三角形，， 以为圆心，为半径作圆，是优弧上的一点， ∴ ∵ ∴在上， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴, ∴当在上时取得最小值，最小值为． 19．四边形和四边形都是正方形． (1)如图1，当点F在上时，点E，G分别在上．求证：； (2)如图2，将图1中的正方形绕点B顺时针旋转（旋转角小于），连接，判断与的数量关系，并写出证明过程； (3)如图3，当（2）中的正方形旋转到点F落在线段上时，连接．若点F是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）延长交于H，证明四边形是矩形，得出，由可得结论； （2）证明可得结论； （3）由勾股定理求出，再证明和可得结论 【详解】（1）解：证明：如图1，延长交于H． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴．     ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． （2）解：． 证明如下：∵四边形和四边形都是正方形， ∴． ∴，即． 又，． ∴． ∴． ∴． （3）解：如图3，连接． ∵四边形是正方形，点F是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． 由（2）知， ∴． ∴． ∴，． ∴． 又∵， ∴， ∴． 20．（2023·北京海淀·三模）等边中，、、分别是、、上的点，若．    (1)求的度数； (2)若是的中点，连接并延长交于点，补全图形并探究与之间的数量关系； (3)若，过作交于点交于点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)补全图形见解析， (3) 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴, ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的度数为； （2），理由如下： 连接并延长交于点，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图，    ∴，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴, ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作交于点交于点，取的中点N，连接,连接并延长交于点M，如图，    ∵是等边三角形，， ∴ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， 即的长为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押10 几何证明压轴题 猜押考点 3年北京真题 考情分析 押题依据 几何证明压轴 2022年第27题2023年第27题 2024年第27题 北京中考几何证明压轴题在2022年至2024年间呈现出多样化和高阶化的趋势。学生需要扎实掌握基础几何知识，并通过多种解法训练提升逻辑推理能力和空间想象能力。同时，教师应注重教学方法的创新，帮助学生应对几何证明题的挑战。 北京中考几何证明压轴题在2022年至2024年间呈现出多样化和高阶化的趋势。学生需要扎实掌握基础几何知识，并通过多种解法训练提升逻辑推理能力和空间想象能力。同时，教师应注重教学方法的创新，帮助学生应对几何证明题的挑战。 题型一 探求两条线段的数量关系 1．（2025·北京·一模）在中，，，于点D．点M，N分别是，上的动点，且满足．连接，交于点E，过点M作，交于点F，垂足为H． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 2．（22-23九年级下·北京西城·二模）已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的角平分线所在直线与直线相交于点．过点作直线的垂线，垂足为点． (1)当为锐角时，依题意补全图形，并直接写出的度数； (2)在（1）的条件下，写出线段和之间的数量关系，并证明； (3)设直线与直线相交于点，若，直接写出线段长的最大值和最小值． 3．（2023·北京昌平·二模）在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG． （1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明； （2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长． 4．（2024·北京石景山·一模）如图，在等边中，D为边AC的延长线上一点（），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G． （1）依题意补全图形； （2）求证：； （3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明． 5．（2023·北京西城·二模）如图，正方形 ABCD 中，P 是 BA 延长线上一点，且PDA （0 45）.点 A，点 E 关于 DP 对称，连接 ED，EP ，并延长 EP 交射线CB 于点 F ，连接 DF . （1）请按照题目要求补全图形. （2）求证：∠EDF=∠CDF （3）求∠EDF(含有 的式子表示)； （4）过 P 作PH⊥DP交 DF 于点 H ，连接 BH ， 猜想 AP 与 BH 的数量关系并加以证明.    题型二 探求三条线段的数量关系 6．（2023·北京海淀·模拟预测）如图，，，过点C作直线，点D，E是直线上的动点（D在E的右侧）且满足，连接，的平分线与射线交于点F，与射线交于点G． (1)如图1，当点C在线段上，且时，若，求线段的长； (2)如图2，当点D在点C左侧时， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 7．（2022·北京海淀·一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作交CD边于点Q． (1)求证：； (2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明； (3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为 （直接写出答案）． 8．（2024·北京·一模）已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，位置如图所示，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．   ①依据题意补全图形； ②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明． 9．（2023·北京朝阳·二模）在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F． （1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP=60°时，求证：DE+CE=DF； （2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明． 10．（2023·北京丰台·一模）在正方形中，点O为对角线的中点，点E在对角线上，连接，点F在直线上（点F与点D不重合），且． (1)如图1，当点E在线段上（不与端点重合）时． ①求证：； ②用等式表示线段，，的数量关系并证明； (2)如图2，当点E在线段上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段，，的数量关系． 题型三 最值问题 11．（2024·北京·模拟预测）已知正方形，将边绕点顺时针旋转至线段，的角平分线所在直线与直线相交于点．过点作直线的垂线，垂足为点． (1)当为锐角时，依题意补全图形，并直接写出的度数； (2)在（1）的条件下，写出线段和之间的数量关系，并证明； (3)设直线与直线相交于点，若，直接写出线段长的最大值和最小值． 12．（2023·北京石景山·一模）如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段EF，DF，BE之间的数量关系，并证明； （3）连接CE，若AB＝2，请直接写出线段CE长度的最小值． 13．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F． （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM； （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值． 14．（2023·北京海淀·三模）如图1，P是正方形边上一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点F，连接．    (1)补全图形，求的大小； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (3)连接，G是的中点，，若点P从点B运动到点C，直接写出的最大值． 15．（2024·北京大兴·二模）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点（不与点B，C重合），连接DE，点C关于直线DE的对称点为，连接并延长交直线DE于点P，过点D作DFAP于F． （1）求∠FDP的度数； （2）连接BP，请用等式表示线段BP与线段AF之间的数量关系，并证明． （3）连接PC，若正方形的边长为，直接写出面积的最大值． 题型四 相似三角形与几何证明 16．（2024·北京平谷·二模）如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接．       (1)依题意补全图形； (2)猜想的度数（用含α的式子表示），并证明． 17．（2024·北京·模拟预测）已知，在中，，，点为边上一动点，连接，过点作的垂线交的延长线于点． (1)如图1，过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当点恰为的中点时，为上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转交射线于点．若，且点在运动的过程中始终满足．请直接写出的取值范围______． 18．（2024·北京西城·模拟预测）在中，，点为平面内一点． (1)如图1，若点在线段上，且，求； (2)如图2，若点为内部一点，且，连接，点为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； (3)若点D满足，当时，请直接写出的最值． 19．四边形和四边形都是正方形． (1)如图1，当点F在上时，点E，G分别在上．求证：； (2)如图2，将图1中的正方形绕点B顺时针旋转（旋转角小于），连接，判断与的数量关系，并写出证明过程； (3)如图3，当（2）中的正方形旋转到点F落在线段上时，连接．若点F是的中点，，求的长． 20．（2023·北京海淀·三模）等边中，、、分别是、、上的点，若．    (1)求的度数； (2)若是的中点，连接并延长交于点，补全图形并探究与之间的数量关系； (3)若，过作交于点交于点，请直接写出的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$