专题04 二次根式的综合题型（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

**基本信息** 以“四大核心解法+分层题型”构建二次根式综合突破体系，通过题型模版提炼可迁移方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心框架|聚焦“配方开方、有理化因式”等四大核心，明确双重根号化简与新定义问题底线原则|从概念本质出发，构建二次根式运算的底层逻辑| |题型归纳|4题型+12变式|复合根式化简（配方法四类型）、新定义问题（概念转化与整体代换）、分母有理化（五类技巧）、规律探究（四维度归纳）|按“基础化简→概念应用→运算深化→规律建模”递进，题型与方法一一对应| |压轴挑战|18道综合题|融合跨模块知识，强化复杂情境下的运算能力与创新意识|通过高难问题突破思维上限，衔接中考压轴命题趋势|

专题04 二次根式的综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、复杂的复合二次根式化简 类型二、二次根式运算中的新定义型问题 类型三、二次根式中的分母有理化 类型四、二次根式运算中的规律探究问题 —攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次根式综合问题是初中数学代数板块的核心重难点，所有题型均围绕“配方开方、有理化因式、归纳猜想、恒等变形”四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是复合根式化简必须精准凑配完全平方式以消去嵌套根号，二是新定义与规律探究必须严格遵循“特殊到一般”的逻辑并代入验证。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、复杂的复合二次根式化简 典例1 利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 题型模版 一、配凑完全平方式型（基础双重根号） 题型特征：给出形如 的复合二次根式，要求将其化简为单层根式（如 ）。 解题技巧： 寻找“和积”两数：在根号内寻找两个正数 和 ，使得 且 。 构造完全平方：将原式变形为 的形式。 开方去根号：利用 的性质去掉外层根号，并根据 与 的大小关系判断最终结果的正负。 二、系数变形与转化型（奇数系数处理） 题型特征：给出形如 的复合二次根式，其中中间项的系数 为奇数（如 ），无法直接套用基础公式。 解题技巧： 系数移入根号：将根号外的奇数系数 平方后移入根号内，转化为 2\sqrt{\dots} 的形式（如 ）。 通分与提取：若移入根号后出现分数，可提取公因式（如提取 或 ）到根号外，使根号内变为整数。 按基础法化简：对根号内化简后的整数部分，继续按照“寻找和积两数”的方法进行配方开方。 三、分母含复合二次根式型（综合有理化） 题型特征：分式的分母为复合二次根式（如 ），要求化简该分式。 解题技巧： 先化简分母：观察分母中的复合二次根式，看是否能先通过配方法将其化简为单层根式的和差。 分组有理化：若分母包含三项，可将其中两项分为一组视为整体，先乘以这两项的共轭式进行第一步有理化。 二次有理化：第一步化简后，分母通常会变成简单的两项根式，再乘以新的共轭式完成彻底有理化。 四、代数式整体代换与降次型 题型特征：已知一个复杂的复合二次根式的值（如 或 ），要求计算含有 的高次多项式代数式的值。 解题技巧： 先化简已知条件：若已知条件本身是复合二次根式，先将其化简为单层根式之和。 构造对称式/降次：将已知条件移项后两边平方，构造出 这样的降次等式，或求出 、 等整体对称式的值。 整体代入：将目标高次多项式通过多项式除法或拆项，转化为包含降次等式的形式，直接代入求值，避免繁琐的无理数乘法。 变式1-1化简 (1)； (2)； (3)． 变式1-2阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 变式1-3 阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 类型二、二次根式运算中的新定义型问题 典例2 我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组“完美方根数对”．如上面是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①是“完美方根数对”； ②数对不可能是“完美方根数对”； ③若，且是“完美方根数对”，则满足条件的共有30组；其中正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 题型模版 一、新运算符号与二次根式结合型 题型特征：题目引入一种全新的运算符号（如 、 ），并给出包含二次根式的代数法则（如 ），要求代入具体数值计算或解方程。 解题技巧： 精准翻译：严格按照新定义的规则，将新运算符号转化为常规的二次根式运算式。 注意隐含条件：新定义中若包含二次根式，必须首先保证被开方数非负（即 ），这是解题的潜在门槛。 规范运算：转化为常规二次根式后，按照先乘方、后开方、再乘除的顺序进行计算，结果需化为最简二次根式。 二、新概念（如“对偶式”、“共轭根式”）型 题型特征：给出一个与二次根式相关的新概念名词（如“对偶式”、“共轭二次根式”、“和积等数对”），并给出其成立的代数条件或等式，要求进行化简或求值。 解题技巧： 理解概念本质：这类新概念通常基于平方差公式 。理解其核心目的是“去根号”或“构造有理数”。 