四川省江油中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

试卷第 1页，共 4页 四川省江油中学 2023 级高二下期第一次阶段考试 数学试题 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个 选项中，仅有一项是符合题目要求的． 1．若数列{ }na 的前 5项为 1 1 1 1 1, , , , 3 5 7 9 11 ，则它的一个通项公式为（ ） A． 1 3 1n  B． 1 3n C． 1 2 1n  D． 1 2 1n 2．若 lim ∆x→0 f（2+∆x）−f（2） ∆x = 6，则  2f  （ ） A． 3 2 B．3 C．6 D．-3 3．等比数列{ }na 的前 5项的和 5 10S  ，前 10项的和 10 50S  ，则它的前 15项的和 15S =（ ） A．160 B．210 C．640 D．850 4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之 和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝ 一百寸）（ ）． A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸 5．记 nS 为数列 na 的前 n项和，设甲： na 为等差数列；乙：{ }n S n 为等差数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6．已知数列{ }na 是等差数列，数列{ }nb 是等比数列， 7 9 4π 3 a a  ，且 2 6 10 8b b b  ，则 3 8 13 4 8 1 a a a b b     （ ） A． π 4 B． π 3 C． π 2 D． 2π 3 7．已知等比数列 na 的前 n项积为 nT ， 1 16a  ，公比 1 2 q  ，则 nT 取最大值时 n的值为（ ） A．3 B．6 C．4或 5 D．6或 7 试卷第 2页，共 4页 8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2， 3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三数起，每一个数都等于它前面 两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则        2 2 2 21 3 2 2 4 3 3 5 4 2013 2015 2014a a a a a a a a a a a a       （ ） A．1 B．0 C．1007 D．﹣1006 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项 中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对 的得部分分 9．下列结论正确的是（ ） A．若 ln 3y  ，则 0y  B．若 1y x  ，则 1 2 y x   C．若 y x ，则 1 2 y x   D．若 exy x ，则 ( 1)exy x   10．记 nS 是等差数列 na 的前 n项和，且 13 14 3 13 230, 0a a a a a     ，则（ ） A． 14 0a  B． na 为递增数列 C． nS 的最小值为 14S D． 26 0S  11．已知   ,n na b 均为递增等比数列，且 1, 1n na b  .设 ,n nA B 分别为数列   ,n na b 的前 n项 积，若    2 2n nn nA B   ，则（ ） A． 21 1b a B． 143 11 1 11B a A C． 11 11 ln 21 ln 44 a b  D．数列     2 1 1 ln ln 2ln lnn n a b a a         的前 n项和小于 1 4 第Ⅱ卷（非选择题 共 92分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 2 *2 1,nS n n n= + + Î N则 na  . 13．已知数列 na 满足 1 13, 2 2n n na a a a   ，则 2024a  ． 14．如图,一个粒子的起始位置为原点,在第一象限内于两正半轴上运动,第 一秒运动到(0,1),而后它接着按图示在 x轴、y轴的垂直方向来回运动,且每 秒移动一个单位长度,如图所示,经过  *n n N 秒时移动的位置设为 nP ,那 么经过 2025秒时,这个粒子所处的位置的坐标是 . 试卷第 3页，共 4页 四、解答题：（本题共 5小题，其中 15题 13分，16-17题每题 15分，18-19题 每题 17分，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（1）已知数列 na 是等差数列，若 1 2a  ， 2 5 2 a  ，求 10S ； （2）在正项等比数列 na 中， 1 3 36a a  ， 2 4 60a a  ，求 1a 和公比 q . 16．已知函数   lnf x ax x  的导函数为  f x ，且   32 2   f . (1)求 a的值；(2)求  f x 在 1x  处的切线方程. 17．等差数列 na 各项均为正数， 1 3a  ，前 n项和为 nS ，等比数列 nb 中， 1 1b  ，且 2 2 3 364, 960b S b S  ． (1)求数列通项公式 na 与 nb ；(2)证明： 1 2 1 1 1 3 4nS S S     ． 试卷第 4页，共 4页 18．某企业为一个高科技项目注入了启动资金 1000万元，已知每年可获利 25%，但由于竞 争激烈，每年年底需从利润中抽取 200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持 原有的利润增长率，设经过 n年后，该项目的资金为 na 万元． (1)求 1 2,a a ；写出{ na }的递推公式； (2)设 800n nb a  ， 证明数列{ nb }为等比数列； (3)求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的 4倍）的 目标（取 lg2 0.3 ）. 19．对于无穷数列 nx 和函数  f x ，若   *1n nx f x n   N ，则称  f x 是数列 nx 的生成 函数. (1)定义在R上的函数  g x 满足：对任意 *Nn ，都有    12 2 2 2n n ng g   ，且   12g  ； 又数列 na 满足  2nna g . （Ⅰ）求证：   1 2 f x x  是数列 2 n n a      的生成函数； （Ⅱ）求数列 na 的前 n项和 nS . (2)已知   2025 2 2026 xf x x    是数列 nb 的生成函数，且 1  2b  .若数列 1 2 n n b b      的前 n项和为 nT ， 求证：    25 1 0.99 250 1 0.999n nnT    （ *Nn ， 2n  ）. null