四川省江油中学2024-2025学年高三下学期三诊考前热身训练（4月）数学试题

第1页（共 4 页） ᮦᆜ䈋从 四川省江油中学 2022 级高三下期三诊考前热身训练  一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分。每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．设集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知向量 ， ， ，若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．若实数数列： ， ，7成等差数列，则圆锥曲线 的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 4．直三棱柱 中， 分别是 和 的中点， 则异面直线 与 所成的角为（ ） A． B． C． D． 5．已知直线 与圆 相交于 A， 两点，则“ ”是 “ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．定义双曲余弦函数表达式为 ，定义双曲正弦函数的表达式为 .设函数 ，若实数 满足不等式 ，则 的取 值范围为（ ） A． B． C． D． 7．函数 的部分图象如图所示，若 ，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 8．设椭圆 的一个焦点为 ， 为 内一点，若 上 存在一点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． { } { } { }20,1,2 , 1,4 , R 3 2 0A B C x x x= = = Î - + >∣ ( )A B C =! " { }3 { }1,4 { }1,3 { }0,4 ( ), 3a x= - ! ( )2,b y= ! ( )1, 2c = - ! //a b ! ! b c^ ! ! x y+ = 5- 4- 3- 2- 1- , ,a b m 2 2 2 2 1 x y a b - = 3 5 10 1 1 1ABC ABC- 1 2 3AB AC BC D E= = =， ， ， ， 1AC 1BB 1 1B C DE π 3 2π 3 π 6 5π 6 2 0x y m- + = 2 2: 4O x y+ = B 0OA OB× = !!!" !!!" 10m = e ecosh 2 x x x -+ = e esinh 2 x x x -- = ( ) sinh cosh xf x x = a ( ) ( )2 2 3 0f a f a+ - < a ( )1,3- ( ) ( ), 1 3,-¥ - È +¥ ( )3,1- ( ) ( ), 3 1,-¥ - +¥! ( ) ( )sin 0, 0,| | 2 f x A x A pw j w jæ ö= + > > <ç ÷ è ø 1 2 2, , 6 3 x x p pæ öÎç ÷ è ø ( ) ( )1 2f x f x= ( )1 2f x x+ 3 2 - 3 2 1 2 - 1 2 ( ) 2 2 2 2: 1 0 x yE a b a b + = > > ( )3,0F ( )2, 3A - E E M 10MA MF+ = E 0, 3 4 ⎛ ⎝⎜ ⎤ ⎦ ⎥ 3 4 ,1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎞ ⎠⎟ 1 3, 2 4 é ù ê úë û 1 ,1 2 é ö ÷êë ø 第2页（共 4 页） 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分。 9．某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的 2000名考生的成绩进行统计，可得到如 图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中 正确的是（ ） A．考生参赛成绩的平均分约为 72.8分 B．考生参赛成绩的第 75百分位数约为 82.5分 C．分数在区间 内的频率为 0.2 D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为 200的样本，则成绩在区间 应抽取 30人 10．已知复数 满足 ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若 ，则 D．若 ，则 11．设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线 的一部分，则 下列说法正确的有（ ） A．点 在 上 B．将 在 轴上方的部分看作函数 的曲线，则 是 的极小值点 C．在 处 的切线，其与 的交点的横纵坐标均为有理数 D． 在 轴左边的部分到坐标原点 的距离均大于 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．在 的展开式中， 的项的系数是_________ 13．通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度 y（单位；升/小时）与液体所 处的环境温度 t（单位：℃）近似满足函数关系 （e为自然对数的底数，a，b为常 数）．若该液体在环境温度为 10℃时的蒸发速度是 0.2升/小时，在环境温度为 20℃时的蒸 发速度是 0.4升/小时，则该液体在环境温度为 ℃时的蒸发速度为 1.6升/小时． 14．已知半径为 1的球内切于上、下底面半径分别为 ， 的圆台，若 ，则圆台表面 积的最小值为 . [ )60,70 [ )70,80 z 1 1 4z z+ + - = 2z ≤ 1 1- ³z RzÎ 2z = 2 Rz Î 2z = 2 3: 2 2C y x x= - + (1,1) C C x ( )f x 1x = ( )f x (1,1) C C C y O 2 x − 1 x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 6 2x eat by += r R 2R r³ 第3页（共 4 页） 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善.据统计，该校 2018年到 2024年所招的学生高考成绩不低于 分的人数 与对应年份代号 的数据如下： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 不低于 分的人数 （单位：人） （1）若 关于 具有较强的线性相关关系，求 关于 的线性回归方程 ，并预测 2025年该校所招的学生高考成绩不低于 分的人数； （2）今有 、 、 三位同学报考该校，已知 、 被录取的概率均为 ，C被录取的概 率为 ，且每位同学是否被录取相互不受影响，用 表示此 3人中被录取的人数，求 的 分布列与数学期望. 参考公式： ， .参考数据： ， . 16．（15分）记 的内角 的对边分别为 ，如图，已知 ，点 在边 上， . (1)求 ； (2)若 ，求线段 的长. 17．（15分）已知数列 满足 ， （ ），记 ． (1)求证： 是等比数列； (2)设 ，数列 的前 n项和为 ①求 ． ② 若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围． 600 y x x 1 2 3 4 5 6 7 600 y 29 33 36 44 48 52 59 y x y x ! !y bx a= +! 600 A B C A B 1 3 1 2 X X ( )( ) ( ) 1 2 1 n i i i n i i x x y y b x x = = - - = - å å ! ! ˆa y bx= - 7 1 301i i y = =å ( )( ) 7 1 140i i i x x y y = - - =å ABC△ , ,A B C , ,a b c sin sin , 2 sin sin b c A ABC a a C ABC Ð Ð + - = = - D AC 7BD = sin BDCÐ sin 2sinADB AÐ = AD { }na 1 5a = 1 2 3nn na a+ - = *nÎN 3nn nb a= - { }nb 2 1 n n nc b + = { }nc nS nS 1( 1) 2 n n n nSl -- < + *nÎN l 第4页（共 4 页） 18．（17分）已知函数 ，其中 . (1)当 时，求曲线 在 处的切线方程； (2)求 的单调区间； (3)当 时，设 的两个零点为 ，求证： . 19．（17分）如图 1，已知抛物线 的焦点为 ，准线交 轴于点 ，过点 作倾斜角为 的直线交抛物线于 两点（点 在第一象限）．当 时， ． (1)求抛物线 的方程； (2)如图 2，把 沿 翻折为 ，使得二面角 的大小为 ． ①若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值； ②证明：三棱锥 的体积为定值． ( ) ( )ln 1f x ax x= + - a ≠ 0 2a = ( )y f x= ( )( )0, 0f ( )f x 1a > ( )f x 1 2,x x 1 2 22x x a + > - ( )2: 2 0C y px p= > F x D F q ,A B A π 2 q = 5OA = C ADF△ DF PDF△ P DF B- - 2π 3 π 3 q = BD PBF D PBF-