整体代换：若题目给出 和 ，要求 的值，直接利用 整体代入，避免解出 和 的具体值。 分母有理化应用：遇到求倒数或分式化简，直接利用新定义的“对偶式”相乘进行分母有理化。 三、双重根号化简（配方法）新定义型 题型特征：定义一种特殊的化简方法（如“L运算”、“X运算”），要求将形如 的双重二次根式化简为 的形式。 解题技巧： 寻找“和积”两数：在根号内寻找两个正数 和 ，使得 且 。 构造完全平方：将原式变形为 。 开方去根号：利用 的性质去掉外层根号，根据 和 的大小关系判断最终结果的正负。 四、新定义与分母有理化综合型 题型特征：定义一种新的分式运算规则（如规定 的“有理化结果”为 ），要求进行连加、连乘或求特定代数式的值。 解题技巧： 先化简后运算：先根据新定义对每一项进行分母有理化，将其转化为 的形式。 裂项相消：将化简后的式子相加，中间的项会依次相互抵消，最终结果通常只保留首尾两项。 提取公因式：若连乘式中包含新定义的有理化因式，优先寻找互为共轭的因式相乘，利用平方差公式逐层化简。 变式2-1定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 变式2-2阅读下列材料： 材料：若无理数的被开方数满足（其中、均为正整数）， 则称无理数的“整数区间”为； 同理：无理数的“整数区间”为． 例：若，则， 则的“整数区间”为，的“整数区间”为． 材料：若（是整式）有意义，则且． 解决问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，无理数的“整数区间”是，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求无理数的“整数区间”． 变式2-3定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 类型三、二次根式中的分母有理化 典例3 计算： (1)； (2) ． 题型模版 一、分母为单项二次根式型 题型特征：分式中分母仅包含一个二次根式（如 或 ），不含加减运算。 解题技巧： 同乘根式：根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以分母中的那个根式（如 ）。 利用性质化简：利用 将分母化为有理数。 保留常数：若分母原本带有系数（如 ），同乘 后分母变为 ，注意不要遗漏常数项。 二、分母为两项根式和差型（共轭根式） 题型特征：分母形如 或 ，即含有两个根式的和或差。 解题技巧： 寻找共轭式：利用平方差公式 ，找出分母的有理化因式（即改变中间符号的共轭式，如 的共轭式为 ）。 分子分母同乘：将分子、分母同时乘以该共轭式。 分母化简：分母利用平方差公式化为 或 的有理数形式，分子则按多项式乘法展开。 三、分母为多项根式型（分组或凑平方） 题型特征：分母包含三项或以上的二次根式（如 ），直接找共轭式较为困难。 解题技巧： 分组法：将分母中的两项分为一组，视为一个整体，先乘以这两项的共轭式进行第一步有理化，再处理剩余根式。 凑完全平方：观察分母各项之间是否存在倍数或比例关系，尝试将其凑成 的形式，开方后再进行有理化。 四、因式分解约分型（先约分后有理化） 题型特征：分子与分母虽然含有根式，但存在隐藏的公因式，直接有理化会导致计算量极大。 解题技巧： 提取公因式：先对分子或分母进行因式分解，提取出公共的根式因子（如分母 可提取 ）。 约分化简：将分子分母的公因式约去，使原式大幅简化。 常规有理化：对约分后剩余的简单分式，再按照单项或两项根式的方法进行分母有理化。 五、巧用通分与整体代换型 题型特征：题目给出复杂的连加、连减或互为倒数的分式求值（如 ）。 解题技巧： 先有理化后通分：不要急于通分，先对每个单独的分式进行分母有理化，将其转化为简单的根式差或和。 合并同类项：有理化后，原式通常会变成极易合并的同类二次根式。 整体代入：若题目给出 的条件，先求 的倒数或有理化形式，再整体代入目标代数式中计算。 变式3-1先化简，再求值：，其中． 变式3-2阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 变式3-3 已知：，则的值是________． 类型四、二次根式运算中的规律探究问题 典例4 小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则________． 题型模版 一、根号内外联动变形型 题型特征：给出一组等式，呈现根号外的整数与根号内的分数存在某种固定的对应关系（如 或 ），要求写出第 个等式并证明。 解题技巧： 观察内外联系：分别观察根号外的系数和根号内的分子、分母随序号 的变化规律。 通分与乘方：利用二次根式的性质，将根号外的系数平方后移入根号内，或者将根号内的分数通分后尝试将分子或分母开出根号外。 代数化表示：将具体的数字替换为 ，写出一般性的代数等式，并通过二次根式的乘除法法则进行严谨证明。 二、分母有理化与裂项相消型 题型特征：给出一组带有根号的分式（如 ），要求计算它们的连加或连乘结果。 解题技巧： 分子分母同乘共轭式：利用平方差公式 ，将分母中的根号消去，完成分母有理化。 转化为差的形式：有理化后，原式通常会变成两个相邻根式相减的形式（如 ）。 正负抵消：将多个式子相加时，中间的项会依次相互抵消，最终结果通常只保留首尾两项。 三、双重根号化简（配方法）型 题型特征：给出形如 的式子，要求探究其化简规律或直接化简。 解题技巧： 寻找“和积”两数：在根号内寻找两个正数 和 ，使得 且 。 转化为完全平方：将原式变形为 的形式。 开方去根号：利用 的性质，去掉外层根号，注意根据 和 的大小关系判断最终结果的正负。 四、数列排列与周期循环型 题型特征：将一系列二次根式（如 或带有正负号的根式）按特定规律排成一列或排成数表，要求求第 个数或前 项的和。 解题技巧： 提取公共部分：先提取出所有项的公共根式（如都含有 ），将问题转化为普通数字的规律探究。 找周期与余数：若符号或数值呈现周期性变化，先确定一个完整周期的长度，用目标序号除以周期长度，根据余数定位。 分组求和：若一个完整周期内的各项之和为 或某个定值，可利用分组法快速求出前 项的总和。 五、特殊乘积与整体代换型 题型特征：给出包含复杂二次根式的代数式求值问题（如已知 ，求 的值），或探究连续乘积的规律。 解题技巧： 构造对称式：将已知条件变形（如移项后两边平方），构造出 或 等整体代数式。 整体代入：避免将带根号的值直接代入展开，而是将变形后的整体结果直接代入目标代数式中，大幅降低计算量。 平方差妙用：若遇到连乘形式（如 ），优先寻找互为共轭的因式相乘，利用平方差公式逐层化简。 变式4-1观察下列式子的规律，用字母表示这一规律，并给出证明． ；；． 变式4-2观察下列等式，完成下列任务： ①②③④ (1)写出第⑥个等式：______． (2)用字母（为正整数）表示出第个等式，并加以证明． (3)运用上述规律，化简：＝______． 变式4-3 观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______； (2)用含的式子表示出第个等式：_______； (3)计算：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，，…，每次操作增加的项，都是上一次操作得到的最末项减去前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是0； ②第7次操作后得到的二次根式串中，不相同的二次根式有9个； ③第2026次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称这种形式的式子为根分式，例如、都是根分式． 已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在整数，使得； ③存在无数个无理数，使得是一个整数． 其中错误的个数是（     ）． A．0 B．1 C．2 D．3 4．对于任意非负实数，若定义新运算则下列说法： ①；②；③；④若，则的取值范围为．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．一个四位数，若千位数字与十位数字之和为，百位数字与个位数字之和也为，则称为“双数”．将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到的逆序数，并记．若是最大的“双数”则________；若是“双数”，且为整数，则满足条件的的最大值为________． 6．如图，它是一个按某种规律排列的数阵．根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）_________． 7．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 8．化简______． 9．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 10．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 11．若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 12．定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 13．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 根据以上规律，解决下列问题： (1)第2026个等式是__________； (2)请写出第个等式（用含的式子表示），并证明其正确性． 14．先化简，再求值：，其中． 15．在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 16．在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． (1)比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： (2)化简二次根式： (3)若，解方程． 17．计算：所有满足方程的整数解之和． 18．阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次根式的综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、复杂的复合二次根式化简 类型二、二次根式运算中的新定义型问题 类型三、二次根式中的分母有理化 类型四、二次根式运算中的规律探究问题 —攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 二次根式综合问题是初中数学代数板块的核心重难点，所有题型均围绕“配方开方、有理化因式、归纳猜想、恒等变形”四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是复合根式化简必须精准凑配完全平方式以消去嵌套根号，二是新定义与规律探究必须严格遵循“特殊到一般”的逻辑并代入验证。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、复杂的复合二次根式化简 典例1 利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【答案】 【分析】根据，求解即可 【详解】解：， 原式 题型模版 一、配凑完全平方式型（基础双重根号） 题型特征：给出形如 的复合二次根式，要求将其化简为单层根式（如 ）。 解题技巧： 寻找“和积”两数：在根号内寻找两个正数 和 ，使得 且 。 构造完全平方：将原式变形为 的形式。 开方去根号：利用 的性质去掉外层根号，并根据 与 的大小关系判断最终结果的正负。 二、系数变形与转化型（奇数系数处理） 题型特征：给出形如 的复合二次根式，其中中间项的系数 为奇数（如 ），无法直接套用基础公式。 解题技巧： 系数移入根号：将根号外的奇数系数 平方后移入根号内，转化为 2\sqrt{\dots} 的形式（如 ）。 通分与提取：若移入根号后出现分数，可提取公因式（如提取 或 ）到根号外，使根号内变为整数。 按基础法化简：对根号内化简后的整数部分，继续按照“寻找和积两数”的方法进行配方开方。 三、分母含复合二次根式型（综合有理化） 题型特征：分式的分母为复合二次根式（如 ），要求化简该分式。 解题技巧： 先化简分母：观察分母中的复合二次根式，看是否能先通过配方法将其化简为单层根式的和差。 分组有理化：若分母包含三项，可将其中两项分为一组视为整体，先乘以这两项的共轭式进行第一步有理化。 二次有理化：第一步化简后，分母通常会变成简单的两项根式，再乘以新的共轭式完成彻底有理化。 四、代数式整体代换与降次型 题型特征：已知一个复杂的复合二次根式的值（如 或 ），要求计算含有 的高次多项式代数式的值。 解题技巧： 先化简已知条件：若已知条件本身是复合二次根式，先将其化简为单层根式之和。 构造对称式/降次：将已知条件移项后两边平方，构造出 这样的降次等式，或求出 、 等整体对称式的值。 整体代入：将目标高次多项式通过多项式除法或拆项，转化为包含降次等式的形式，直接代入求值，避免繁琐的无理数乘法。 变式1-1化简 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （2）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （3）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式1-2阅读与思考 【阅读理解】数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号． 例题： 【解决问题】 (1)仿照例题补充完整： ___________________________=_________=_________; (2)根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【答案】(1)，, (2)①；② 【分析】主要利用完全平方公式将被开方数变形，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：①原式 ； ②原式 ． 变式1-3 阅读与思考： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使得，， 这样，， 那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，， ． 仿照上面的例题，解决下列问题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，根据，结合例题化简二次根式即可； （2）把所求式子变形为，令，根据结合例题化简二次根式即可． 【详解】（1）解：令， ∵，，， ∴； （2）解：， 令， ∵，，， ∴． 类型二、二次根式运算中的新定义型问题 典例2 我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组“完美方根数对”．如上面是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①是“完美方根数对”； ②数对不可能是“完美方根数对”； ③若，且是“完美方根数对”，则满足条件的共有30组；其中正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】先根据“完美方根数对”的定义推导得出正整数满足，再逐一验证三个结论即可． 【详解】解：根据定义，若是“完美方根数对”，则（为正整数），两边平方得： ，即， ①验证： ，， 是“完美方根数对”，①正确； ②验证： 若是“完美方根数对”， 则，即， 该方程无正整数解，因此不可能是“完美方根数对”，②正确； ③若，是“完美方根数对”： ， ， 又是正整数， ，为正整数，得， ，， 可取，共组，③正确； 综上，三个结论都正确，正确结论个数为． 题型模版 一、新运算符号与二次根式结合型 题型特征：题目引入一种全新的运算符号（如 、 ），并给出包含二次根式的代数法则（如 ），要求代入具体数值计算或解方程。 解题技巧： 精准翻译：严格按照新定义的规则，将新运算符号转化为常规的二次根式运算式。 注意隐含条件：新定义中若包含二次根式，必须首先保证被开方数非负（即 ），这是解题的潜在门槛。 规范运算：转化为常规二次根式后，按照先乘方、后开方、再乘除的顺序进行计算，结果需化为最简二次根式。 二、新概念（如“对偶式”、“共轭根式”）型 题型特征：给出一个与二次根式相关的新概念名词（如“对偶式”、“共轭二次根式”、“和积等数对”），并给出其成立的代数条件或等式，要求进行化简或求值。 解题技巧： 理解概念本质：这类新概念通常基于平方差公式 。理解其核心目的是“去根号”或“构造有理数”。 整体代换：若题目给出 和 ，要求 的值，直接利用 整体代入，避免解出 和 的具体值。 分母有理化应用：遇到求倒数或分式化简，直接利用新定义的“对偶式”相乘进行分母有理化。 三、双重根号化简（配方法）新定义型 题型特征：定义一种特殊的化简方法（如“L运算”、“X运算”），要求将形如 的双重二次根式化简为 的形式。 解题技巧： 寻找“和积”两数：在根号内寻找两个正数 和 ，使得 且 。 构造完全平方：将原式变形为 。 开方去根号：利用 的性质去掉外层根号，根据 和 的大小关系判断最终结果的正负。 四、新定义与分母有理化综合型 题型特征：定义一种新的分式运算规则（如规定 的“有理化结果”为 ），要求进行连加、连乘或求特定代数式的值。 解题技巧： 先化简后运算：先根据新定义对每一项进行分母有理化，将其转化为 的形式。 裂项相消：将化简后的式子相加，中间的项会依次相互抵消，最终结果通常只保留首尾两项。 提取公因式：若连乘式中包含新定义的有理化因式，优先寻找互为共轭的因式相乘，利用平方差公式逐层化简。 变式2-1定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据“有理二次根式”的定义计算即可； （2）根据“有理二次根式”的定义得到，即可求解； （3）方法一：根据“有理二次根式”的定义得到，将左边展开后可得关于m，n的方程组，求解即可； 方法二：根据定义可得，结合m，n为整数即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：方法一：由题意得，即 ，为整数， ， 解得． 方法二：由题意得 ，为整数， ，． 变式2-2阅读下列材料： 材料：若无理数的被开方数满足（其中、均为正整数）， 则称无理数的“整数区间”为； 同理：无理数的“整数区间”为． 例：若，则， 则的“整数区间”为，的“整数区间”为． 材料：若（是整式）有意义，则且． 解决问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，无理数的“整数区间”是，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求无理数的“整数区间”． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】根据“整数区间”的定义求解即可； 先根据无理数和的“整数区间”求出的取值范围，再根据为正整数求出的值，进而根据“整数区间”的定义求解即可； 根据二次根式的性质可得，即得，进而得到，，再两式相加可得，即得到，最后根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的“整数区间”是； ∵， ∴， ∴的“整数区间”是； （2）解：∵无理数（为正整数）的“整数区间”为， ∴， ∴， ∴， ∵无理数的“整数区间”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ①②，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无理数的“整数区间”为． 变式2-3定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是； （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴． （3）解： ． 类型三、二次根式中的分母有理化 典例3 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 题型模版 一、分母为单项二次根式型 题型特征：分式中分母仅包含一个二次根式（如 或 ），不含加减运算。 解题技巧： 同乘根式：根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以分母中的那个根式（如 ）。 利用性质化简：利用 将分母化为有理数。 保留常数：若分母原本带有系数（如 ），同乘 后分母变为 ，注意不要遗漏常数项。 二、分母为两项根式和差型（共轭根式） 题型特征：分母形如 或 ，即含有两个根式的和或差。 解题技巧： 寻找共轭式：利用平方差公式 ，找出分母的有理化因式（即改变中间符号的共轭式，如 的共轭式为 ）。 分子分母同乘：将分子、分母同时乘以该共轭式。 分母化简：分母利用平方差公式化为 或 的有理数形式，分子则按多项式乘法展开。 三、分母为多项根式型（分组或凑平方） 题型特征：分母包含三项或以上的二次根式（如 ），直接找共轭式较为困难。 解题技巧： 分组法：将分母中的两项分为一组，视为一个整体，先乘以这两项的共轭式进行第一步有理化，再处理剩余根式。 凑完全平方：观察分母各项之间是否存在倍数或比例关系，尝试将其凑成 的形式，开方后再进行有理化。 四、因式分解约分型（先约分后有理化） 题型特征：分子与分母虽然含有根式，但存在隐藏的公因式，直接有理化会导致计算量极大。 解题技巧： 提取公因式：先对分子或分母进行因式分解，提取出公共的根式因子（如分母 可提取 ）。 约分化简：将分子分母的公因式约去，使原式大幅简化。 常规有理化：对约分后剩余的简单分式，再按照单项或两项根式的方法进行分母有理化。 五、巧用通分与整体代换型 题型特征：题目给出复杂的连加、连减或互为倒数的分式求值（如 ）。 解题技巧： 先有理化后通分：不要急于通分，先对每个单独的分式进行分母有理化，将其转化为简单的根式差或和。 合并同类项：有理化后，原式通常会变成极易合并的同类二次根式。 整体代入：若题目给出 的条件，先求 的倒数或有理化形式，再整体代入目标代数式中计算。 变式3-1先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ； 当时： 原式 ． 变式3-2阅读下面材料： ； ； ； 请解决下列问题： (1)求的值； (2)计算（为正整数）的值； (3)利用上面的解法，请计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】通过分母有理化去掉分母中的根号，结合平方差公式化简； 类比的方法，用含的式子推导通用化简结果； 利用的结论裂项，通过抵消中间项简化求和运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式3-3 已知：，则的值是________． 【答案】/ 【分析】先将分母有理化化简，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 类型四、二次根式运算中的规律探究问题 典例4 小言做数学题时，发现；；；；按此规律，若（a，b为正整数），则________． 【答案】 【分析】找出一系列等式的规律为（的正整数），再比较即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：（的正整数）， ，， ， 则． 题型模版 一、根号内外联动变形型 题型特征：给出一组等式，呈现根号外的整数与根号内的分数存在某种固定的对应关系（如 或 ），要求写出第 个等式并证明。 解题技巧： 观察内外联系：分别观察根号外的系数和根号内的分子、分母随序号 的变化规律。 通分与乘方：利用二次根式的性质，将根号外的系数平方后移入根号内，或者将根号内的分数通分后尝试将分子或分母开出根号外。 代数化表示：将具体的数字替换为 ，写出一般性的代数等式，并通过二次根式的乘除法法则进行严谨证明。 二、分母有理化与裂项相消型 题型特征：给出一组带有根号的分式（如 ），要求计算它们的连加或连乘结果。 解题技巧： 分子分母同乘共轭式：利用平方差公式 ，将分母中的根号消去，完成分母有理化。 转化为差的形式：有理化后，原式通常会变成两个相邻根式相减的形式（如 ）。 正负抵消：将多个式子相加时，中间的项会依次相互抵消，最终结果通常只保留首尾两项。 三、双重根号化简（配方法）型 题型特征：给出形如 的式子，要求探究其化简规律或直接化简。 解题技巧： 寻找“和积”两数：在根号内寻找两个正数 和 ，使得 且 。 转化为完全平方：将原式变形为 的形式。 开方去根号：利用 的性质，去掉外层根号，注意根据 和 的大小关系判断最终结果的正负。 四、数列排列与周期循环型 题型特征：将一系列二次根式（如 或带有正负号的根式）按特定规律排成一列或排成数表，要求求第 个数或前 项的和。 解题技巧： 提取公共部分：先提取出所有项的公共根式（如都含有 ），将问题转化为普通数字的规律探究。 找周期与余数：若符号或数值呈现周期性变化，先确定一个完整周期的长度，用目标序号除以周期长度，根据余数定位。 分组求和：若一个完整周期内的各项之和为 或某个定值，可利用分组法快速求出前 项的总和。 五、特殊乘积与整体代换型 题型特征：给出包含复杂二次根式的代数式求值问题（如已知 ，求 的值），或探究连续乘积的规律。 解题技巧： 构造对称式：将已知条件变形（如移项后两边平方），构造出 或 等整体代数式。 整体代入：避免将带根号的值直接代入展开，而是将变形后的整体结果直接代入目标代数式中，大幅降低计算量。 平方差妙用：若遇到连乘形式（如 ），优先寻找互为共轭的因式相乘，利用平方差公式逐层化简。 变式4-1观察下列式子的规律，用字母表示这一规律，并给出证明． ；；． 【答案】用字母（是正整数，）表示这一规律是： ， 证明： 【分析】先观察三个式子中整数部分、分数的分子、分数的分母与根号外系数的对应关系，确定各部分的变化规律，设整数部分为大于等于2的正整数，再结合二次根式的性质（）对左边式子变形，推导和右边式子的关系即可． 【详解】略． 变式4-2观察下列等式，完成下列任务： ①②③④ (1)写出第⑥个等式：______． (2)用字母（为正整数）表示出第个等式，并加以证明． (3)运用上述规律，化简：＝______． 【答案】(1) (2)； 证明： ； (3) 【分析】（1）观察规律写出等式即可； （2）利用二次根式的运算进行证明即可； （3）根据规律及二次根式的性质进行计算． 【详解】（1）解：根据规律可知第个等式为； （2）略 （3）解： ． 变式4-3 观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______； (2)用含的式子表示出第个等式：_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分数的分母变化规律即可解答； （2）根据分数的分母变化规律即可解答； （3）根据相邻两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：； （2）解：由上规律可得，第个等式为：； （3）解：原式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，，…，每次操作增加的项，都是上一次操作得到的最末项减去前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是0； ②第7次操作后得到的二次根式串中，不相同的二次根式有9个； ③第2026次操作后得到的二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先列出前几次操作的结果，计算每次操作后所有二次根式的和，找出周期规律，再逐一验证三个结论即可． 【详解】 第1次操作后：，，，和； 第2次操作后：，，，，和； 第3次操作后：，，，，，和； 第4次操作后：，，，，，，和； 第5次操作后加项为，和； 第6次操作后加项为，和； 第7次操作后加项为，和； 第8次操作后加项为，和； 第次操作后的和的周期为． 验证①：第4次操作后和为，故①正确； 验证②：第7次操作后二次根式串为，，，，，，，，，不相同的二次根式共个，故②错误； 验证③：， ，故③错误； 综上，正确的结论只有1个． 2．已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据无理数的性质，等式中整数与无理数的系数对应相等，逐项推导即可判断． 【详解】①，，若， ，整理得， 均为正整数，开方开不尽，是无理数， ，即 ，， ，可得， 故不存在正整数同时满足和，故①错误． ②若，，代入得，整理得， 左边是正整数乘无理数，结果为无理数，右边是正整数的和，结果为有理数， 无理数不等于有理数， 不存在满足条件的，故②错误． ③当时，，展开得， ， ， 是正整数， ，得，同理， ，不存在正整数满足等式，故③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为． 3．在除法运算中，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称这种形式的式子为根分式，例如、都是根分式． 已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在整数，使得； ③存在无数个无理数，使得是一个整数． 其中错误的个数是（     ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据二次根式、分式有意义的条件判断①，再通过分式化简、因式分解判断②和③，用到初中二次根式性质，完全平方公式，分式化简等知识点． 【详解】解：逐个判断三个说法： 判断① 要使根分式有意义，需满足被开方数非负，分母不为零， ∵ 对任意实数恒成立，只需满足分母，即， ∴ 的取值范围是，故①说法错误； 判断② 计算得， ∴ ， 令，得，且， 对分子因式分解得，代入得 ， 整理得，即，矛盾，方程无解， ∴ 不存在整数满足条件，故②说法错误； 判断③ ， ∵ ， ∴ ， 若是整数，则，为正整数， 整理得， 当为非完全平方正整数时，是无理数，为无理数，这样的有无数个，对应无数个无理数满足条件， ∴ ③说法正确， 综上，错误的说法共2个． 4．对于任意非负实数，若定义新运算则下列说法： ①；②；③；④若，则的取值范围为．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题为新定义题型，根据新运算的分段定义，逐个验证四个命题的正误，用到二次根式运算，分母有理化，裂项相消求和，绝对值化简和分类讨论思想，最后统计正确命题个数得到答案． 【详解】解：①计算： ，由定义得， ∴①正确； ②化简求和验证： 对任意正整数，， ， 则 左边 右边，左边右边， ∴②正确； ③当时，， 当时，， ，故③正确； ④解方程，分情况讨论： 情况1：，化简得，此时原式， 若，则，等式成立；若，则，解得，不在此区间，不成立， 情况2：，化简得，此时原式， 若，则，等式成立；若，则，解得，不在此区间，不成立， 综上，方程的解为或，与命题给出的不符，故④错误． 因此正确的命题共3个． 5．一个四位数，若千位数字与十位数字之和为，百位数字与个位数字之和也为，则称为“双数”．将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到的逆序数，并记．若是最大的“双数”则________；若是“双数”，且为整数，则满足条件的的最大值为________． 【答案】 【分析】根据“双数”的定义，先确定最大的“双数”，再代入计算，再设四位数的千位数字为，百位数字为，根据定义表示出，和，结合条件求的最大值． 【详解】解： 是最大的“双数”，“双数”的千位数字与十位数字之和为，百位数字与个位数字之和也为， 最大的“双数”千位数字和百位数字都为，十位数字和个位数字都为， ； 设的千位数字和百位数字分别为，， 是“双数”， 的十位数字和个位数字分别为，， ， 的逆序数， ， ， 为整数， 是完全平方数， 是的倍数， 由题意得，，，，， ，， ， 最大值为，即， ，为完全平方数， ∵在范围内的最大完全平方数为， ， 解得， 此时， 的最大值为； 故答案为：，． 6．如图，它是一个按某种规律排列的数阵．根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）_________． 【答案】 【分析】观察可知，数列是从1开始的连续的整数的算术平方根，且第的第个数为，即，进而求出第（是整数，且）行从左向右数第个数即可. 【详解】解：观察可知，数列是从1开始的连续的整数的算术平方根，且第行的第个数为，即， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数是. 7．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则 ，记，，…，，则 ________． 【答案】 【分析】利用分式的计算推出，即可求出的值． 【详解】∵， ∴， ， …… ， …… ， ∴， ∴． 8．化简______． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：原式 9．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是； （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴． （3）解： ． 11．若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据“相关代数式”的定义列式求解即可； （2）先根据“相关代数式”的定义列式，再结合，都是有理数，求解即可； （3）根据“相关代数式”的定义列式，再结合平方差公式，以及二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“相关代数式”， ， 则； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， ，， ， 则， 即， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：代数式与互为“相关代数式” ， 则， ，即， 则有，解得， 时二次根式有意义， ． 12．定义：若，是有理数，则称与是关于的“美好数”．例如：，则称与是关于1的“美好数”． (1)与________是关于2的“美好数”； (2)化简：； (3)若与是关于9的“美好数”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义，列式计算即可求解； （2）先分母有理化，再求和，即可求解； （3）根据新定义，求得的值，得出，再代入代数式求解即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于2的“美好数”； （2）解： ； （3）解：∵， ∴与是关于9的“美好数”， ∴， ∴， ∴ ． 13．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 根据以上规律，解决下列问题： (1)第2026个等式是__________； (2)请写出第个等式（用含的式子表示），并证明其正确性． 【答案】(1) (2)第个等式为： 证明：左边 ∴左边=右边 成立 【分析】（1）根据前4个等式的规律可得第2026个等式； （2）由（1）的规律可得第个等式为，再证明左边=右边即可． 【详解】（1）解：因为第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 故可得第2026个等式为； （2）略 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简的结果为，值为 【详解】解： ， 当时，原式． 15．在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子中的每一项分母有理化，再计算即可得到答案； （3）分母有理化得到，则可证明，把所求式子变形为，进一步可变形为，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）设n为正整数， 则 ， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 16．在处理形如的嵌套二次根式时，我们可以利用完全平方公式和二次根式的性质，将其化简为不含根号的形式，核心思路是：把根号内的式子配成完全平方式，再开方化简． (1)比如化简二次根式．可以将转化为的形式， 因为，，若，可得___________，___________， 再根据，则可得到化简： (2)化简二次根式： (3)若，解方程． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意将写成的形式，即可得出，的值； （2）将转化为的形式，即可化简； （3）将转化为的形式，转化为，化简，并解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ，． （2）解：． （3）解：， ， ． ∴原方程转化为，解得． 17．计算：所有满足方程的整数解之和． 【答案】84 【分析】考查完全平方公式，二次根式的性质，换元法，根据绝对值分类讨论． 先根据完全平方公式配方，再根据二次根式性质将式子转化为绝对值，运用换元法将方程转化为不含二次根式的方程，分情况讨论后，回代求解． 【详解】解：， ， 原方程可变形为：， ， ， 令， 则方程变形为：， （1）当时，，得，与矛盾，舍去； （2）当时，，得，等式恒成立，此时； （3）当时，，得，与矛盾，舍去； 由，， 得：， 两边平方得，， 解得，， 整数解之和：． 18．阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 【答案】 【分析】仿照文中的示例解答即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握配方法化简是解题的关键． 【详解】解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $